何謂虧損？如何管理？

我為 Pinnacle（畢諾克）撰寫的上一篇文章探討的主題是破產，並且模擬了幾種不同狀況，分析不同類型投注者破產的機率。WinnerOdds 老闆兼人工智慧專家 Miguel Figueres 在其電子書《How to Beat the Bookies（如何擊敗博彩業者）》中，指出一個重點：「很少有投注者會等到「破產」以後，才改變其投注方式或停止下注」。

反之，一般來說，投注者早在破產前就會改變策略或停止下注。至於確切的時間點，則取決於投注者的風險高低。不過，最好能以某些方式定義並建立模型。虧損和最大虧損 (MDD) 的概念，在金融投資領域中廣為人知。本文將探討其意義、預期虧損，以及如何管理虧損。

何謂虧損和最大虧損？

Investopedia 分別將虧損和最大虧損定義為：投資的一段特定記錄時期中，從高峰至谷底的下跌百分比，以及達到新高峰前，從高峰至谷底最大幅度的下跌百分比。由於投注獲利記錄和金融投資資料的類型相似，因此可以直接將上述概念轉換到博彩的世界。

我們也可以將最大虧損合理視為投注者實際上能忍受的最大資金虧損。Miguel 在他的電子書中認為這個數字是 50%，不過這純粹是主觀認定。因此，我們最好能從博彩風險管理的角度，建立最大虧損期望值的模型。

影響最大虧損的因素

Miguel 發現幾項會影響最大虧損 (MDD) 大小的因素。不讓人意外，獲利期望值（利潤）越高，預期最大虧損就越小。同樣地，投注高賠率玩家的變異數較大，資金大幅變動的風險較高，因此最大虧損也較大，所有其他項目也相同。

Miguel 也說明預期最大虧損和注碼數目成對數正相關。例如在簡單的 50-50 二元盤口中，若投注 2n 筆注碼，最長連續落敗的預期數目大約為 n。

建立預期最大虧損模型

以 Miguel 的分析為基礎，我進行了幾次蒙地卡羅模擬，想建立不同投注情況的預期最大虧損模型（以持平本金連續投注 1,000 筆（1 單位）注碼）。模擬包括預期利潤為 2% 至 20%（間隔為 2%），在五種不同賠率中的結果：1.5、2、3、5 和 10，共有 50 種情況。每次模擬重複進行 10,000 次。下表摘列預期（平均）最大虧損。

假設典型精明讓分盤玩家投注的賠率約為 2，勝率 53% 時，利潤約為 6%。連續投注 1,000 筆注碼後，從上一個高峰算起，預期最大虧損約為 22 單位。

不一致性和表現不盡理想的主要原因，就是決策時感情用事的干擾。

另一方面，現在假設典型精明賽馬玩家平均投注賠率約為 5，利潤為 14%，其最大虧損幾乎加倍（43 單位）。賠率較高時，表現更差，預期最大虧損可能超過 100 單位。初始資金為 100 單位，結果有多慘可想而知。

當然，如同我在上一篇文章中所述，相對於偏好低賠率的玩家，由於投注高賠率的玩家變異數較大，他們通常會調低注金，因此確實可以降低最大虧損。

上表的數據應該有助於判斷適合的注金金額。例如若玩家投注的賠率為 10，利潤為 4%，若將注金降低至 0.25 單位，最大虧損將從 100 單位下降到 25 單位。若初始資金為 100 單位，就不至於那麼難以承受。 

最大虧損機率分布

當然，上表數據為平均預期最大虧損。它並不能告訴我們，若投注者運氣極好或極差，最大虧損會是多少。想瞭解這一點，就必須畫出機率分布圖。以下第一張圖是投注賠率為 2 時的 10 種情況。

在每種情況中，機率分布向正數傾斜，右方尾端較長，表示可能出現一些數值非常高的最大虧損。因此，各個情況的平均和預期最大虧損將大於中位數和眾數（眾數即為最常出現的數值，各分布的高點）。曲線不完美之處可忽略，蒙地卡羅模擬重複次數多即會消失，只是我的電腦運算能力不足。

