十二月 7, 2018
十二月 7, 2018

如何解決效率問題:第二部分

賠率變動並非隨機

驗證定錨偏見對賠率變動的影響

如何解決效率問題:第二部分

本文第一部分探討關於 Pinnacle(畢諾克)賠率效率的研究,並且說明如何建立市場效率模型。Joseph Buchdahl 接下來要透過分析賠率變動和投注者的定錨偏見,探討 Pinnacle(畢諾克)的賠率效率有多高。繼續閱讀以深入瞭解。

賠率變動並非隨機

目前討論的模擬模型都以一個主要假設為基礎:關閉賠率和初始賠率完全獨立,也就是說兩者無關聯。我們知道在連續數筆投注中,每一筆投注結果和上一筆並無關聯,所謂的「手氣正好」這種事並不存在,「賭徒謬誤」指的就是未認知此真相的玩家。然而初始賠率和關閉賠率的關係又是另一回事了。

假設公布的賠率比「真實」賠率高,則關閉賠率比「真實」賠率高的機率就更大。相反地,若公布的賠率比「真實」賠率低,關閉賠率就比較可能低於「真實」賠率。

為何如此?既然「真實」賠率對於博彩業者和客戶來說仍是未知數,我們可以假設初始賠率的數值會被當作一種錨點或參考點,它會使判斷出現偏差並限制未來賠率變動的幅度。當然,玩家會利用錯誤的賠率,不過可能沒有想像中那麼嚴重。至少理論上來說是這樣。

賠率的定錨偏見和隨機變動可以提供某種程度的反向平衡作用,因此初始/關閉賠率變動可以用於預測投注者的預期獲利。

定錨偏見是行為心理學家時常探討的誤知偏誤。就博彩來說,博彩業者公布的賠率可能在潛意識中影響投注者對比賽的看法。若投注者在查看博彩業者的賠率前有先研究過比賽,那麼投注者預期的比賽結果可能和業者公布的賠率大不相同。

大部分投注者下注前可能只會看看賠率,而不會自行分析以判斷「真實」的賽果機率。因此,當投注者看到博彩業者的賠率是 2.25 時,可能會認為「真實」賠率是 2.05 而非 2.00。投注者看到 2.25 的賠率可能影響其判斷而偏離「真實」賠率,反而投注受定錨偏見影響的賠率。上述情況也適用於比「真實」賠率低的賠率。

驗證定錨偏見對賠率變動的影響

我的模型使用的預期關閉賠率並非 2.00,而是為每筆投注選擇一個和初始賠率相關的數值。我測試了不同的定錨偏見強度,從 10%(2.20 初始賠率的定錨關閉賠率為 2.02)到 90%(2.20 和 2.18)。同樣地,我使用各種標準差(從 0.15 降到 0)讓這些定錨關閉賠率隨機變化。

因此,由於隨機變動的本質,高於「真實」賠率的初始賠率仍然可能出現低於「真實」賠率的關閉賠率,不過定錨效應能確保低於「真實」賠率的關閉賠率變化平均小於「真實」賠率的初始賠率變化。對於低於「真實」賠率的初始賠率來說亦然,10,000 筆投注樣本的平均關閉賠率仍為 2.00,因此整體而言仍然很有效率。

以下三張圖表為定錨效應為 20% 時,三種不同隨機變動性(σ = 0.09、0.06 和 0.03)的關閉賠率。請和上面無定錨偏見的圖表比較。

在圖中,初始關閉賠率比值(減 1)和獲利(或效益)的比例係數(或本文第一部分所說的 OCRYCOP)就是趨勢線的斜率數值。數值 1 表示完全成比例的 OCRYCOP 數值較高(0.73 和 0.81、0.88 和 1.00,以及 0.96 和 1.17)。最後一張圖表的 OCRYCOP 數值確實大於 1,在初始/關閉賠率比值最大時,投注關閉賠率仍然能獲利。基本上,由於定錨偏見的影響,高於 2.00 初始賠率的關閉賠率仍然有一些能獲利的空間。低於「真實」賠率時亦然。

in-article-solve-a-problem-like-efficiency-1.jpg

上面中間圖表是模型的標準情況:定錨效應為 20% 的賠率和 σ = 0.06 的關閉賠率隨機變化,這和 Pinnacle(畢諾克)的真實資料十分相似。即使並非每一筆投注賠率都有完美的賠率效率,也能達成此結果。這樣更說得通。

