冷門與黑馬：2022年世界盃有多讓人出乎意料？

根據德國運動元數據公司Gracenote指出，2022年卡達世界盃是冷門隊伍們大放異彩的一屆，有15場比賽都爆冷門（依據該公司的定義），是64年來比例最高的一年。

卡達世界盃是64年來最充滿驚奇的世界盃

不過，這數字到底有多讓人感到出乎意料，以及到底在什麼條件下才叫做爆冷門呢？

大多數人應該都同意日本擊敗西班牙和德國，以及沙烏地阿拉伯擊敗阿根廷都算是大爆冷門，不過這都是因為我們十分相信西班牙、德國和阿根廷應該要贏下這些比賽。

直觀來說，我們可能會覺得這很理所當然，不過我們不可能確切知道真正的結果為何，我們應該隨時都要留意異常的發生。

當足球賽事的結果看似讓人感到驚訝時，是因為這些（透過精準的預測模型所認證的）冷門隊伍走了好運，還是因為這些冷門隊伍其實不是冷門隊伍，而是預測模型出錯了呢？

哲學上來說，這是個很有趣的謎題，也很難解開。在這裡，我們將會討論兩種不確定性。

預測模型有效性中的不確定性或異常被稱作「認知不確定性」，理論上，可以透過更優良的模型來減少這種情形。

另外一種是本質上的不確定性，被稱作「隨機不確定性」，也常被稱作機率、運氣或是隨機性。

這種不確定性是無法減少的。認知不確定性與隨機不確定性兩者很難明確區分。在這兩篇Pinnacle文章中，我希望能夠稍微盡一點力說明。在這第一篇文章中，我會試著探討整體在世界盃中令人感到驚訝的事件。

在第二篇文章中，我會以世界盃為資料，來測試其效率；我會解釋這些結果如何讓我們更加了解博弈業者的投注賠率準確性（或效率），以及他們仰賴的預測模型有效性有多好。

64場比賽的多重機率

如果我們預測每場世界盃比賽三種可能的90分鐘結果機率，我們能建立一個64場比賽的多重機率，顯示所有可能的結果組合。不過我們應該要用哪種結果機率？

大部分想得到好結果的投注者們一定都有他們自己的計算方法，不過為了節省時間，同時也知道那就是最好的機率，我會使用Pinnacle的關盤投注賠率。

我已經在好幾個地方詳盡討論過為何Pinnacle的關盤賠率最適合拿來預測真正的機率結果。

Pinnacle很明顯有將利潤加入這些賠率中，所以我得先把它們去掉。我有自己的計算機可以這麼做。

然後我們就能用這些多重機率來試著回答這個問題：2022年世界盃的結果整體而言有多讓人驚訝？

敘述的謬論

我們值得花點時間來理解，在64場世界盃比賽中要完全沒有爆冷門的機率其實是微乎其微。

全都是熱門隊伍獲勝的機率為11%

透過Pinnacle的關盤賠率，我計算出就90分鐘後的結果來說，這是6.5 x 10^-17，可以說是只比一百萬兆分之一還要高一點點的機率。

如果成真了，反而會成為人類歷史中最驚人的事件之一。

不過，我懷疑除了統計學家以外的人們是否會對此予以關注，我想大多數人可能只會把它當作非常無聊世界盃的證據吧。

而其他每個64場比賽多重機率（可能性有很多，是三的64次方，準確來說是3,433,683,820,292,512,484,657,849,089,281）的機率都比較低。

其他每個機率都包含了爆冷門（如果我們將爆冷門定義為熱門沒有獲勝的話），而多重機率越小，爆冷門的次數就越多。

不過，只有一個方式才能一場爆冷門都不出現，那就是所有熱門隊伍都獲勝。相較來說，有許多方式能爆冷門。個別來說，它們的64場比賽多重機率可能會比較低，不過總體而言，會比一場冷門都不爆的機率還要高。

考量十場比賽（每場比賽有兩種可能結果）的簡單二項式分佈樣本，每場比賽中熱門隊伍都有80%的獲勝機率，而每支冷門隊伍都有20%的獲勝機率。

所有熱門隊伍都獲勝的機率為11%，不過有20%的機率有三支冷門隊伍勝出，而四支冷門隊伍獲勝的機率甚至還有9%。

機率為什麼會那麼高？個別來說，機率僅有0.17%和0.04%（分別是特定的三支或四支冷門隊伍獲勝的機率），不過有很多方式能造成這個結果，由三支冷門隊伍獲勝有120種方式，而四支則是210種。

換句話說，是很有可能會爆冷門的。不過，很多時候，我們的大腦會依據資料來創造出一個簡單，有時候甚至是完美的故事；打造出一個想像中更難爆冷門的世界。

如果日本沒有擊敗西班牙和德國，我們並不會因此大作文章，但數據告訴我們這些出乎意料的結果其實在統計上是合理的。這就是敘述謬論的例子。

蒙地卡羅機率分佈

審視在64場比賽多重機率中發生6.5 x 10^-17機率的方式是固定的。最不可能發生的多重機率是所有冷門隊伍都獲勝，機率為1.5 x 10^-51，要達到如此低的機率也只有這種可能。不過，有多少方式能預見，像是10^-25或10^-30等多重機率的結果呢？

