十一月 30, 2018
十一月 30, 2018

如何解決效率問題:第一部分

何謂市場效率?

Pinnacle(畢諾克)的關閉賠率多有效率?

建立市場效率模型

如何解決效率問題:第一部分

會評估自己的預測是否準確到能持續擊敗投注市場的玩家,大概都知道可以利用 Pinnacle(畢諾克)的關閉盤口。Pinnacle(畢諾克)的賠率多有效率?如何建立市場效率模型?繼續閱讀本文以深入瞭解。

Pinnacle(畢諾克)交易總監 Marco Blume 曾強調,投注者能否長期維持獲利期望值(也就是投注者是否夠精明)的關鍵 ,就是能否擊敗關閉盤口。

由於關閉賠率能充分反映賽事的所有資訊,因此市場的關閉賠率是公認最有效率(或最準確)的賠率。若它能反映特定事件發生的「真實」機率(計算業者利潤後),那麼玩家勝過關閉賠率的程度,就是玩家掌握的預期優勢。

若玩家的優勢為 10%,長期預期獲利就是 10%。不過也有人認為,雖然擊敗關閉賠率能顯示玩家極有能力,不過卻不一定非這麼做不可。這個說法若成立,也暗示關閉賠率的效率不可能總是這麼高。

我想在本文中整合這兩種論點,再次探討效率的概念,尤其是 Pinnacle(畢諾克)關閉賠率的效率,利用它統合這兩種概念。話先說在前頭,這篇文章可能不太適合對統計概念實驗退避三舍的讀者。

在我開始著手探討前,其實也不太確定結果為何。即使在完成之後,我仍然不太確定該如何下結論,不過就請讀者盡量嘗試瞭解吧。這篇文章可能沒有威利·旺卡的巧克力工廠那麼有趣,不過希望能為有心成為精明投注者的玩家帶來一些啟示。 

何謂市場效率?

過去幾年,我曾經多次探討市場效率的概念。對於博彩來說,若投注賠率能準確反映特定賽果發生的潛在機率,就是有效率的市場。例如若曼城痛宰勁敵曼聯的「真實」機率為 70%,那麼 1.429 就是很有效率的賠率(計入博彩業者的賠率前)。 

畢竟投注市場是很有效率的「貝氏處理器」,它能評估特定事件發生的機率,並持續修正、提升並改善效率。

通常一場比賽只有兩種結果,例如投注曼城要不是贏就是輸。然而若重複投注千百次,個人投注各場比賽的好壞運就會相互抵消(大數法則)。因此,即使實務上不可能確切得知賽果的「真實」機率為何,它仍然是值得討論的重點。畢竟投注賠率反映的就是真實機率。

市場效率適用大量樣本,是一項很有趣的概念。然而如果無法確切得知一場比賽結果的「真實」機率,又怎麼知道投注賠率的效率為何? 

當然,我們可以用大量投注樣本驗證,假設賠率為 2.00 的公平賠率(無業者利潤)。若 50% 的投注贏,顯示這些投注的平均勝率或許就是 50%,因此平均而言這些投注的賠率可以合理反映潛在勝率。 不過,我們無從得知其中各筆投注的勝率,對於整體平均值的貢獻度。一個市場整體看來可能很有效率,不過卻難以掌握各筆投注是否可能效率不佳。

Pinnacle(畢諾克)的關閉賠率多有效率?

Pinnacle(畢諾克)在 2016 年 7 月發表我的文章,內容是探討 Pinnacle(畢諾克)的足球比賽投注賠率多有效率(或準確),尤其是關閉賠率(比賽開始前一刻公布的賠率)。

扣除他們的利潤後,顯示 2.00 賠率的勝率約為 50%,3.00 賠率的勝率約為 33%,4.00 賠率的勝率約為 25%,以此類推。當然,如上所述,以上數據並不能代表單一比賽的「真實」機率,只是平均來說賠率非常準確。

此外,我的文章也說明 Pinnacle(畢諾克)的初始和關閉賠率比值是非常可靠的獲利指標,這代表他們的關閉賠率極有效率。例如若隊伍的初始賠率為 2.20(已扣除業者利潤),而關閉賠率降到 2.00,若勝率約為 50%,以持平本金投注初始賠率的獲利為 10%(或 2.20/2.00 – 1),投注關閉賠率的獲利為 0%。

另一方面,若隊伍的初始賠率為 1.80,關閉賠率升到 2.00,勝率約為 50%,則投注初始賠率的損失為 10%(或 1.80/2.00 – 1),投注關閉賠率的損失為 0%。我用更大的樣本(158,092 場比賽和 474,278 筆主場/和局/客場投注賠率)再次進行分析,結論大致相同。結果如下圖。

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每個資料點表示初始/關閉賠率比值(以 1% 為單位)的實際投資報酬率。藍點是投注初始賠率的投資報酬率,紅點是投注關閉賠率的投資報酬率。當然,結果一定有變異存在,不過整體趨勢很明確。圖中顯示趨勢線,我選擇把截距設為零(由於已扣除業者利潤,可以說是相當合理的假設),也顯示了趨勢線公式。

結果幾乎完全符合我原本的假設:初始和關閉賠率比值(圖 x 軸)可以準確預測投注初始賠率的獲利(圖 y 軸),而且就整體平均值來說 Pinnacle(畢諾克)的關閉賠率極有效率。

