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十月 18, 2017
十月 18, 2017

評估投注技巧:貝氏定理與頻率法之比較

投注者如何評價自己的技術水準?

貝氏定理及頻率法之差異?

隨機性和預期技術機率為何?

評估投注技巧:貝氏定理與頻率法之比較

自投注贏錢需要兩項基本要素。技術和運氣。雖然許多投注者不承認後者的影響力,但大家也常疏於衡量前者。這篇文章說明為什麼我們應該了解不同的投注技巧評估法的差異,以及你選用的方法如何決定結果。

貝氏定理可被運彩投注者用來做出更準確的預測。貝氏定理也有助於我們判斷自己究竟多善於預測及尋找正期望值,並以機率表示結果。我以前研究過如何利用頻率法( t 檢定) 評估投注史的品質。本文將比對兩種方法。

可信度

在機率理論中,貝氏定理描述在某一事件發生的條件下,另一事件發生的機率。例如,假設我相信我能成為 技術純熟並善於發現價值的的投注者機率為 50%。如果我贏了下一場投注,我對於這個論點的看法會受到怎樣的影響?換句話說,贏得投注這項事實將如何改變我成為投注能手的機率? 

貝氏定理將機率解釋為一個命題或假設的「可信度」,同時確立了得知證據前的事先可信度(事先機率)及計入證據後的可信度(事後機率)之間的數學關係。表示方式如下:

{equation} - P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)

在本例中:

P(A) = 我是投注能手的事先機率

P(B) = 我會贏得投注彩金的事先機率

P(B|A) = 我是投注能手的條件下,我贏得投注彩金的機率。

P(A|B) = 我贏得投注彩金的條件下,我是投注能手的機率。

舉一則例子來試試。假設投注能手的定義是能夠持續達成 110% 投資報酬率的人。對等額投注而言,這表示每 100 名投注者,就有 55 名贏得彩金。P(B|A) (我是投注能手的條件下,我贏得投注彩金的機率)為 55% 。

對於投注生手而言,自公平等額投注贏錢的機率(P(B))將是 50%。但是,假設我以前相信我技術純熟的機率是一半一半 {P(A) = 50%}, 這樣的投注者的機率 P(B) 為 52.5%(在 50% 至 55% 之間)。

業界最佳的讓分盤中,贏率通常高達 57% 。扣除博彩業者的利潤率後,投資報酬率約為 110% 。

如果我投注贏了錢,把這些數字代入貝氏定理,就會產生 52.38% 的事後機率(P(A|B))。贏得投注讓我相信,我是投注能手的機率比以前更高。

貝氏定理可以反覆加以應用。贏得了第一次投注並且更新了我成為投注能手的機率後,現在我再進行另一次投注。第一個步驟所計算出的事後機率成為新的事前機率。

我成為投注能手的新事後機率現在取決於我是否會贏得(或輸掉)投注。如果我贏了,我成為投注能手的機率會繼續提高;我輸的話,就會下降。在這個例子中,如果我贏得第二次投注,我是投注能手的機率會提高到 54.75%。 

這個流程可以重複無限次,每個更新後條件機率會位於 0% 到 100% 之間。我將這個流程重複 1,000 次,也就是進行 1,000 次投注。下圖顯示完成的投注史(藍線),以及每次投注後我成為投注能手的貝氏機率(紅線)。

Assessing skill in gambling

貝氏定理在解釋機率上的一項重大問題,就是它要求對某事件或情境具備豐富的先備知識或信念。但在評估我成為投注能手的機率時,我們真的具備這些知識和信念嗎?在這個例子中,我挑 50% 這個數字完全是隨機挑選,純粹出於臆測。如果我現在把原始機率改為 1% ,情形會變得如何? 

Assessing skill in gambling

再者,技術純熟在這裡的定義,完全見仁見智。如果投注者在投注超過 10,000 次後,報酬率能高達 105%,就可以說是投注高手 -你可以閱讀關於小數法則的相關文章,找出為何樣本大小影響甚鉅。重複每個步驟時,如何在更新 P(A) 值後定義 P(B),也沒有一定的做法。 

在我的貝氏模型中,我只假設這是線性關係,如果 P(A) = 0%/ 20%/ 40%/ 60%/ 80%/ 100%,則 P(B) = 50%/ 51%/ 52%/ 53%/ 54%/ 55%,但其效度當然有待商榷。也許更重要的是,如果一個人投注的基準勝率為 52.5%,他顯然本身就是投注能手(只是不如勝率為 55% 的人純熟),我們實際上衡量的不是機率,而是純熟度。 

儘管如此,這張貝氏機率演進圖,確實讓人能針對投注者獲取穩定利潤的能力,輕鬆地衡量其機率(及強度)以及隨時間演進的可能變化。

隨機性

貝氏方法著重在一組固定數據(輸贏)下的假設機率(我是投注能手),頻率法則著重假設之下的數據機率(或頻率)。此時,我技術純熟的假設是固定的 (不是對(機率 100%)就是錯(機率 0% ),而數據則假設為隨機。 

從技術純熟的機率為 1% 的事前信念開始, 1,000 次投注之後,機率會提升為 20%。

頻率法通常以虛無假設開始,意即我不是能手,以及我的投注成果都來自運氣。接著再透過統計值(也就是輸贏的歷史),嘗試計算虛無假設為真時,可能發生某種統計值的機率 (通常稱為 p 值)。

