Kelly 準則回顧（第 2 部分）：減額 Kelly 法

我在上個月的文章中，回顧了本金管理法 Kelly 準則。如果您還不熟悉，Kelly 準則的策略是根據勝率以及投注者勝過博彩業者賠率的主觀優勢，決定投注的金額比例。

我意外發現，即使投注者無法準確估計自己擁有的優勢，只要平均預測能力有一定水準，Kelly 準則就能控制風險。然而，Joe Peta 在他的 Kelly 準則分析中曾表示：「不論您計算的預期投資報酬率為何，變異數都會相當大……大到沒有投資價值」。

我在這篇文章要進一步探討如何降低高變異數的風險，以及它對於預期獲利的影響。

全額 Kelly 法的問題

Kelly 準則常被批評的一大問題就是資金成長並不穩定，只要偶而出現大額損失，獲利就會中斷。換句話說，資金的變化較為劇烈。

我們可以回顧一下 Kelly 準則的注金計算方式：(獲利 – 1 / 賠率 – 1)。即使我們認為低賠率的注碼有相當大的正期望值，但是若輸掉注碼，就會突然出現鉅額損失。

本月某一場法甲比賽就是範例。另一家博彩業者將巴黎聖日耳曼擊敗康城的賠率定為 1.35，而 Pinnacle（畢諾克）的賠率為 1.20。計算業者的利潤後，賠率隱含的預期獲利為 11.5%（假設 Pinnacle（畢諾克）的市場最準確），Kelly 準則算出的注金比例為 32.8%。

巴黎聖日耳曼和康城的比賽以和局收場，若採用 Kelly 準則投注，光是這一筆注碼就會輸掉三分之一的資金。即使還有機會透過其他大贏特贏的注碼增加資金，不過顯然大多數投注者無法承受這麼大的損失。

損失的痛苦超過贏錢的喜悅

對大多數人來說（即使是追求風險刺激的人），輸掉鉅額資金感受的痛苦。遠超過大贏特贏帶來的喜悅。Daniel Kahneman 在他的著作《快思慢想》中，用一個簡單的思考實驗解釋這一點。

A) 除了現有資金以外，您獲得額外的 1,000 美元。您現在有兩個選擇：

1) 50% 機率贏得 1,000 美元

2) 保證獲得 500 美元

B) 除了現有資金以外，您獲得額外的 2,000 美元。您現在有兩個選擇：

1) 50% 機率損失 1,000 美元

2) 保證損失 500 美元

就「絕對所得」來說，問題 A 和 B 的結果相同。若在 A 或 B 問題中選擇保證獲利或保證損失，最後的資金都是 1,500 美元（除了現有資金以外）。若選擇賭一把，依據勝負，可能出現 2,000 美元或 1,000 美元的結果。您會選哪一個？

Kahneman 和他的同事 Amos Tversky 進行這個實驗題目時，他們發現大多數人在 A 獲利問題中偏好避免損失（選擇保證獲利）；在 B 損失問題中偏好冒險（選擇賭一把）。

這兩個決策問題會產生相同的結果，人們應該都選擇「保證」選項才對。然而回答者在兩個問題中選擇不同的選項，顯然他們的行為都不理性。產生這個現象的解釋是：問題 A 和 B 的基準點不同。

問題 A 為現有資金 + 1,000 美元；問題 B 為現有資金 + 2,000 美元。Kahneman 認為，由於很少人會注意基準點為何，因此人們選擇冒險或避免損失時，並未評估絕對資產，而是評估相對資產。而且衡量獲利和損失的影響時，雖然人人喜愛獲利，不過更厭惡損失。

如果有一筆公平等額注碼，贏得注碼就可以增加三分之一資金，但輸掉注碼會損失三分之一資金，您願意接受嗎？如果您不願意，那就如我所料，您和大多數人一樣有損失趨避的傾向。勝率多高您才會考慮改變心意？60%？70%？95%？還是更高？