如上所述,Pinnacle(畢諾克)的關閉賠率不太可能每一筆都完全準確。這個結果也支持精明投注者並不一定總是需要勝過關閉賠率的概念。

分析各筆投注時,會發生關閉賠率無法完全符合「真實」賠率的情況,因此並不一定要勝過關閉賠率才能獲利。當然不論如何,玩家還是得勝過「真實」賠率才行。

上面三張圖表只是三種模型設定。還有許多定錨效應強度和關閉賠率隨機變化的可能組合。我測試了 54 種。OCRYCOP 圖如下。請記住,高於 1 的圖表結果表示平均來說,高於「真實」賠率初始賠率的關閉賠率仍然能獲利,而低於 1 的圖表結果表示平均來說,高於「真實」賠率的初始賠率將會下降太多。

不同模型設定的 OCRYCOP 圖表

-

模型關閉賠率變化的標準差

定錨效應

0

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0%

1

0.96

0.88

0.73

0.61

0.5

10%

1.11

1.06

0.93

0.77

0.63

0.49

20%

1.25

1.17

1

0.7

0.64

0.48

30%

1.43

1.32

1.08

0.83

0.62

0.46

40%

1.67

1.5

1.17

0.84

0.6

0.45

50%

2

1.74

1.21

0.83

0.56

0.39

60%

2.5

2.01

1.25

0.76

0.52

0.35

70%

3.33

2.32

1.21

0.69

0.38

0.29

80%

5

2.5

0.99

0.51

0.31

0.2

90%

10

2.04

0.62

0.3

0.17

0.09

顯然,關閉賠率偏離「真實」賠率的隨機變化性太強時(σ = 0.09 以上),就不可能產生符合 Pinnacle(畢諾克)資料的模型設定。不論賠率的定錨效應強度高低,初始/關閉賠率的比值總是會低估投注的預期獲利 (OCRYCOP < 1)。

基本上,這表示關閉賠率偏離「真實」賠率的隨機變動必須在某個上限之內,OCRYCOP 才能用於預測獲利。事實上,上限就是 σ = 0.075 和 50% 賠率定錨效應強度(換句話說,大約是初始賠率標準差的一半)。

如上表所示,有一種以上的方法可以建立 OCRYCOP = 1 的模型設定。各種不同的賠率定錨效應強度和隨機關閉賠率變動組合都能達成。最後一張表是能產生 OCRYCOP 數值 ≃ 1 的模型設定,以及初始/關閉賠率比值的標準差。

初始/關閉賠率的比值 = 投注預期獲利 (OCRYCOP = 1) 的模型設定

定錨效應

關閉賠率 σ

初始/關閉賠率的比值 σ

0%

0

0.749

1%

0.015

0.744

2%

0.02

0.741

5%

0.033

0.729

10%

0.045

0.071

20%

0.06

0.068

30%

0.7

0.064

40%

0.073

0.059

50%

0.75

0.053

60%

0.073

0.048

70%

0.7

0.041

80%

0.06

0.033

90%

0.045

0.024

95%

0.033

0.017

例如關閉賠率變動 σ = 0.06 時,有兩種結果符合 Pinnacle(畢諾克)的資料。我們已經知道 20% 的賠率定錨效應強度可以產生此結果。不過 80% 的賠率定錨效應強度也可以。這樣的數據是否符合現實?或許並非如此,這樣一來就表示投注者大多會被公布賠率嚴重誤導,即使賠率大錯特錯也一樣。這也表示賠率變動遠比現實狀況來得少。

大部分投注者下注前可能只會看看賠率,而不會自行分析以判斷「真實」的賽果機率。

Pinnacle(畢諾克)資料組整體的初始/關閉賠率比值標準差為 0.103,若初始賠率限制於 1.5 至 2.5 則為 0.082。相反地,若模型設定為 80% 賠率定錨效應強度且關閉賠率隨機變動為 σ = 0.06,則標準差只有 0.033,相對來說 20% 賠率定錨效應強度的標準差為 0.068。較低的定錨效應強度似乎更符合現實世界的資料,也更合理。