最後,將這個機率與可接受的顯著值(有時稱為 α 值)進行比較,如果 p <α(通常為 5% 或 1% ),虛無假設就會被拒絕,代表結果支持對立假設。

我先前在 Pinnacle (畢諾克)投注資源所檢視的統計值是 t 值。這個名稱來自檢測統計顯著性的學生 t 檢定。假設投注賠率是公平的, t 值可透過下列方式逼近: 

其中 n = 投注數,r = 投資報酬率(以小數表示),o = 平均小數點賠率。透過統計表或線上計算機,將 t 值轉為 p 值。在 Excel 中,則可使用 TDIST 功能。我們來看看這個方式對我們的投注史範例管不管用。

下圖比較原始時間序列下的貝氏機率演變(我是一個投注能手的事先信念機率為 50%(紅線))與頻率法 p 值的演變-在我根本一竅不通(綠線)的假設下,我成就的結果出於偶然的可能性,使用雙尾,單樣本 t 檢定。

Assessing skill in gambling

雖然較有可能出於好運,但以整體性質來說,此兩條線為鏡像對稱。然而,我們不應該忽視 p 值衡量的是技術不熟練的機率,因此 1-p 等於熟練的機率。

別的不說,貝氏定理和頻率法的分析應用可以提醒投注者,持續獲利的投注,打的是持久戰。

我們的盈虧歷史出於偶然的機率是 5% ,並不代表出於熟練的機率是 95%。這只是意味著如果虛無假設(投注盈虧純為隨機)是真實的,我們所觀察到現象預計會發生的機率是 5% 。

頻率法的缺點就是它認為事實是絕對的。相對地,貝氏定理暗示事實是具機率性、是暫時的,也可證誤。儘管具有這個缺點,但頻率法的假設檢定仍是同樣實用的工具,讓我們能分析投注歷史,並確定是否可能因為運氣以外的因素造成機率上升。

頻率法及貝氏模型相較起來如何-如果後者對於我是投注能手的原始先前信念只有 1% 的機率(而非 50%)?

Assessing skill in gambling

這時,相較於較保守的貝式定理,顯然我們的 t 檢定更促使我們相信我們具備投注高手的能力。

這進一步地突顯了貝氏機率對於原始事先信念的敏感性。在這種情況下,經過近 700 次投注, 雖然 t 檢定可能顯示,我們的投注歷史的發生機率只有 3% ;貝氏定理卻暗示,我們的技術純熟到讓長期投資報酬率為 110% 的機率只有 10% 。

我是規避風險的投注者,對於投注能力偏好較保守的事先信念:除非我懷疑的理由很充分,我應該會一直先假設我投注技巧拙劣或一竅不通。

預期技巧機率

以上的分析只是一個隨機範例,說明假設投資報酬率為 110% 的投注時間序列。為了在視覺上能清楚呈現,我刻意選擇讓我能傳達概念的投注歷史。

然而,如果要對期望有更深入的了解(也就是我們一般說來應該期待什麼),我們應該運行模型許多遍才行。如果你很熟悉 Pinnacle (畢諾克)投注資源,就會知道我們只要透過蒙特卡羅模擬法就能辦得到。

下面第一張圖,顯示針對我是投注能手的貝氏機率變化,進行 1000 次蒙特卡羅模擬的結果,假設十個勝率: 51% 至 60%,間隔為 1%(相當於假設公平賠率,間隔為 2%,期望值為 102% 至 120% )。

在 1,000 次投注期間每次依序投注後,計算貝氏機率中位數,依此得出該曲線。如此一來,就能比平均值(高低值可能造成解釋偏誤)更具代表性。 

就我的技巧而言,假設原始事先信念 {p(A)} 為 1% 。不出所料,我假設的勝率(及期望值)越高,對於能力的信念就越快接近 100% 的機率。(曲線顏色越深,假設勝率就越高。)

Assessing skill in gambling

業界最佳的讓分盤中,贏率通常高達 57% 。扣除博彩業者的利潤後,投資報酬率約為 110% 。本圖說明如果您想成為投注者,假設當然您原先認為自己一開始甚麼都不懂,要花上 1,000 次投注,才能強烈具體地相信您具備投注技巧。 

相對地,如果您發現自己贏得彩金的讓分盤只有 54% ,雖然仍有利可圖,但會需要較更長的時間才能真正對自己的作法有信心。從技術純熟的機率為 1% 的事前信念開始, 1,000 次投注之後,機率會提升為 20%。 

最後一張圖顯示同樣 1,000 次投注歷史及同樣的十個假設勝率所得出的 p 值理想化期望值組合。因為我們的方程式能以任何投注次數、投資報酬率及投注賠率的組合來逼近 t 值,所以不需要蒙特卡羅模擬法。再次說明,曲線越黑,假設勝率越高(由 51% 到 60% )。

Assessing skill in gambling

若勝率為 57% ,在投注 200 次後就能達成統計顯著性 (p 值 < 5%),335 次投注後統計顯著性更強(p 值 < 1%)。然而需再次強調的是,這些資訊與投注技巧強弱無關,它們只說明了假設完全不具投注技巧,投注歷史出於偶然的機率。 

另外,統計顯著性的高低,例如原始貝氏事先機率,不過是主觀判斷而已。但是像貝氏模型一樣,對於協助投注者評估他們在求得持續獲利的期望值方面的能力,如果牢記這些注意事項,p 值的統計檢定是很實用的方法。

別的不說,貝氏定理和頻率法的分析應用可以提醒投注者,持續獲利的投注,打的是持久戰。永遠不要假設贏了幾次就代表您全盤瞭解。

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