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十一月 1, 2018
十一月 1, 2018

好運和壞運:期望值的一線之隔

擲硬幣的經典範例

二項分布標準差

從大數法則來看,投注者是否有利?

好運和壞運:期望值的一線之隔

投注時常受運氣影響。有時投注者能從好運得利,有時卻成為壞運的受害者。瞭解運氣對投注的影響至為重要,究竟好運和壞運之間的差距有多小?繼續閱讀以深入瞭解。

運彩可以說是一場機率遊戲。贏家獲利幾乎完全歸功於好運,而博彩業者的利潤大數法則終究會擊敗大多數投注者。閱讀過我這幾年來文章的讀者都知道,我深信投注者很不容易長期獲利。這會讓投注者陷入希望和現實的天人交戰,所以我並不期望讀者都同意我的看法。

有鑑於此,Pinnacle(畢諾克)的投注資源提供許多教學文章,幫助投注者精進預測能力。不論如何,即使少數人有辦法找到長期正期望值,不過仍不脫機率法則的範籌。本文將深入探討。我將重點放在好運和壞運之間的差距有多小。

經典的擲硬幣範例

大家都知道擲硬幣的結果是一半一半:人頭或數字。我們也知道,擲 20 次的結果並不一定是 10 次人頭、10 次數字(雖然這是最有可能出現的結果)。有時會出現 12 次人頭、8 次數字,有時則相反。偶而可能還會出現 5 次人頭和 15 次數字。為了判斷各種可能結果的確切機率,可以使用二項分布。擲 20 次硬幣的結果如下:

Content-In-article-luck-in-betting_1.jpg

大部分可能結果介於 5 次人頭、15 次數字,和 15 次人頭、5 次數字。那麼擲 100 次硬幣的結果呢?分布結果如下:

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擲 100 次硬幣時,可能結果的範圍變大了。分布圖顯示,擲 20 次硬幣的範圍是 5 到 15 次人頭,差距為 10。擲 100 次硬幣時,範圍約變大兩倍,為 40 次至 60 次人頭。這是否表示,若擲硬幣的樣本數變大,可能結果的範圍也會變大?可以這麼說,但不盡然。

數學家 Jacob Bernoulli 當初進行類似實驗時,他觀察到雖然樣本數增加時,人頭和數字次數差的絕對數值會變大,不過人頭的百分比接近 50%。擲 20 次出現 5 次人頭,機率為 25%,然而擲 100 次出現 40 次人頭,機率卻是 40%,此進一步觀察就是大數法則的基礎(投注者必須瞭解的機率理論)。 

二項分布標準差

只要計算標準差,就能測量一個分布的範圍或分散程度。對於二項分布,只要使用以下簡單算式就能計算標準差 σ。

thin-line-formula1.png

其中 n 為二項重複次數(例如擲硬幣次數),p 為成功機率(人頭),q 為失敗機率(數字)。由於 p + q = 1: 

thin-line-formula2.png

而在 p = q(即 0.5)的單純情況下: 

thin-line-formula3.png

擲 20 次硬幣時,σ = 2.24;擲 100 次硬幣時,σ = 5。

標準差能告訴我們大多數可能結果的範圍。例如擲 100 次硬幣時,比三分之二多一點的結果落在 ±1σ 之內(45 次至 55 次人頭)。

這能印證 Bernoulli 的第一項發現:樣本數越多,絕對數值分布範圍越大。不過如果不是看人頭的絕對次數,而是計算人頭百分比,結果如何?要計算人頭百分比,只要將人頭次數除以擲硬幣總次數 n 即可。同理,要計算百分比的標準差,也要除以 n。 

因此對於單純的五五波公平硬幣: 

thin-line-formula4.png

擲 20 次硬幣時,人頭百分比的標準差只有 0.11 (11%),擲 100 次硬幣時卻只有 0.05 (5%)。

大數法則

根據大數法則,嘗試的次數越多,平均結果就會越接近期望值。擲硬幣時,投擲的次數越多,人頭百分比就會越接近期望值 50%。

由於百分比的標準差和擲硬幣次數的平方根成正比,因此這兩個變數的關係為指數,也就是說,標準差的變化為擲硬幣次數的指數或對數。對數圖中顯示線性關係:當 n 增為平方倍,σ 值就會減半。

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此指數關係表示(就比例來說)只要擲幾次硬幣,標準差就會大幅下降。擲 1 次硬幣時 σ=0.5,只要擲 25 次硬幣,就會降到只有 0.1,而擲無限多次硬幣的限值為零,等於減少了 80%。由此可見,只要嘗試幾次,就會馬上受到大數法則的影響。以線性尺度重新繪製以上圖表,就能看出影響速度有多快。 

