Kelly 算式回顧：風險評估

Kelly 算式被視為最有效率的金錢管理策略，能大幅提昇獲利投注者的資金成長速度。Pinnacle 的「投注資源部」已撰寫數篇文章檢閱 Kelly 算式的成效、作用方式和優缺點。在本文章中，我提供一個本金管理法的簡易風險評估。

什麼是 Kelly 算式？

Pinnacle 作者和馬爾他大學的數學家 Dominic Cortis 將 Kelly 算式描述成一種計算您自己的資金投注比例的方式，這種方式的賠率比預期高，因此您自己的資金呈幾何級數地成長。

John Kelly 於 1956 年在 AT&T 的貝爾實驗室工作時發現Kelly 算式，它為計算最佳投注額提供了經濟和數學方面的精準方式，透過將報酬和風險的預期值納入考量，大幅提高資金整體成長。這可以用以下的簡易公式算出：

利潤只是您對實際的博彩業者的投注賠率所擁有 (或認為您擁有) 的優勢。例如，如果您認為結果的公平賠率是 2.00 (50% 的成功機率)，但是博彩業者提供 2.10 的賠率，您可以算出您的利潤是 2.10/2.00 = 1.05。

「利潤」只是描述預期值的另一種方式。上述公式中的賠率應該被引用在十進位記法中。因此，就這個例子而言，您的 Kelly 本金百分比是 0.05 或 5%。

Kelly 是比例本金管理法的例子，其中的本金規模與您現有的資金成比例，而且會因此隨著資金的增長或減少而上升或下降，跟本金固定在預定規模的持平本金相反。

Kelly 的特別處在於，它也考量到您察覺到的優勢大小和投注賠率的長度。您的優勢越大，以及／或投注賠率越小，您的本金就面臨越大的風險。

明顯的，在投注超過一個結果或同時相符時，有與計算 Kelly 本金百分比有關的問題。Pinnacle 已發表處理此類問題的文章。關於此議題的其他部分，我只會考慮適用於一次一個投注的簡化的 Kelly 算式。

Kelly 算式有多大的風險？

作為符合比例的金錢管理策略，使用 Kelly 在技術上不會出錯應該相當明顯。您輸得越多，您的本錢會變越少，但理論上永遠不會變成零。 

跟依據已知的數學演算法的娛樂場遊戲不同，「知道」像足球比賽一樣複雜的系統的真正機率實際上是不可能的。

在實際的情況下，您不能接受輸錢時，明顯會達到限制。因此，最好要考慮資金的規模變化和您的風險偏好是否強健到足以應付這些問題。

Pinnacle 的客座作者和股票交易員 Joe Peta 曾主張使用 Kelly 算式的問題在於，不論您計算出的預期投資報酬率為何，變異數都高得不可思議，對我來說是高到「不該投資」。他要求我們思考他們的賠率 2.0 的投注的理論投注者贏錢機率 52%。Kelly 暗示 4% 的本金百分比。 

假定連續投注 250 次，Peta 聲稱您的資金在結束時有大於 10% 的機率會下降至少 40%。　　. 他說得對嗎？ 

好像很接近。在 10,000 次的蒙地卡羅模擬執行中，14% 的最終資金以少於 60% 的初始資金作收。這與持平本錢策略的只有 9% 相較之下，250 筆本金的每一筆都固定在四個單位 (假設有 100 單位的開始資金)。

下表說明更大範圍的 Kelly 與固定本金的比較。如果我在之前的文章所主張的，當比例本錢更適合增加獲利時 (在此情況中，Kelly 的最終資金和固定本金分別是 149 和 140 個單位)，從損失期恢復需要較長的時間。

顯示損失的最終資金，較主要的原因來自比例本金帶來的更大資金變化與固定本金中四次只有一次相較之下，這些模擬中十次有將近四次最後損失 Kelly 本金。

如果我們握有更大的優勢，風險會有什麼改變？我以 8% 的 Kelly 本金重新執行模擬，得到每次等額投注的贏的機率是 54%。長期而言，有很少的投注者可以達到這些數字。

