有些投注者(或內線)鼓吹金錢管理策略,包括了在輸掉注碼後逐步增加助金,以補償之前輸掉的金額。
這常被支持者視為保障型的策略,因為投注終會成功,當投注成功時,之前輸掉的錢,連同從首注原本的目標利潤都會一起贏回來。
精明的人應該已經看到這其中的問題:在博弈時,沒有什麼事必然會發生的。如果有的話,這就不是賭博了。有些玩家之所以會忽略這個問題,是源於幾種法則偏誤:過度自信(認為他們會贏),以及低估了連輸的或然率。這一類型的博彩金錢管理傳統上稱之為Martingale系統。
Martingale策略
Martingale本金規劃方法源自於賭場,特別是輪盤賭。輪盤賭最熱門的賭法是賭紅黑,賭客必須決定轉盤後球會落在紅色或者黑色的號碼上。
不論莊家優勢的影響,每種結果的賠率皆為2.00。基礎Martingale策略背後的概念是在每次輸掉以後都加倍投注,每次贏之後都重新用開始的本金(或基準線)本金,使用以下算式可套用在任何投注賠率上:
Martingale級數 = 賠率 / (賠率 - 1)
舉例來說,如果賠率是3.00,本金級數的比等於1.5。
如此一來,每次成功的結果加上原本目標的利潤就可彌補先前的損失,正如下方轉動的輪盤所示。
輪盤 | 投注 | 本金 | 賽果 | 結果 | 利潤 | 待定總分 |
1 | 紅色 | 1 | 黑色 | 落敗 | -1 | -1 |
2 | 紅色 | 2 | 黑色 | 落敗 | -2 | -3 |
3 | 紅色 | 4 | 黑色 | 落敗 | -4 | -7 |
4 | 紅色 | 8 | 紅色 | 獲勝 | +8 | +1 |
5 | 紅色 | 1 | 黑色 | 落敗 | -1 | 0 |
6 | 紅色 | 2 | 紅色 | 獲勝 | +2 | +2 |
7 | 紅色 | 1 | 紅色 | 獲勝 | +1 | +3 |
8 | 紅色 | 1 | 黑色 | 落敗 | -1 | +2 |
9 | 紅色 | 2 | 黑色 | 落敗 | -2 | 0 |
10 | 紅色 | 4 | 紅色 | 獲勝 | +4 | +4 |
Martingale變更風險,而不是數學上的期望值
在他的電子書《Successful Staking Strategies》 (2001) 中,Stuart Holland用一種簡單但完善的方式示範了Martingle為何無法無中生有。
請針對上方三次的輪盤轉動來思考。連續三次輸掉的黑色代表8種可能的結果之一,每一種的機率都相同。
以下的表格顯示了8種排列的預期利潤,R=紅色、B=黑色,莊家優勢並不算在內(以綠色的0表示)。為了計算任何結果的期望值,我們只要用實際利潤或損失乘以結果出現的或然率。
排列 | 投注 | 結果 | 本金 | 利潤 | 合計 | 機會 | 期望值 |
1 | R、R、R | B、B、B | 1、2、4 | -1、-2、-4 | -7 | 0.125 | -0.875 |
2 | R、R、R | B、B、R | 1、2、4 | -1、-2、+4 | +1 | 0.125 | +0.125 |
3 | R、R、R | B、R、B | 1、2、1 | -1、+2、-1 | 0 | 0.125 | 0 |
4 | R、R、R | B、R、R | 1、2、1 | -1、+2、+1 | +2 | 0.125 | +0.25 |
5 | R、R、R | R、B、B | 1、1、2 | +1、-1、-2 | -2 | 0.125 | -0.25 |
6 | R、R、R | R、B、R | 1、1、2 | +1、-1、+2 | +2 | 0.125 | +0.25 |
7 | R、R、R | R、R、B | 1、1、1 | +1、+1、-1 | +1 | 0.125 | +0.125 |
8 | R、R、R | R、R、R | 1、1、1 | +1、+1、+1 | +3 | 0.125 | +0.375 |
將8種排列的個別期望值相差起來,可得該策略的期望值。結果是0。因此,針對公平的輪盤賭,我們所能期盼的常期結果是打平。
實際的輪盤賭並不是公平的,在賭場賭紅黑的期望值是負的,因此多場賭盤的總和也同樣是負的。
類似的持平本金(所有本金金額都相等)分析結果也相同:整體的期望值為0。
排列 | 投注 | 結果 | 本金 | 利潤 | 合計 | 機會 | 期望值 |
1 | R、R、R | B、B、B | 1、1、1 | -1、-1、-1 | -3 | 0.125 | -0.375 |
2 | R、R、R | B、B、R | 1、1、1 | -1、-1、+1 | -1 | 0.125 | -0.125 |