要用一般的算法處理這種計算太複雜了。為了輕鬆一點，我們可以建立一個蒙地卡羅模擬。

透過根據Pinnacle提供的機率將比賽結果隨機化，我們可以創造出一個隨機產生的64比賽多重機率。

重複這個大數數次，計算每個被定義的機率發生了幾次，我們就能定義概似性機率的分佈。也就是說，我們可以定義64場世界盃賽事可能結果的範圍與機率。

處理微小的可能性價值，直覺上來說很困難。不過，我們可以進行一個小小的變化，使其比較容易理解：那就是計算它們的對數。

舉例來說，0.001的對數（基數為10）是-3；0.000001是-6，而0.000000000001是-12。事實上，根據我的需求（基數為e），我會使用自然對數(ln)，並且我會去掉負號。

我的蒙地卡羅模擬包含了十萬次計算，得到了每個隨機化64場比賽多重機率的十萬個自然對數值（去掉負數）。

將這些數值再次分類，我將它們繪製成下列的頻率（或機率）分佈圖表。

這個圖表的X軸完整範圍為37.3（64場全都是熱門隊伍獲勝）至117.1（全部都是冷門隊伍獲勝），不過我們都知道其可能性微乎其微。

事實上，只需要列出最有可能出現的結果，就能欣賞何謂可能性的範圍。看看這個圖表，我們可以看到，64場比賽多重機率中，有很大的機率X軸的值會落在45至75之間。

相對應於多重機率，分別大約為3 x 10^-20和3 x 10^-33。

隨著X軸往右側移動，多重機率會隨之降低。平均值，或者是說最有可能觀察到的多重結果X軸數值為60，對應多重機率則是7.5 x 10^-27。

同樣繪製在圖表上，以垂直黑線所代表的，則是我們觀察到的實際世界盃多重機率結果。其X軸值為63.5（多重機率為2.7 x 10^-28）。

這比最有可能出現的多重機率結果大約低了28倍。

聽起來很多，不過這張圖表可不是這麼說的。您能看到，這並不偏離機率分佈的中心點（平均值）多遠。事實上，大約20%的可能世界盃多重機率都小於實際發生的這個多重機率。

數據上來說，我們不能稱之為出乎意料。如果要出乎意料的話，至少要把垂直線移動到至少X軸值為70的地方，代表只有少於1%的可能多重機率會發生。對應多重機率則是大約4 x 10^-31，或是比實際發生的多重機率小了大約700倍。

要發生這種事的話，就需要看到像是卡達擊敗荷蘭、波蘭擊敗法國，或是南韓擊敗巴西等事件。

這是一屆很出乎意料的世界盃嗎？

根據我在文章中呈列的數據，我們現在可以回答一開始的問題。

不，並不那麼出乎意料。是的，在各個比賽中的確有出乎意料的爆冷門，不過我們現在知道了，在有那麼多場比賽的錦標賽中，這是很有機率會發生的。的確，如果一場冷門都沒爆的話，反而會更出乎意料。

不過，哲學上來說，出乎意料到底是什麼意思呢？這都攸關起初對比賽結果的期望為何。

這是一個很極端的例子，我的預測模型顯示威爾斯是擊敗英格蘭的大熱門，迦納是擊敗葡萄牙的大熱門，澳洲是擊敗法國的大熱門，哥斯大黎加是擊敗德國的大熱門，諸如此類，64場比賽中都有。

我可能會對最後的結果感到十分驚訝。是因為我的預測模型所顯示的冷門隊伍走運了，還是因為我的預測模型錯了嗎？

就這個例子來說，這很明顯，不過通常兩者之間的差別會更加微小。

Pinnacle預測的比賽可能性並沒有完美地預測出最後的結果。是因為運氣不好，還是因為模型有錯呢？

這就很難說了。不過，也許我們可以說是因為Pinnacle的預測和真實世界的賽事間並沒有顯著性差異，所以能大膽爭論Pinnacle的預測模型並沒有那麼糟。

換句話說，世界盃（根據Pinnacle的觀點）的結果，就數據上來說並不特別出乎意料。出現這個結果的機率，比最有可能出現的世界盃結果還要低（實際出現的爆冷門可能還會少個兩、三場），不過並不低多少。

如果有顯著性差異，那就可以很輕鬆地反駁Pinnacle的觀點。

所以，我們可以制訂一個原則：預期和實際結果的差異越大，預測模型數據出錯的機率就越大。Pinnacle的世界盃賽事預測模型與其他博弈業者相較起來如何？這就要留到本系列的第二部份了。

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