我在上個月的文章中,回顧了本金管理法 Kelly 準則。如果您還不熟悉,Kelly 準則的策略是根據勝率以及投注者勝過博彩業者賠率的主觀優勢,決定投注的金額比例。
我意外發現,即使投注者無法準確估計自己擁有的優勢,只要平均預測能力有一定水準,Kelly 準則就能控制風險。然而,Joe Peta 在他的 Kelly 準則分析中曾表示:「不論您計算的預期投資報酬率為何,變異數都會相當大……大到沒有投資價值」。
我在這篇文章要進一步探討如何降低高變異數的風險,以及它對於預期獲利的影響。
全額 Kelly 法的問題
Kelly 準則常被批評的一大問題就是資金成長並不穩定,只要偶而出現大額損失,獲利就會中斷。換句話說,資金的變化較為劇烈。
我們可以回顧一下 Kelly 準則的注金計算方式:(獲利 – 1 / 賠率 – 1)。即使我們認為低賠率的注碼有相當大的正期望值,但是若輸掉注碼,就會突然出現鉅額損失。
本月某一場法甲比賽就是範例。另一家博彩業者將巴黎聖日耳曼擊敗康城的賠率定為 1.35,而 Pinnacle(畢諾克)的賠率為 1.20。計算業者的利潤後,賠率隱含的預期獲利為 11.5%(假設 Pinnacle(畢諾克)的市場最準確),Kelly 準則算出的注金比例為 32.8%。
巴黎聖日耳曼和康城的比賽以和局收場,若採用 Kelly 準則投注,光是這一筆注碼就會輸掉三分之一的資金。即使還有機會透過其他大贏特贏的注碼增加資金,不過顯然大多數投注者無法承受這麼大的損失。
損失的痛苦超過贏錢的喜悅
對大多數人來說(即使是追求風險刺激的人),輸掉鉅額資金感受的痛苦。遠超過大贏特贏帶來的喜悅。Daniel Kahneman 在他的著作《快思慢想》中,用一個簡單的思考實驗解釋這一點。
A) 除了現有資金以外,您獲得額外的 1,000 美元。您現在有兩個選擇:
1) 50% 機率贏得 1,000 美元
2) 保證獲得 500 美元
B) 除了現有資金以外,您獲得額外的 2,000 美元。您現在有兩個選擇:
1) 50% 機率損失 1,000 美元
2) 保證損失 500 美元
就「絕對所得」來說,問題 A 和 B 的結果相同。若在 A 或 B 問題中選擇保證獲利或保證損失,最後的資金都是 1,500 美元(除了現有資金以外)。若選擇賭一把,依據勝負,可能出現 2,000 美元或 1,000 美元的結果。您會選哪一個?
Kahneman 和他的同事 Amos Tversky 進行這個實驗題目時,他們發現大多數人在 A 獲利問題中偏好避免損失(選擇保證獲利);在 B 損失問題中偏好冒險(選擇賭一把)。
這兩個決策問題會產生相同的結果,人們應該都選擇「保證」選項才對。然而回答者在兩個問題中選擇不同的選項,顯然他們的行為都不理性。產生這個現象的解釋是:問題 A 和 B 的基準點不同。
問題 A 為現有資金 + 1,000 美元;問題 B 為現有資金 + 2,000 美元。Kahneman 認為,由於很少人會注意基準點為何,因此人們選擇冒險或避免損失時,並未評估絕對資產,而是評估相對資產。而且衡量獲利和損失的影響時,雖然人人喜愛獲利,不過更厭惡損失。
如果有一筆公平等額注碼,贏得注碼就可以增加三分之一資金,但輸掉注碼會損失三分之一資金,您願意接受嗎?如果您不願意,那就如我所料,您和大多數人一樣有損失趨避的傾向。勝率多高您才會考慮改變心意?60%?70%?95%?還是更高?
損失趨避的演化解釋
從演化角度來看,和獲利相比,人們更在乎損失並不讓人意外。如同 Kahneman 所述,和生存和繁衍的機會相比,生物傾向積極評估威脅。
由於我們代表演化的贏家(畢竟我們都活下來了),因此這必定表示在自然選擇中,損失趨避是較有利的適應策略。
透過演化,我們的神經回路變得擅長偵測刺激的相對變化,而不是絕對數值。您可以使用三杯水實驗一下,一杯是熱水,一杯是冰水,一杯是溫水。
把左手放在熱水杯上,並且把右手放在冰水杯上一分鐘時間,然後再快速把兩手同時放在溫水杯上。雖然兩隻手感覺到的絕對溫度相同,但是左手會感到冰冷,右手會感到溫暖,原因就是兩隻手的基準點不同。
透過降低注金強化 Kelly 準則
若人們有損失趨避的傾向,必然無法接受投注全額 Kelly 法產生的劇烈風險,那麼解決方法顯然就是降低 Kelly 準則的注金。不過降低注金對於這個本金管理策略的預期獲利究竟會有什麼影響?
許多人建議,將 Kelly 準則的注金減半,可以大幅降低資金劇烈變動的情況,同時保持一定水準的預期獲利。我們可以進行模擬,瞭解這種說法是否正確。
在一系列 250 筆等額注碼中,投注者的獲利為 4%(預期勝率為 52%),一次模擬的結果如下圖。
我比較了四種本金管理策略:Kelly 準則投注全額注金、一半注金、四分之一注金,以及八分之一注金。全額 Kelly 法的注金為 8%,一半注金、四分之一注金,以及八分之一注金 Kelly 法的注金分別為 4%、2% 和 1%。如我所料,全額 Kelly 法的資金變動最為劇烈,八分之一注金 Kelly 法的資金變動最小。