假設利潤為 6%。最常見的最大虧損為 18 單位。不過平均為 22 單位。在我重複 10,000 次模擬中，將近三分之一超過 25 單位，最高為 73 單位。平均值很有參考價值，然而機率分布的形狀能提供更多實用資訊，顯示出運氣好壞時預期最大虧損的範圍。

第二張圖為利潤 10% 時，不同賠率的五種模型結果。機率分布圖的變異性非常大。例如投注賠率為 10 時，預期最大虧損為 84 單位，重複蒙地卡羅模擬時，四分之一的結果超過 100，其中一次高達 302。

即使是擅長投注高賠率的精明玩家，在這種萬分之一的極端情況下，若資金為 100 單位，就必須將注金降低到 0.1 單位，才能讓最大虧損下降到可接受的程度。

虧損心理

當然，沒有投注者喜歡輸錢。然而事實更糟糕。由於虧損使資金減少，若當初贏錢之後可能賺得更多，因此虧損之後，必須贏得更多才能彌補損失。這個指數問題就像滾雪球一樣。

資金必須增加 11% 才能彌補 10% 虧損。但是若虧損為 50%，資金必須增加 100% 才能彌補；虧損 75% 時，資金必須增加 300% 才能彌補。 

如果玩家獲利或虧損時能氣定神閒，那麼體驗運彩雲霄飛車時就能好好面對。

此外，Daniel Kahneman 和 Amos Tversky 的行為經濟學研究告訴我們，相對來說，虧損的痛苦勝過獲利的喜悅，平均而言至少為二倍。因此，雖然資金增加 50% 時會讓人志得意滿，不過虧損 50% 時卻會讓人懷疑自己的投注方法是否合理，甚至懷疑該不該繼續投注。

缺乏資訊判斷發生上述情況的原因時，人們傾向設想虛假的結論。自以為是的成功會導致對自我預測能力過度自信；也就是說，我們過度自信，以至於看不清隨機性。

另一方面，失敗會讓人放棄自己使用的方法，沒有機會完全展現此方法的真實長期預期獲利。有個極端的例子：我記得多年前，自己僅投注 10 次（其中 8 次失敗），就放棄了一個投注系統，這就是厭惡虧損的威力。 

如何管理虧損？

每個獲利投注者終究會面對鉅額虧損，進而懷疑自己的投注策略。學習如何處理，可能是最難的課題。不一致性和表現不盡理想的主要原因，就是決策時感情用事的干擾。

專業運彩投注者會嘗試避免在投注時感情用事。下過苦功之後，投注者應該要對勝敗無動於衷。當然，必須對自己的長期獲利能力有一定程度的自信，以及實際的獲利經驗，才能如此淡定。 

由於虧損使資金減少，若當初贏錢之後可能賺得更多，因此虧損之後，必須贏得更多才能彌補損失。

避免為了翻本胡亂投注，是博彩的黃金準則。不過，雖然結果大概不至於那麼悲慘，「趁勝加注」這種說法也是大錯特錯（除非使用 Kelly 資金管理法這類方法善加管理）。

上述兩例皆為賭徒謬誤，忽略了獲利和虧損過程中隨機性的影響，即使是預期能長期獲利的投注者也是一樣。在我有資料的投注記錄中，玩家在短短 278 筆注碼中獲利四位數，就將注金從 50 歐元左右大幅提高到 400 歐元。之後玩家投注不到 100 筆，就幾乎把錢輸光。

在我的著作《Science, Psychology and Philosophy of Gambling（科學、心理學和博彩哲學）》中，在結論裡摘述了聰明投注者的特徵。上述內容應該有助於避免在投注時意氣用事，並且學習如何面對虧損。

聰明投注者思考時會考慮機率而非主觀想法，認知博彩大部分結果的成因為運氣，瞭解因和果並沒有很強的關聯。他們會抗拒因果關係思維的誘惑，他們會檢視自己的預測方法，分析方法的勝負頻率，而不會隨意假設結果的原因。

所有專業投注者都瞭解，單一注碼的結果和其潛在價值沒什麼關聯。相反地，與其贏一筆負期望值注碼，聰明投注者寧願輸掉一筆正期望值注碼，這或許是最重要的一點。如果玩家獲利或虧損時能氣定神閒，並且只專注於注碼的預期價值，那麼體驗運彩雲霄飛車時就能好好面對。