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三月 13, 2019
三月 13, 2019

誰該為熱門-冷門偏誤負責?

什麼是熱門-冷門偏誤?

博彩業者扮演什麼角色?

我們調整風險後會怎麼樣?

誰該為熱門-冷門偏誤負責?

過去有許多關於熱門-冷門偏誤的研究,這是投注者分析賠率時出現的不理性行為。它通常被視為投注者的一種心理偏誤,不過博彩業者在其中扮演何種角色?繼續閱讀以深入瞭解。

什麼是熱門-冷門偏誤?

熱門-冷門偏誤是運彩分析中被廣泛研究的情況,在許多運動和聯賽中普偏存在。熱門-冷門偏誤的意義是,即使熱門賠率和冷門賠率的投資報酬率可能都是負數,然而熱門賠率對投注者來說較有利,而冷門賠率較不利。

一般認為這種偏誤的原因在於投注者不理性。有人說投注者偏好低機率、高報酬的注碼(冷門)。因此會造成過度投注,而博彩業者會降低賠率因應。

博彩業者扮演什麼角色?

在本文中,我從博彩業者賠率設定的角度,檢視熱門-冷門偏誤的原因是否為投注者不理性。博彩業者會如何分配熱門和冷門的利潤?是否有最佳策略?

假設博彩業者是完美的預測者。在一場雙向比賽中,他們能準確判斷機率為 20% 和 80%。因此公平賠率為 1/0.2 = 5.0 和 1/0.8 = 1.25。若博彩業者理想的利潤為 3%,他們提供的賠率就會介於 5.0, 1.205(所有利潤分配於熱門)和 4.35, 1.25(所有利潤分配於冷門)。如以下線段所示。

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下圖表示玩家投注此範圍內熱門或冷門的預期投資報酬率。

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若博彩業者分均分配 3% 利潤(各 1.5%),提供的賠率為 1.227 和 4.651。投注熱門的預期投資報酬率為 -1.8%,冷門則為 -7.0%。在這種利潤分配方式中,賠率就產生了熱門-冷門偏誤。 

預期投資報酬率相等的點(線的交點)就是利潤按照真實機率成比例分配的位置。熱門佔 80% (2.4%),冷門佔 20% (0.6%)。若博彩業者選擇交點右側的任何賠率組合(更低的冷門賠率),預期將會出現熱門-冷門偏誤。

也就是說,和投注熱門相比,投注冷門的預期投資報酬率較低。下圖表示成比例和均等分配利潤時,玩家投注 3% 利潤的預期投資報酬率。

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若利潤成比例分配,投注任何賠率的預期投資報酬率都相同,因此不會出現熱門-冷門偏誤。然而若均等分配利潤,預期會出現很嚴重的熱門-冷門偏誤。也就是說,隱含機率較低時,預期投資報酬率較低。因此,若不知道博彩業者如何分配利潤,就無法判斷熱門-冷門偏誤可能的成因。

博彩業者的角度

回到上面真實機率為 20% 和 80% 的比賽範例,假設玩家投注 50% 資金於熱門,50% 資金於冷門。下圖灰(綠)線表示玩家(博彩業者)的總預期投資報酬率。在均分資金的投注中,博彩業者只要盡量提高熱門賠率並且盡量降低冷門賠率,就能最大化預期投資報酬率。

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如果投注雙方的資金不相等呢?下圖表示以不同比例投注熱門時,博彩業者的預期投資報酬率。例如,橘線為熱門和冷門比例為 70:30 時,博彩業者的預期投資報酬率。

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若不知道投注雙方的比例,對於博彩業者來說,拉高熱門賠率並降低冷門賠率這種簡單策略似乎很不錯。若博彩業者能吸引高於真實機率(此處為 20%)比例的玩家投注冷門,那麼降低冷門賠率就更有利,可以提高預期投資報酬率。

我們調整風險後會怎麼樣?

