投注資源當中有幾篇值得一讀的文章，說明 Pinnacle（畢諾克）的足球賽事投注賠率如何及為何能提供最高價值，並且是線上運彩市場中最有效率的市場。
賠率為 1.50 的隊伍約可贏得 67% 的比賽－瞭解這一點之後，可以說如果一支隊伍的賠率為 1.50，它的獲勝機率約為 67%。
只要利用這項知識，我們就能使用賽事賠率來判斷隊伍的運氣好壞，以及它可能的季末排名。
我先前已利用此方法探討萊斯特城贏得 2015/16 年英超冠軍的可能性。在本文中，我要更全面檢視上季表現，並據此針對 2017/18 年新賽季嘗試進行一些預測。
利用 Pinnacle（畢諾克）的關閉賠率預測賽果機率
Pinnacle（畢諾克）的足球輸贏盤市場關閉賠率被公認為可以準確評估發生特定賽果的「真實」機率。當然，打完比賽前我們無從得知賽果的真實機率，但根據成千上百場賠率相似的比賽情況，這些比賽的賽果和預測賽果相同的百分比，相當接近於賠率所隱含的機率。
實際上，這表示如果隊伍的賠率為 1.50，它約可贏得 67% 的比賽。瞭解這一點之後，可以說如果一支隊伍的賠率為 1.50，它的獲勝機率約為 67%；若賠率為 5.00，獲勝機率約為 20% 。
排除利潤，找出「真實」賠率
當然，如果想從賽事賠率可靠地估算賽果機率，首先必須排除 Pinnacle（畢諾克）的利潤。Pinnacle（畢諾克）一開始如何為一組「真實」或公平賠率設定利潤的確切方式當然仍是機密。
然而，有幾種將熱門－冷門偏誤（相對於熱門隊伍，冷門隊伍賠率更容易成比例降低）納入考量的候選方法，可能可提供符合直覺的合理解答。
在弗格森世代結束後，英超優勝冠軍投注市場仍可能高估曼聯，將它視為一支勁旅。
其中一種方法是使用稱為「對數函數」的函數。對數單純定義某個數字的多少次方，可以得出另一個數字。例如 100 的底數 10 對數為 2，因為 10 的 2 次方 = 100，因此 log10100 = 2。
套用對數函數為一組「真實」賠率設定利潤時，會為各個輸贏盤賠率套用相同的 AME 次方數值。以下或許是最容易理解的範例。
假設公平輸贏盤賠率為 2.00、3.00 和 6.00。現在我們加上利潤，也就是計算以上數值的 0.95 次方。就可得到 1.93、2.84 和 5.49 的輸贏盤賠率，利潤（或贏利）約為 5.2%（因為賽果隱含機率提高到 105.2%）。您會發現較高的客場賠率下降的程度大得多 (9.4%)，而較低的主場賠率下降程度較少 (3.5%)。
只要反轉這個計算過程，就能從已公布的輸贏盤賠率找出一組「真實」賠率。「對數函數」模型符合直覺，因為它符合風險和效用的主要標準經濟理論。
假設風險敏感度為對數，對投注者而言，賠率 2.00 和 1.93 的差異，等同於賠率 6.00 和 5.49 的差異。後者的差異比前者大，但投注者顯然較不關注機率較低的賽事，所以也不會在意潛在價值較低的賠率。
利用蒙地卡羅法模擬足球賽果和聯賽積分
計算真實賽果機率後，我們就需要決定賽果。當然在現實世界中，比賽結束之後就能得知賽果，但我們現在感興趣的是預期賽果。
利用賽事賠率建立模型之後，所有隊伍的季末排名都在預期排名上下四名以內，而且能準確預測六隊的排名。
如同期望值和進球期望值，這確實只是一種根據預測模型參數（在此為 Pinnacle（畢諾克）關閉賠率隱含的預期賽果機率）判斷可能賽況的方法。
其中一種模擬預期賽果的方式，是使用蒙地卡羅模擬法隨機產生數千場比賽的賽果。如果產生的隨機機率小於賽果機率，比賽結果就設定為此賽果（即為發生此賽果）；如果產生的隨機機率大於賽果機率，比賽結果就設定為無結果（即為未發生此賽果）
針對整季每一隊的 38 場比賽重複此計算過程後，我們就能模擬出預期積分。蒙地卡羅法能提供各隊預期總積分的常態分布。利用 Pinnacle（畢諾克）2016/17 年賽季的關閉賠率，以下為冠軍切爾西、前冠軍萊斯特城，以及被降級的桑德蘭的計算結果。
根據此模型，切爾西的平均預期總積分為 77.7。事實上，我們知道它的季末總積分為 93，這顯示兩件事。
第一，此模型並非能夠完全準確預測英超戰績的方法。確實，根據實際賽事賠率，曼城上季的預期總積分為 81.3，應該可以贏得冠軍。當然，沒有一個模型百分之百準確，不過其中卻有優劣之分。
假設風險敏感度為對數，對投注者而言，賠率 2.00 和 1.93 的差異，等同於賠率 6.00 和 5.49 的差異。
第二，我們知道模型預測結果一般來說低於真實數值，許多隊伍的預期總積分低於實際總積分。積分 24 分的桑德蘭被降級，但根據賽季的賽事賠率，它的預期總積分為 32.1。這表示切爾西相對於預期結果運氣較佳，而桑德蘭運氣較差。
真實分數理論告訴我們，觀測結果等於能力（差異）加上運氣（差異）。預測模型僅考量能力部分，未考量運氣。
雖然未盡完善，利用賽事賠率建立模型，確實可以相當準確地預測聯賽戰績（至少就排名而言）。所有隊伍的季終排名都在預期排名上下四名以內，而且能準確預測六隊的排名，另外五隊只差一名。
|
隊伍
|
實際積分
|
預期積分
|
實際排名
|
預期排名
|
差異
|
|
切爾西
|
93
|
77.7
|
1
|
2
|
1
|
|