若我們假設 Pinnacle(畢諾克)投注市場的精明玩家不會像那些在娛樂博彩公司投注的休閒型玩家一樣被定錨效應牽著鼻子走,則 10% 定錨效應強度和 σ = 0.045 似乎是更好的組合。定錨效應強度 = 5% 和關閉賠率 σ = 0.033(還有 2% 和 0.02,以及 1% 和 0.015)也可行,不過這樣幾乎代表每筆投注都有完美的賠率效率,似乎不太符合現實。

賠率定錨效應有任何證據嗎?除非 Pinnacle(畢諾克)的每一筆關閉賠率都具備接近完美的效率,否則真的沒辦法產生 OCRYCOP 為 1 的數據。雖然我的模型設定賠率在 2.00 左右,而 Pinnacle(畢諾克)的資料卻包含了各種不同的賠率,我想你現在應該知道我想表達的重點了。 確實如此,以下為賠率範圍限於 1.50 至 2.50 的 OCRYCOP 圖表(共有 109,619 筆投注賠率)。

in-article-solve-a-problem-like-efficiency-4.jpg

接下來,我利用一家龍頭賠率分析服務公司提供的資料,進一步檢視某些娛樂博彩公司的資料組。30,540 筆投注樣本的平均賠率產生的 OCRYCOP 數據為 1.51。這個樣本確實比我分析的 Pinnacle(畢諾克)資料小得多,不過結果顯示賠率關閉時的剩餘市場效率低落。

還記得嗎,OCRYCOP > 1 表示賠率高於「真實」賠率並且在市場關閉前降低(或縮減)得不夠多;或是賠率低於「真實」賠率並且在市場關閉前提高(或增長)得不夠多。我之前曾經撰文探討過高賠率未充分降低和低賠率未充分升高的現象。

在娛樂博彩公司投注的玩家可能比較沒有經驗,更容易被定錨偏見影響,很可能出現遠大於 1 的 OCRYCOP 數據。我相信那些娛樂博彩公司與其讓傳統市場的精明玩家為所欲為,為了行銷目的可能更偏好利用高於「真實」賠率的賠率來吸引玩家。那也會產生一樣的結果。

最後我想再探討一個重點。即使是初始/關閉賠率比值變動最大的模型設定,其變動性也低於真實世界的資料。當然,每一筆賠率都有完美效率並且無賠率定錨效應時會產生最高的數據 σ = 0.0749。這和上圖資料的 0.082 相近。

大致上來說它們很相近,不過若存在賠率定錨效應會降低初始/關閉賠率比值的範圍。我們能否解釋此差異?或許可以,如果我們取出 Pinnacle(畢諾克)最極端的初始/關閉賠率比值(變動最大的賠率),會發現 σ 數值較低。刪除最極端的 1% 資料會使數值降低到 0.770。

部分極端賠率變動確實有可能表示, Pinnacle(畢諾克)的初始和關閉投注賠率記錄資料來源有顯著的錯誤。此外,部分極端變動可能來自於參賽隊伍的重大突發事件,這是模型的隨機變動無法模擬的部分。考量上述兩個原因,真實世界資料的賠率變動分布圖形兩端可能較高,因此變動性可能比我的簡單模型更大。

我們學到了什麼?

Pinnacle(畢諾克)的招牌就是高效率的投注賠率。他們的關閉賠率提供了一種評估預期獲利的合理方法。而且我的分析結果顯示其投注市場效率比表面上看起來更微妙。

整體來說,Pinnacle(畢諾克)的關閉賠率很接近事件發生的「真實」機率。不過並非每一筆賠率都是這樣。賠率的定錨偏見和隨機變動可以提供某種程度的反向平衡作用,因此初始/關閉賠率變動可以用於預測投注者的預期獲利。

我的分析結果顯示,由於即使是在市場關閉時,賠率定錨效應也會使某些無效率的部分保留下來,因此精明投注者並不一定要勝過關閉賠率。Pinnacle(畢諾克)的初始賠率定錨效應及關閉賠率偏離「真實」賠率的隨機變動性可能都很小。然而我們已經知道,並非每一筆賠率都必須有完美效率才能建立整體來說十分準確的市場,而且這在現實中根本不可能發生。

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