有一種金融概念是根據投資風險調整投資報酬率,稱為「風險調整後投資報酬率」。若要冒更大的風險,就必須透過更高的預期投資報酬率彌補。同樣地,在預期投資報酬率相等的兩種情況下,風險較低的比較好。

若無法完美預測賽果,高賠率的冷門會讓預測不準確的博彩業者賠得更慘。

假設博彩業者在上例比賽中按比例分配利潤,設定賠率為 1.21 和 4.85。我們知道在這些賠率中,博彩業者的預期投資報酬率一樣是 +2.91%。怎麼樣對博彩業者來說更理想?1,000 筆熱門注碼?還是 1,000 筆冷門注碼?我們來分析一下變異性。

為了進行分析,我模擬了 1,000 筆熱門和冷門注碼(各 5,000 次),然後計算投資報酬率的標準差。熱門注碼的投資報酬率標準差為 1.5%,冷門為 6.2%。由於風險較低,理性的博彩業者一定偏好熱門注碼。

預期投資報酬率相同時,若博彩業者偏好熱門注碼,他們就會提高熱門賠率並降低冷門賠率。博彩業者最理想的賠率,就是讓雙方預期投資報酬率相等。關於這個問題,則取決於特定博彩業者的偏好。不過我們可以透過不同利潤分配的預期投資報酬率和標準差圖表,瞭解業者可能的決策。

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例如賠率 1.220, 4.762。博彩業者會怎麼做?提供熱門(2.5% 預期投資報酬率和 1.6% 標準差)或提供冷門(4.8% 預期投資報酬率和 6% 標準差)?下圖為上述賠率 5,000 次模擬的投資報酬率。

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業者的決策並不明顯。無論如何,成比例分配利潤 (1.21, 4.85) 時,提高熱門並降低冷門賠率會導致賠率出現熱門-冷門偏誤。

現在假設我們改變投注雙方的資金比例。和上例相同,一樣假設博彩業者能準確判斷 1,000 場獨立比賽的機率為 20% 和 80%,並且進行如何設定賠率的決策(維持 3% 利潤)。每場比賽投注 1 元注碼,然後計算博彩業者的總投資報酬率。我模擬上述情況 5,000 次,並且改變投注熱門和冷門的注碼比例。平均投資報酬率和投資報酬率標準差如下圖。

各點上方的數字為投注熱門的注碼比例。例如黃線標記 0.5 的點。此點表示 50% 注碼下在熱門時,賠率 1.23 和 4.65 的平均投資報酬率 (4.5%) 和標準差 (4.3%)。

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假設此點代表某一博彩業者目前的賠率設定策略和注碼比例。若他們改變賠率,而投注雙方的注碼比例相同,降低熱門賠率(假設為灰線,1.22 4.76)會降低預期投資報酬率(至 3.7%)並提高標準差(至 4.4%)。業者不太可能會選擇這麼做。

相反地,降低冷門賠率(假設為藍線,1.235 4.55)會提高預期投資報酬率(至 5.0%)並降低標準差(至 4.25%)。

有一種金融概念是根據投資風險調整投資報酬率,稱為「風險調整後投資報酬率」。若要冒更大的風險,就必須透過更高的預期投資報酬率彌補。

因此,若投注雙方的注碼比例保持不變,不論從預期投資報酬率或風險的角度來看,降低冷門賠率對博彩業者來說都有利。同樣地,前提是投注冷門的資金比例高於真實機率(此處為 20%)。

若玩家對賠率有相當不錯的直覺呢?意思是,如果賠率提高,就會有較高比例的資金投注此賽果。在相同的基準點下,若博彩業者決定將熱門賠率從 1.23 提高到 1.24(從黃線至綠線,冷門從 4.65 至 4.44),預期會有更高比例資金投注熱門。

在博彩業者發現預期投資報酬率會下降前,此比例可能從 50% 提高至 62%,不過好處是標準差也會下降(從 4.3% 至 3.7%)。 

熱門-冷門偏誤帶給我們什麼啟示?

本文的分析顯示,博彩業者提供賠率時造成熱門-冷門偏誤,通常是一種基於「風險調整後投資報酬率」的理性策略。雖然上例為博彩業者是完美預測者的計算結果,不過撇除此假設只會讓結論更有說服力。 

若無法完美預測賽果,高賠率的冷門會讓預測不準確的博彩業者賠得更慘。對於大部分玩家都十分精明且提供高限額的 Pinnacle(畢諾克)來說,更是如此。

雖然博彩業者在賠率中製造熱門-冷門偏誤可能是一種理性策略,不過他們也能藉此瞭解客戶的投注偏好。

業者設定賠率和分配利潤時,此資訊有助於進一步最佳化「風險調整後預期投資報酬率」。不論如何,賠率出現熱門-冷門偏誤,可能不只是玩家心理偏誤造成的結果。它可能只是博彩業者理性的金融風險管理師運籌帷幄的結果。不過我認為通常兩者皆是。

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