下一張圖也顯示運氣優於期望值時的表現,相對來說全額 Kelly 法的表現比減額法好得多。

不過同樣地,在運氣不佳的情況下,全額 Kelly 法的損失也更大。以下第三張圖是一系列 10 次連續虧損,使資金減少 30%。八分之一注金 Kelly 法只會損失 3.75% 資金。如上所述,即使全額 Kelly 法的獲利較高,大多數投注者無法接受這種鉅額損失。

然而,以上只是 4% 獲利等額注碼的三種可能結果。我們必須另外進行蒙地卡羅模擬,才能判斷平均預期結果。
我另外進行 10,000 輪的蒙地卡羅模擬,比較四種減額 Kelly 法出現最終資金比初始資金還少的可能性。請記住,我們之前發現約 14% 的最終資金低於初始資金的 60%,這個結果符合 Joe Peta 原本對於這個策略的批評。
這個新的模擬結果也大致相同(在隨機變化的範圍內)。下表列出所有機率。
最終資金
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全額 Kelly 法 (4%)
|
二分之一注金 Kelly 法
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四分之一注金 Kelly 法
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八分之一注金 Kelly 法
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<100%
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38%
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34%
|
29%
|
29%
|
<80%
|
25%
|
12%
|
2%
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0%
|
<60%
|
15%
|
2%
|
0%
|
0%
|
<40%
|
5%
|
0%
|
0%
|
0%
|
<20%
|
0%
|
0%
|
0%
|
0%
|
從投注 250 筆等額注碼後的結果來看,雖然減少 Kelly 準則的注金金額不會劇烈影響獲利機率,不過它確實能防止 20% 以上鉅額損失的情況出現。
二分之一注金 Kelly 法損失 20% 資金的機率減半。四分之一注金 Kelly 法損失 20% 資金的機率趨近於零。它更能大幅降低損失 40% 資金的風險。不過投注者需付出多少預期獲利的代價?
下表為四種策略投注 250 筆注碼後的資金平均值和中位數。
最終資金
|
全額 Kelly 法 (4%)
|
二分之一注金 Kelly 法
|
四分之一注金 Kelly 法
|
八分之一注金 Kelly 法
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平均值
|
147
|
121
|
110
|
105
|
中位數
|
122
|
116
|
109
|
105
|
雖然二分之一注金 Kelly 法的平均預期獲利遠低於全額 Kelly 法,不過中位數期望值只減少約四分之一。請記住,由於減額 Kelly 法出現幾次非常高額的最終資金,拉高了平均預期獲利,因此中位數比較能代表一般的預期結果。例如中位數 116 表示約 50% 最終資金低於或等於 116,約 50% 高於 116。也就是說,投注者值得以獲利為代價,採用風險較低的二分之一注金 Kelly 法(或進一步降低注金)。
最後一張表顯示另一次蒙地卡羅模擬的結果,其中投注者擁有 8% 獲利(54% 勝率)。結論大致相同:只要稍微犧牲預期獲利(中位數),就能大幅降低虧損風險。
最終資金
|
全額 Kelly 法 (4%)
|
二分之一注金 Kelly 法
|
四分之一注金 Kelly 法
|
八分之一注金 Kelly 法
|
<100%
|
28%
|
16%
|
13%
|
11%
|
<80%
|
20%
|
9%
|
3%
|
0%
|
<60%
|
13%
|
4%
|
0%
|
0%
|
<40%
|
9%
|
1%
|
0%
|
0%
|
<20%
|
2%
|
0%
|
0%
|
0%
|
平均值
|
500
|
224
|
150
|
122
|
中位數
|
223
|
182
|
142
|
121
|
減額版的 Kelly 準則是否為最佳本金管理法?
減額 Kelly 法似乎能幫助投注者解決全額 Kelly 法劇烈變動的風險,同時不犧牲太多 Kelly 策略優於固定注金策略的獲利。對於厭惡虧損的投注者來說,希望這會是個好消息。
當然,一如往常,真正的難題在於確保自己擁有勝過賠率的優勢。投注者相信自己能獲利,並不代表真的擁有獲利優勢。別被自己的過度自信愚弄。