瞭解與管理破產風險

Nassim Nicholas Taleb 在其著作《切膚之痛》中說明以下概念實驗，我只稍加修改。

有 100 人前往賭場，每個人都投注某個固定金額。有人輸，有人贏，一天結束後只要算一下從賭場回來的人身上剩下多少錢，就可以計算投資報酬率，進而得出「利潤」。這樣就能知道賭場的賠率設定是否適當。現在假設 28 號賭客破產了。29 號賭客是否會受影響？當然不會。

只要根據樣本計算，就能輕易算出約 1% 賭客會破產。如果賭客繼續不斷下注，在那段時間內預期也會有相同百分比 (1%) 的賭客會破產。

現在假設只有你一個人連續上賭場一百天（開始時攜帶固定金額的錢）。你在第 28 天破產。第 29 天你還會上賭場嗎？不會。不論你有多好運，都能輕易算出你最後會破產的機率是 100%。

一群人成功獲利的機率並不適用於個人。我們可以稱第一個情況的機率為整體機率，第二個情況的機率為時間機率（因為第一個情況是一群人，第二個情況是個人經過一段時間）。聽好了，當你閱讀投注分析部落格或長期預期投資報酬率預測時，要格外注意。即使預測正確無誤，除非擁有無限資金，否則沒人能達成市場的預期投資報酬率。別把整體機率和時間機率混為一談。如果投注者因為虧損，最後必須減少注金，它的投資報酬率將偏離理論期望值，毫無疑義。

當然，在上例中，由於賭客玩的遊戲設計純粹以統計演算法為基礎（例如輪盤和擲骰子），因此最後必然會破產。對於菜鳥投注者來說也一樣，他們最終將被博彩業者的利潤擊倒。

然而博彩和賭場不同，因為只要玩家判斷「真實」結果機率的能力勝過莊家，從理論機率來看玩家就可期望獲利。

不論如何，Taleb 的思想實驗在這方面很有用：提醒即使有優勢的玩家也要思考破產機率。即使是預測高手，如果運氣不佳連輸好幾手也會破產，就是這麼簡單。明天再也無法投注了。

因此在本文下半部，我將花一點時間探討優勢投注者面對的破產風險。

評估優勢投注者

博彩是運氣和能力的綜合體。我們怎麼知道投注者的能力高低？我去年曾探討過如何使用一種統計檢定：學生 t 檢定，它或許能回答這個問題。這種檢定的性質，其實無法直接告訴我們投注者的預測能力優劣，以及是否預期能長期獲利。

它只能在只有機率具影響力時，計算出一組獲利和損失發生的可能性。然而當可能性很小時，統計學家就會被說服，假設可能有機率以外的因素產生影響。在此情況下，典型的基準數據為 5% 和 1%。換句話說，如果某筆投注記錄隨機出現的機率低於 1%，就能說這個投注者可能展現出某種程度的能力。

在作出這種大膽預測時，需要面對各種問題，尤其是倖存者偏誤：我們通常只能看到最佳記錄，而不是一般或損失的記錄。假設樣本中有 100 位投注者，表現最佳的投注者擁有百中選一的獲利記錄，這究竟能代表什麼？不幸的是，我們很少能看見樣本的全貌。

不論如何，本文假設百中選一的記錄也能提供一些優勢投注者的資料。不論事實究竟如何，對於以下內容來說可能影響不大。部分好運投注者終究會向平均值迴歸，以下資料可以視為最佳情況。

破產的機率

若進行一連串投注，投注者破產的機率為何？這個問題取決於許多變數，包括投注者的能力（或運氣）、投注多長時間、選擇投注的賠率，以及下注的金額。不用多說，投注者如果越高明（越不依靠運氣？），失去所有資金的可能性就越低。

我們也應瞭解一項事實：投注的賠率越高，結果的變異性就越大。變異性大表示獲利或損失的範圍更大、風險更高，因此破產的機率也更高，其他項目則不變。而且若注金佔資金的比例越高，當然也會提高運氣不佳連輸之後破產的可能性。

和投注低賠率相比，由於變異性較大，因此投注高賠率的投注者一般來說投資報酬率也越高。換句話說，投資報酬率相同時，賠率越高，受運氣的影響越大。因此賽馬預測者（通常投注賠率較高）公布的投資報酬率會高於運彩預測者（通常投注賠率較低）。

當然，也因此拙劣賽馬預測者的虧損也越大（因為壞運的影響）。下表是我使用 t 檢定計算器，計算百中選一獲利投注者以不同賠率投注 1,000 筆注碼後的預期獲利。

以下為使用 10,000 次蒙地卡羅模擬，計算不同百中選一投注者以不同賠率和注金投注最多 1,000 筆注碼的破產風險差異圖。假設投注者的初始資金為 100 元，並且注金為固定金額。

不出所料，高注金會大幅提高破產風險－尤其是投注賠率較高時。假設投注者偏好以 10 的賠率投注冷門賽馬。即使理論預期投資報酬率為 24%，但是若初始資金為 100 元，每次投注 10 元，無法投注完 1,000 筆注碼的機率超過 60%。當然，大部分冷門投注者會選擇適當調低注金，不過這代表絕對利潤必定會下降。

破產風險管理對絕對利潤的影響

假設可接受的最高破產風險為 1%。對於以賠率 10 投注的玩家來說，若初始資金為 100 元，注金就不能超過 1 元。相反地，對於投注更低賠率 (1.25) 的玩家來說，一次就能投注 6 元。因此即使冷門投注者的預期獲利高得多，不過他們的絕對利潤最後和大熱門投注者也相差無幾。

舉另一個例子：假設可接受的破產風險約為 20%。以賠率 5 投注的玩家，一次應投注大約 5 元。相對來說，以賠率 1.5 投注的玩家一次可投注約 15 元。前者的預期獲利約為後者的三倍。不過他們最後還是會有差不多相同的預期絕對利潤。

結論顯然很清楚：若投注者能力相當，且接受相同的破產風險，則投注的賠率高低並不重要。雖然高賠率的預期投資報酬率較高，不過缺點是必定需要為了管理高度破產風險而降低注金。

破產對預期利潤的影響

Taleb 探討整體機率和時間機率的思想實驗後，引用了華倫．巴菲特的話：

「為了成功，先得存活。」

他接著補充自己的心得：

「破產經不起成本效益分析的考驗。」

巴菲特和 Taleb 說得很對。破產改變了預期獲利的計算方式。嘗試估計預期獲利時，我們忽略了投注到一半破產的情況。上表估算的預期獲利全都假設能投注所有 1,000 筆注碼。事實上，如果破產的機率高於零，那麼不是所有投注都能維持那麼久。

假設玩家以賠率 2 投注，每次投注 10 元。投注 1,000 筆注碼過程中破產的機率為 23%。在我模擬的 10,000 筆投注記錄中，95% 的破產投注者若能繼續投注，理論上來說平均預期投資報酬率為 105.74%。不過事實上，破產投注者明天再也沒有機會，因此這些獲利永遠無法實現。

如果想讓真實預期獲利盡量貼近理論值，就必須使破產風險降到極低。大部分專業投注者憑直覺都能瞭解這一點，不過希望本文的分析能量化這個思維。

顯然即使是高超的優勢玩家，若想將破產機率維持在遠低於 1%，那麼一次就只能以初始資金 1% 左右的金額投注；而且，投注較高賠率時甚至還要再降低。若慎重考慮破產風險，就會發現不論投注的賠率高或低，其實差異不大。