損失趨避的演化解釋

從演化角度來看，和獲利相比，人們更在乎損失並不讓人意外。如同 Kahneman 所述，和生存和繁衍的機會相比，生物傾向積極評估威脅。

由於我們代表演化的贏家（畢竟我們都活下來了），因此這必定表示在自然選擇中，損失趨避是較有利的適應策略。

透過演化，我們的神經回路變得擅長偵測刺激的相對變化，而不是絕對數值。您可以使用三杯水實驗一下，一杯是熱水，一杯是冰水，一杯是溫水。

把左手放在熱水杯上，並且把右手放在冰水杯上一分鐘時間，然後再快速把兩手同時放在溫水杯上。雖然兩隻手感覺到的絕對溫度相同，但是左手會感到冰冷，右手會感到溫暖，原因就是兩隻手的基準點不同。

透過降低注金強化 Kelly 準則

若人們有損失趨避的傾向，必然無法接受投注全額 Kelly 法產生的劇烈風險，那麼解決方法顯然就是降低 Kelly 準則的注金。不過降低注金對於這個本金管理策略的預期獲利究竟會有什麼影響？

許多人建議，將 Kelly 準則的注金減半，可以大幅降低資金劇烈變動的情況，同時保持一定水準的預期獲利。我們可以進行模擬，瞭解這種說法是否正確。

在一系列 250 筆等額注碼中，投注者的獲利為 4%（預期勝率為 52%），一次模擬的結果如下圖。

我比較了四種本金管理策略：Kelly 準則投注全額注金、一半注金、四分之一注金，以及八分之一注金。全額 Kelly 法的注金為 8%，一半注金、四分之一注金，以及八分之一注金 Kelly 法的注金分別為 4%、2% 和 1%。如我所料，全額 Kelly 法的資金變動最為劇烈，八分之一注金 Kelly 法的資金變動最小。

下一張圖也顯示運氣優於期望值時的表現，相對來說全額 Kelly 法的表現比減額法好得多。

不過同樣地，在運氣不佳的情況下，全額 Kelly 法的損失也更大。以下第三張圖是一系列 10 次連續虧損，使資金減少 30%。八分之一注金 Kelly 法只會損失 3.75% 資金。如上所述，即使全額 Kelly 法的獲利較高，大多數投注者無法接受這種鉅額損失。

然而，以上只是 4% 獲利等額注碼的三種可能結果。我們必須另外進行蒙地卡羅模擬，才能判斷平均預期結果。

我另外進行 10,000 輪的蒙地卡羅模擬，比較四種減額 Kelly 法出現最終資金比初始資金還少的可能性。請記住，我們之前發現約 14% 的最終資金低於初始資金的 60%，這個結果符合 Joe Peta 原本對於這個策略的批評。

這個新的模擬結果也大致相同（在隨機變化的範圍內）。下表列出所有機率。

從投注 250 筆等額注碼後的結果來看，雖然減少 Kelly 準則的注金金額不會劇烈影響獲利機率，不過它確實能防止 20% 以上鉅額損失的情況出現。

二分之一注金 Kelly 法損失 20% 資金的機率減半。四分之一注金 Kelly 法損失 20% 資金的機率趨近於零。它更能大幅降低損失 40% 資金的風險。不過投注者需付出多少預期獲利的代價？

下表為四種策略投注 250 筆注碼後的資金平均值和中位數。

雖然二分之一注金 Kelly 法的平均預期獲利遠低於全額 Kelly 法，不過中位數期望值只減少約四分之一。請記住，由於減額 Kelly 法出現幾次非常高額的最終資金，拉高了平均預期獲利，因此中位數比較能代表一般的預期結果。例如中位數 116 表示約 50% 最終資金低於或等於 116，約 50% 高於 116。也就是說，投注者值得以獲利為代價，採用風險較低的二分之一注金 Kelly 法（或進一步降低注金）。

最後一張表顯示另一次蒙地卡羅模擬的結果，其中投注者擁有 8% 獲利（54% 勝率）。結論大致相同：只要稍微犧牲預期獲利（中位數），就能大幅降低虧損風險。

減額版的 Kelly 準則是否為最佳本金管理法？

減額 Kelly 法似乎能幫助投注者解決全額 Kelly 法劇烈變動的風險，同時不犧牲太多 Kelly 策略優於固定注金策略的獲利。對於厭惡虧損的投注者來說，希望這會是個好消息。

當然，一如往常，真正的難題在於確保自己擁有勝過賠率的優勢。投注者相信自己能獲利，並不代表真的擁有獲利優勢。別被自己的過度自信愚弄。