初始關閉賠率比值(減 1)和獲利(或效益)的比例係數,就是趨勢線的斜率數值。數值 1 代表完全正相關。在下文中,我把上述比例係數簡稱為 OCRYCOP

不過我要再次強調,以上只是「真實」的整體結果。我們對於個別關閉賠率的確切效率仍一無所知。. 圖中每個資料點都是數千場比賽的平均結果。

建立市場效率模型

我建立了一個簡單的模型,模擬從初始賠率到關閉賠率的變化,想知道 OCRYCOP 圖表會產生怎麼樣的關閉賠率效率。模型包含 10,000 筆投注,每筆投注都有一個初始和關閉賠率。 

為了重現投注「真實」賽果機率的不確定性,我決定以 2.00 平均值搭配 0.15 標準差 (σ)(三分之二落在 1.85 至 2.15,95% 落在 1.70 至 2.30)隨機產生初始賠率。 

因此,雖然只有拉普拉斯的惡魔(和我)知道每一筆投注的「真實」賠率為 2.00,在我的模型中,這家虛擬博彩公司公布的初始賠率大約就在此平均值上下波動。我選擇的標準差數值為 0.15,因為賠率約為 2.00 時,這個數值能大致反映真實投注市場觀察到的初始至關閉賠率變化。

假設標準差為 0.05,代表賠率約為 2.00 時,95% 公布的初始賠率會準確落在 2.00 ±5%。而我實際觀察到的賠率變化較大,這個範圍似乎太小了。同樣地,0.3 以上的標準差表示博彩公司設定賠率的能力很差,大家都知道這不符「現實」。 

市場效率是適用大量樣本的有趣概念。然而如果無法確切得知一場比賽結果的「真實」機率,又怎麼知道投注賠率的效率為何?

若「真實」賠率為 2.00,博彩業者不太可能設定 3.00 的賠率。對,這有可能發生,不過通常是極為明顯的錯誤,或者設定賠率時尚未出現的不可預見重大消息所導致。當然在這類情況下,「真實」賠率會有所變化也十分合理。不論如何,還是繼續討論模型吧。我創造了一些初始賠率,那關閉賠率呢?

理論上來說,關閉賠率反映投注者透過下注呈現的看法。雖然投注者的看法整合了所有關於「真實」賽果機率的資訊,假設極端情況下,本質上仍然有相同程度的隨機不確定性存在。顯然這不符合現實,畢竟投注市場是很有效率的「貝氏處理器」,它能評估特定事件發生的機率,並持續修正、提升並改善效率,因此能降低不確定性的程度。

在我們的模型中,平均賠率和標準差仍然分別為 2.00 和 0.15。現在我們可以計算每一組初始和關閉賠率的比值(初始/關閉)。對於每一組賠率,由於我們知道「真實」賽果機率 (50%),因此可以計算投注所有 10,000 場比賽初始賠率和關閉賠率的預期投資報酬率。最後,我們就能畫出初始賠率和關閉賠率的預期投資報酬率,在不同初始/關閉賠率比值之下的變化圖,如同我先前分析 Pinnacle(畢諾克)比賽賠率的圖表。

以下前六張圖為模型結果。藍線和紅線分別為以持平本金投注初始賠率和關閉賠率的 50 場比賽平均預期獲利(y 軸),此 10,000 筆投注以初始/關閉賠率 -1(x 軸)排序。結果和以上 Pinnacle(畢諾克)資料並不相似。

雖然理論上來說,由於我的初始和關閉賠率平均而言都符合「真實」賠率,因此都算有效率,不過其實初始/平均賠率比值只能預測一半的預期獲利 (OCRYCOP = 0.5)。例如比值為 110% 時,投注初始賠率的投資報酬率為 105%(或 5% 投注獲利),投注關閉賠率的投資報酬率為 95%(或 5% 投注虧損)。 

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在此例中,顯然我們的初始/關閉賠率比值無法準確預測獲利,由此可見我們的關閉賠率(個別來說)不是很有效率。原因顯而易見。第一,我們知道個別的關閉賠率不是很有效率──由於我故意隨機產生關閉賠率,因此它們都和「真實」賠率 2.00 不相同。

第二,我的隨機賠率產生器輸出很高的初始賠率和很低的關閉賠率時,會出現最大的初始/關閉賠率比值。這裡產生最大的比值為 1.55(初始賠率為 2.27,關閉賠率為 1.46)。事實上,若初始賠率為 2.27,而「真實」賠率為 2.00,我們的預期獲利就是 2.27/2.00 – 1 = 0.135 或 13.5%,而不是原本假設所預測的 55%。

上面其他五張圖重複模型計算,只是大幅降低關閉賠率的隨機變化(標準差),以 0.03 遞增(初始賠率的變化程度不變)。由於關閉賠率和「真實」賠率 2.00 之間的差異變小,你會發現OCRYCOP 數值趨近 1。在極端情況下,當所有關閉賠率皆為 2.00 時,每一個賠率都有完美效率,產生完美的 1:1 相關性。

我們再回顧一下上面的 Pinnacle(畢諾克)真實投注賠率圖。趨勢線(和公式)和我們的模型範例很相近,呈現完全相關性。不過還是可以看出變異性,資料點並非完全落在趨勢線上。當然,部分原因是現實世界投注結果受好壞運影響(由於我的模型使用預期獲利,消除了好壞運的影響)。 

不論如何,如果以為每一個關閉賠率都能完美符合「真實」賠率就太天真了。問題在於,各個關閉賠率無法達到極致的效率,因此我們必須接受初始/關閉賠率比值和預期投資報酬率的不完美相關性 (OCRYCOP < 1)。有辦法解決嗎?我會在本文的第二部分說明。

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