3 | R、R、R | B、R、B | 1、1、1 | -1、+1、-1 | -1 | 0.125 | -0.125 |
4 | R、R、R | B、R、R | 1、1、1 | -1、+1、+1 | +1 | 0.125 | +0.125 |
5 | R、R、R | R、B、B | 1、1、1 | +1、-1、-1 | -1 | 0.125 | -0.125 |
6 | R、R、R | R、B、R | 1、1、1 | +1、-1、+1 | +1 | 0.125 | +0.125 |
7 | R、R、R | R、R、B | 1、1、1 | +1、+1、-1 | +1 | 0.125 | +0.125 |
8 | R、R、R | R、R、R | 1、1、1 | +1、+1、+1 | +3 | 0.125 | +0.375 |
請仔細檢視兩個表格。與持平本金策略相比,Martingale策略已經針對獲利多次增加投注次數,在此範例中次數從4增加到5。
不幸的是,後果是必須承受大筆的損失。Martingale造成的效果只是風險的分散。跟持平本金獲得的相等結果比起來,要換來多一次正期望值結果的條件是更負向的期望值。這是本策略既有的風險來源。
使用Martingale
在運動博彩中,Martingale似乎能讓投注者有機會在期望值為負的情況下獲利,因為每次獲勝都可以補償之前的損失,並在每一次帶來一點利潤。
不過,先前的分析希望讓您瞭解的是Martingale級數有數學上的缺陷,且本質上是非常冒險的,因為任何大量的連輸都會讓本金急遽上升。舉例來說,連續輸掉10次,第11次就需要投注本金1024單位來贏得1。
依照您一開始投注的本金而定,不難想像很快的您的本金就會超過博彩公司可接受的限額。同樣的,它也可能遠高於您剩餘的資金。
低估了連輸數場的機率
在注金相等的情況下,有多大的機率會連輸10場?在孤立的狀況下,用數學計算此機率是很容易的。如果每次投注都有50%(或0.5)的機率會輸,那連輸10次的機率會是0.510 = 0.0977%。
這樣低的機率讓許多人相信Martingale是相對安全的策略。但在更大數量的投注期間出現這樣的連輸的可能性有多大?
這個數學算式會更複雜,但我們的直接反應是機率會比一般的連輸更大,因為在此情況下有更多機會會出現連輸。還好,有一個方式可以有效估計大量投注時出現的最持久連輸。
S_L=(Ln(N))/(Ln(O_L))
S_L是預期的最多次連輸,N是投注的總數量,‘Ln’是自然對數(任何工程計算機都有),O_L是輸掉單注的機率,這可以從投注賠率或獲勝機率O_W計算出來:
O_L= O_W/(O_W- 1)
舉例來說,以公平的賠率2.00連續投注1,000次,一般我們預料會出現至少一次連輸10場的狀況。如我們所見,這樣的連輸,代表下一筆本金需要比第一筆大1024倍。
為了應付這樣的連輸,您資金和基礎本金的金額要經過適當的計算。您投注的次數越多,您的基礎本金越低,因為您需要一定規模的資金來應付最糟糕的情況。
針對1000次均等注金的注碼,您的資金至少要是您基礎本金的1000倍。這代表了平均的基礎本金(以及獲勝之後的利潤)極少,根本不值得投資,或者必須承受高額的損失。
破產的風險
在我的著作《Fixed Odds Sports Betting: Statistical Forecasting and Risk Management》中 (2003),我透過在真實世界連續投注250次,使用獲勝期望值0.5(賠率2.00)測試了Martingale策略。
基礎本金是首筆資金的1%,在賠率公正的情況下,破產的機率是53%。使用本金均等的策略時,機率低到近乎於0。在兩種情況下博彩公司分別比投注者多占了5%和10%的優勢,使用Martingle策略破產的風險上升到65%和78%。
即使在投注者占優勢的情況下,風險仍然相當高在投注者佔有5%的優勢時,風險仍高達38%。當然,當投注者使用他們的預測技巧取得了正向的期望值,就讓人深思他們是否有必要執著於翻轉損失。
一場幻覺
理論上來說,若投注者有無限的財富、可投注無限次、有無數的時間、還有無限制支持的博彩公司,Martingale可能會成為贏錢的策略。
不過,您當然無法獲得比無限更多的財富,如果某人已經有無限的財富的話,我們可以很合理的質疑他為什麼想要嘗試獲得更多。在真實的博彩與投注世界裡,有關Martingale的事實是:如果您沒有能力贏過賠率,Martingale是耗盡財富的最可能途徑,如果您能打敗賠率,您就不需要這個策略。
Martingale將損失轉化成利潤的能力顯然是幻覺,非常危險的幻覺。