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投注的勝負

投注的勝負就像是擲硬幣的人頭和數字。投注基本上是二項問題:要嘛就贏,要嘛就輸。因此,對於每次獲勝預期機率都相同的單純投注來說,可能的結果也呈二項分布。

美國運彩讓分盤或亞洲美式足球讓分盤,正是此二項問題的範例,盤口將其中一隊的賽果加上讓分,使勝負機會成為五五波,盤口賠率為 2.00 的公平賠率。 

然而,我們不只能分析五五波的盤口。還記得上述百分比標準差公式吧。以下為通用版本公式,可用於計算各種預期勝率的情況。 

thin-line-formula5.png

即使是有能力尋找長期正期望值的精明投注者,由於運動賽事這種複雜系統的隨機本質,通常也只能在隨機雜訊中發現一點點相對微弱的訊號。

當然,在真實的博彩世界中,即使彆腳玩家的投注結果恰好符合期望值,也無法打平成本。計入博彩業者的利潤後,基本上投注 1,000 次之後必定會虧損。

假設一名玩家投注五五波盤口,長期勝率為 55%。玩家的預測能力讓預期勝率從 50% 上升到 55%,不過上述二項標準差法則仍然適用。

從上述公式可知,投注 275 次之後,投注勝率標準差為 3%,表示在此次數的投注記錄中,約有三分之二機率,勝率會介於 52% 至 58%。 

假設是每次投注預期勝率(賠率)都保持不變的單純情況,使用二項分布即可大致判斷任何結果的發生機率(在 Excel 中可使用 BINOMDIST 函數)。

我分析了一系列投注記錄,結果圖如下。第一筆記錄只有 20 筆注碼。圖中數值顯示實際勝率高於特定值的累積機率。例如,若長期期望值為 20%,贏超過六筆注碼 (30%) 的機率約為 9%。若一般來說期望值為 16%,20 筆注碼全贏的機率約為 1%。 

Content-In-article-luck-in-betting_5.jpg

大致來說,紅色和綠色區域分別表示虧損和獲利(公平賠率)。不出意料,若輸掉的注碼超出預期,就會虧損,不過圖表顯示不常出現表現極差的情況。

即使只是 20 筆等額投注,也有四分之三機率預期可贏九筆以上。大數法則站在投注者這邊,投注者出現大比例虧損的可能性很低。

然而,同理可知也不容易大贏。若玩家獲勝的注碼超出預期,就能獲利,不過大贏的機率不高。即使是能長期贏得 55% 等額投注的精明玩家,在 20 筆注碼中贏得 14 筆以上的機率也只有 13%。現在大數法則和投注者為敵,使玩家無法贏得高比例獲利。 

黃色區域大約表示投注者可以打平成本的區域。驚人的是,極好和極壞運之間的區域很窄,大部分的投注結果如何也很讓人訝異。

請看 100 筆投注的黃色區域。

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投注結果大幅偏離長期期望值的機率,大幅縮小。那麼 1,000 筆注碼的結果呢?

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當然,在真實的博彩世界中,即使差勁玩家的投注結果恰好符合期望值,也無法打平成本。計入博彩業者的利潤後,基本上投注 1,000 次之後必定會虧損。大數法則會讓投注者完蛋。然而精明投注者的結果卻大不相同。

若 1,000 筆等額投注的預期勝率為 55%,幾乎總是能至少贏 50% 的注碼。假設博彩業者的利潤小於「玩家預期勝率」和「博彩業者估計預期勝率」的差異,玩家就極有可能長期獲利。權威網站 ProfessionalGambler.com 也說:

「相對來說,成功運彩玩家和長期虧損玩家的注碼勝率差距極小」。

現在你就知道這個差異有多小。大數法則確實有能力主宰投注者的生死。 

當然,大部分投注不像本文所述如此單純,投注者可以選擇各種賠率和注金來下注。如果要加以分析,就必須使用更複雜的數學,或者求助我們的好朋友-蒙地卡羅模擬,這就更複雜了。 

此外,我也並未考量實際獲利和虧損的變異性,這也需要專文探討,我在前文《賠率越高,獲利和虧損的變異性就越大》曾略有著墨。

不論如何,本文的重點是說明大數法則影響的速度和程度,以及預期和實際結果、好運和壞運之間的差距有多小。

驗證投注記錄的可信度

在結束前,我也想說明如何利用實際勝率的標準差資料,針對想兜售預測資料的顧問公司,驗證其投注記錄的可信度。 

本文的範例是一家宣稱以「誠信透明方法」實行「投注預測理論」的顧問公司。這家公司深知運彩的隨機性,他們告訴客戶沒有保證獲利這種事,還說「所有比賽都受運氣影響」。不過,他們宣稱自己有辦法駕馭變化無常的運彩,超過 11,000 筆投注的勝率為 76%。

根據大數法則,嘗試的次數越多,平均結果就會越接近期望值。

我仔細檢視他們目前公布的結果,實際上勝率為 75%,共 10,312 筆注碼(顯然漏了好幾筆)。雖然有幾筆賠率特別低或特別高的注碼,不過 94% 的賠率介於 1.67 至 2.50(隱含勝率為 60% 至 40%)。整體樣本的平均隱含勝率為 52.2%,排除博彩業者的利潤後,勝率接近五五波。

我分析了 56 個月的樣本結果(2014 年三月至 2018 年十月),平均每月投注 184 筆,超過半數為 140 至 224 筆。假設長期預期勝率為 75%,他們的每月勝率標準差應該有多大?針對 184 筆投注樣本,使用上述公式計算勝率標準差,結果應該略高於 3%。比三分之二多一點的樣本應介於 72% 至 78%,而 95% 樣本應介於約 69% 至 81%。

事實上,他們資料的每月勝率標準差為 8.6%,遠高於理論值。不到 40% 的數值介於 ±1σ(應有 75%),而只有一半多一點介於 ±2σ。變異性實在太大了。即使假設每個月只有 32 筆投注(次數最少的一個月),預期標準差仍然應該為 7.7%。 

8.6% 的每月勝率標準差,一般來說應該是約 25 筆投注樣本的期望值,而非 184 筆。2014 年十二月有 151 筆投注,平均預期隱含勝率為 51.4%。勝率 46.4% 預期千億年才會出現一次。2015 年十月有 168 筆投注(平均預期隱含勝率 48.5%),贏了 154 筆 (91.7%)。這家顧問公司如此高明的預測,正常來說大約每一百萬年才會出現一次。

我就讓讀者自行想像上述發現代表的意義。或許有人說,預測能力在短時間內可能劇烈變化。或許還有其他原因。然而,如同我先前探討預期獲利的限制時所說,我想讀者一定知道 76% 讓分盤勝率真是貽笑大方。

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