調整足球和局機率的高低

預測足球比賽分數的主要模型就是卜氏模型（或經過修改的模型）。最直接的方式就是設定各隊的進球期望值參數，再根據它預測分數。

簡單來說，卜氏模型的主場隊伍參數，就是聯賽平均主場得分率乘以主場隊伍的進攻指數和客場隊伍的防守指數。前者用於調整主場隊伍相對於客場隊伍防守實力（防守較強表示進球機率較低）的得分優勢，後者用於估計主場隊伍得分能力。評估客場隊伍得分率期望值的方式也類似，不過是使用客場隊伍的得分指數和主場隊伍的防守指數。

卜氏模型的限制

如同其他模型，使用卜氏模型預測足球賽分數時也有其限制－也就是預測結果會因使用不同的參數而異。

對於高得分隊伍來說，發生 0-0 和局的實際機率高得多，因為如果比賽經過一段時間之後仍沒有隊伍進球，他們可能會放慢節奏。

卜氏模型也假設，一旦設定好進球期望值參數後，各隊的進球數並不會相互影響。雖然就某種程度來說，預測結果是由特定的防守和進攻指數所掌控，不過在主場隊伍進五球的情況下，以及主場隊伍未進球的情況下，我們真的能預期客場隊伍進五球的機率會完全相同嗎？ 

卜氏模型最明顯的限制，就是假設各隊的進球數變異數等於預期進球數，這也是卜氏模型的特點。我們可以使用一些取巧的方式來進行處理，例如利用過度離散（或不足離散）卜氏模型和二變量卜氏模型，不過這不在本文討論的範圍內。

這些限制導致一種後果－無法準確預測 0-0 和局，實際機率可能高於或低於卜氏模型的計算結果。依照我的直覺，對於高進球期望值參數的隊伍來說，卜氏模型傾向於低估 0-0 和局的機率。

對於高得分隊伍來說，發生 0-0 和局的實際機率高得多，因為如果比賽經過一段時間之後仍沒有隊伍進球，他們可能會放慢節奏。相反地，低得分隊伍可能會加快節奏，直到踢進第一球為止。標準卜氏模型無法掌握這項因素，因此會高估 0-0 和局的機率。不過這只是直覺，尚未經過任何驗證。如果有人願意進行驗證，請和我聯絡，我很樂意和您討論。

如何調整和局機率的高低

調整 0-0 和局機率的其中一種方式是提高或降低和局機率，並且據此調整其他預測結果。其中包括五個步驟，以下為簡單的說明範例：

步驟 1：計算各隊的進球期望值參數

除非有自動化流程，否則這可能是最花時間的一個步驟。Benjamin Cronin 在其卜氏分布文章中有精闢的說明。為了精簡起見，我們假設主場和客場隊伍的最終平均進球期望值參數各為 1.7 和 1.2（這只是隨機決定的數據）。 

步驟 2：計算各隊的進球數機率

使用方程式即可計算，以上連結也提供計算範例。在此例中，我們使用的進球數機率分布方程式如下： 

步驟 3：計算比分的機率分布

現在我們可以將機率相乘，計算出不同比分的機率。例如 0-0 比分的機率為 18.3% x 30.1% = 5.5%。結果如下所示。請注意，因為還有可能出現其他比分（例如 5-1），所以機率總和不是 100%。加總後可得知其他比分的機率為 3.7%。

步驟 4a：計算 0-0 和局的調高／調低參數 

這裡可能有點主觀成份。例如，假設過去的統計資料似乎指出 0-0 的機率應為 10%。因此我們需要將 5.5% 調高到 10%。 

調高參數的計算方式為：

以上計算結果以 α 符號表示，可得到：

這實際上表示無進球和局的機率提高了 82%。機率從 5.5% 提高至 10% 後，其他機率的累積機率也必須有同等程度的下降，這樣所有結果的總和才能保持 100%。 

步驟 4b：計算其他比分的調高／調低參數

我們使用 β 符號來表示這個參數，方程式如下：

在此例中，可得到 β=(1-0.1)/(1-0.055)=0.95

步驟 5：重新計算調高後的比分表

現在我們可以將 0-0 機率乘上 α，將其他機率乘上 β，以重新計算不同比分的機率。計算結果如下，並且其他比分的機率為 3.5%。 

調整卜氏模型帶給我們什麼啟示？

在本文中，我們探討如何調整傳統卜氏模型，以變更未得分和局的機率。只要所有結果的機率總和也經過調整保持 100%，此模型就能進一步用於調整任何比分的情況。

不過這並不是改變某些結果機率的唯一方法。例如，Alun Owen 博士在去年六月的 MathSport 研討會中，提出一個可能更優秀的「截斷卜氏模型」方法。 

如同以前討論過的內容，上述調整卜氏模型的方法並不能完全消除其限制。其中確實增加了其他假設：未得分和局的推測機率和所有其他機率是以相同的比例 β 調整。不論如何，這都能改進傾向於高估／低估未進球和局的傳統模型。