不用說，如果您認為您的平均投注金額的 52% 會贏錢，但您只贏了 49%，長期來說您將會輸錢。

可以理解的是，隨著每次投注的利潤或期望值變雙倍，與固定本金相較之下，預期獲利現在對 Kelly 而言相當好 (平均最終資金分別為 494 和 260)。遺憾的是，這仍然是以相當大的績效變化作為代價。

平均或預期的最終資金較高，因為少數的大筆資金造成偏誤。但是跟固定本金策略相比，稀鬆平常和輸掉的資金，最終資金的中位數只有 223。您的財富即使在依據 Kelly 策略以 8% 的優勢投注 250 次後，輸掉 4% 的機率仍是 14%。無疑的， Joe Peta 認為投資報酬率有 8% 的不自重的金融投資人會接受這種風險。

我們是否真正知道我們的優勢？

這些模擬假定我們完全知道贏的機率是多少，因此這些模擬假定我們確切知道嬴的機率，因此確切知道我們對博彩業者的賠率有什麼優勢。如同 Joe Peta 提醒我們的，為運動投注結果建造模型跟 21 點的算牌不同。

跟依據已知的數學演算法的娛樂場遊戲不同，「知道」像足球比賽一樣複雜的系統的真正機率實際上是不可能的。最近在我的 Twitter Feed 中，討論未確切知道您對博彩業者的賠率的優勢的 Kelly 策略的成功是什麼含意。我決定瞭解會有什麼影響。

運用 Kelly 算式判斷投注多少和管理其風險時，必須確切知道您的平均優勢。

不用說，如果您認為您的平均投注金額的 52% 會贏錢，但您只贏了 49%，長期來說您將會輸錢，無論您採用什麼本金管理法。這裏更有趣的不是無論是否確切知道每次投注所擁有的優勢，每次投注都會增加跟 Kelly 算式有關的變化和風險。

長期投注歷史將提供您的可能平均優勢的線索給您。投注 1,000 次 1 塊歐元獲得 1,050 塊歐元，您可能會合理的假定您有平均 5% 的優勢。另一個估計優勢的方式是比較您投注的價格與最終市場價格。

如果您投注 2.10 的價格，但 Pinnacle 的收盤價格是 2.00，我的資料分析暗示您有 5% 的優勢 (投注收益的折扣)。這類分析是以彙整很多場足球比賽為依據。由於可能暗示平均的優勢，因此我們無法使用此來假定每次投注都相同。由於有這麼多不確定性會影響到運動賽事的結果，因此期望不相同是相當合理的。

我執行了另一次的 250 次等額投注的蒙地卡羅模擬。但這次不是修正每次投注的贏的機率為 52%，而是隨著贏的機率的正常分佈變化。平均是 52%，特定值的變化在這左右。有一些較高，有一些較低。

我運用了 5% 的標準誤差，意思是價值的大約三分之二落在 47% 和 57% 之間，價值的 95% 落在 42% 和 62% 之間。事實上，它們的三分之一降到 50% 以下，因此持有負的期望值。 

結果相當令人驚訝。即使三分之一的投注擁有負的期望值，Kelly 策略的相關風險實際上未改變。基本上，這表示只要您對您的整體優勢有精準的看法，根據單一盤口確切瞭解是不重要的。 

Kelly 1 - 每次投注確切知道的利潤。Kelly 2 - 已知平均利潤，但每次投注的特定利潤未知。

在嘗試測試此結論的穩健性時，我執行了進一步的模擬，其中有負期望值的投注次數大幅增加。

250 次投注的二百三十次 (或 92%) 被分配到 49% 的贏的機率，實際上相當於受歡迎的雙向或三向投注市場的投注分差。剩下的 20 次投注會分配到 86.5% 的贏的機率，確保 250 次投注的平均機率保持在 52%。結果完全相同。

當然，投注者無法在 92% 的投注中找到任何價值實際上是很不可能的，而在剩下的 8% 中找到很大的獲利期望，但此練習進一步說明之前的重點：在判斷以 Kelly 投多少注和管理其風險時，只需要準確知道您的平均優勢。

對大多數投注者而言，找到任何優勢是很難破解的問題。投注者太容易被運氣和高估自己的因果錯覺所愚弄。只嬴得您的等額投注的 49% 和 4% 的 Kelly 策略，當然更常失敗 ( 在 250 次等額投注後，與固定本金的五分之三相比，虧損的機率是四分之三)。