熱刺
|
86
|
72.8
|
2
|
5
|
3
|
|
曼城
|
78
|
81.3
|
3
|
1
|
-2
|
|
利物浦
|
76
|
74.2
|
4
|
4
|
0
|
|
兵工廠
|
75
|
74.3
|
5
|
3
|
-2
|
|
曼聯
|
69
|
72.7
|
6
|
6
|
0
|
|
艾佛頓
|
61
|
55.7
|
7
|
8
|
1
|
|
南安普頓
|
46
|
57.5
|
8
|
7
|
-1
|
|
伯恩茅斯
|
46
|
43.5
|
9
|
12
|
3
|
|
西漢姆
|
45
|
43.6
|
10
|
11
|
1
|
|
西布朗
|
45
|
40.8
|
11
|
14
|
3
|
|
萊斯特
|
44
|
50.0
|
12
|
9
|
-3
|
|
斯托克城
|
44
|
43.1
|
13
|
13
|
0
|
|
水晶宮
|
41
|
44.8
|
14
|
10
|
-4
|
|
斯旺西
|
41
|
40.0
|
15
|
15
|
0
|
|
沃特福德
|
40
|
38.0
|
16
|
17
|
1
|
|
班來
|
40
|
33.2
|
17
|
19
|
2
|
|
赫爾城
|
34
|
34.7
|
18
|
18
|
0
|
|
米德斯堡
|
28
|
38.2
|
19
|
16
|
-3
|
|
桑德蘭
|
24
|
32.1
|
20
|
20
|
0
|
英超預測：直接使用賠率
另一種模擬賽果和積分的方式，是完全跳過蒙地卡羅法計算過程。如果一支主場隊伍的公平賠率為 2.0、3.0 和 6.0（分別為主場獲勝、和局、客場獲勝），這表示這場比賽的預期總分為 (50% x 3 分) + (33.33% x 1 分) + (16.67% x 0 分) = 1.833 分。相反地，客場隊伍的預期賽事總分為 0.833。
預測 2017/18 年英超戰績的最簡單模型，就是假設歷史對未來有關鍵性影響。
重複次數夠多的蒙地卡羅法也能得出相同答案，但這個方法是比較簡單的捷徑。以下比較兩種方法的預期聯賽總積分，顯示結果相似。然而和蒙地卡羅法相比，它的缺點是無法估算誤差。因此，它無法估算各個季終排名的機率。
|
隊伍
|
實際積分
|
預期積分（蒙地卡羅法）
|
預期積分（直接計算法）
|
|
切爾西
|
93
|
77.7
|
77.7
|
|
熱刺
|
86
|
72.8
|
72.8
|
|
曼城
|
78
|
81.3
|
81.3
|
|
利物浦
|
76
|
74.2
|
74.1
|
|
兵工廠
|
75
|
74.3
|
74.4
|
|
曼聯
|
69
|
72.7
|
72.8
|
|
艾佛頓
|
61
|
55.7
|
55.7
|
|
南安普頓
|
46
|
57.5
|
57.5
|
|
伯恩茅斯
|
46
|
43.5
|
43.5
|
|
西漢姆
|
45
|
43.6
|
43.6
|
|
西布朗
|
45
|
40.8
|
40.8
|
|
萊斯特
|
44
|
50.0
|
50.0
|
|
斯托克城
|
44
|
43.1
|
43.1
|
|
水晶宮
|
41
|
44.8
|
44.8
|
|
斯旺西
|
41
|
40.0
|
40.0
|
|
沃特福德
|
40
|
38.0
|
37.9
|
|
班來
|
40
|
33.2
|
33.3
|
|
赫爾城
|
34
|
34.7
|
34.7
|
|
米德斯堡
|
28
|
38.2
|
38.2
|
|
桑德蘭
|
24
|
32.1
|
32.1
|
2017/18 年英超賽季預測
預測 2017/18 年英超戰績的最簡單模型，就是假設歷史對未來有關鍵性影響。除了球員轉隊等其他因素外，下表顯示重複 100,000 次蒙地卡羅法後，各隊（未被降級）在 2016/17 年排名第一的次數，另外還包括隊伍贏得 2017/18 年冠軍的機率和其隱含公平賠率。這些資料可和 Pinnacle（畢諾克）的季前優勝冠軍賠率比較，尋找潛在價值。
|
隊伍
|
100,000 次模擬中贏得冠軍次數
|
成為 2017/18 年冠軍的預期機率
|
隱含公平投注賠率
|
Pinnacle（畢諾克）的投注賠率（截至 2017 年 8 月 10 日）
|
|
曼城
|
44,096
|
44.10%
|
2.27
|
2.65
|
|
切爾西
|
23,406
|
23.41%
|
4.27
|
4.70
|
|
兵工廠
|
11,889
|
11.89%
|
8.41
|
12.00
|
|
利物浦
|
11,812
|
11.81%
|
8.47
|
12.00
|
|
熱刺
|
8,552
|
8.55%
|
11.69
|
9.15
|
|
曼聯
|
8,298
|
8.30%
|
12.05
|
4.80
|
|
南安普頓
|
99
|
0.10%
|
1,010
|
N/A
|
|
艾佛頓
|
37
|
0.037%
|
2,703
|
N/A
|
|
萊斯特
|
4
|
0.004%
|
25,000
|
N/A
|
|
伯恩茅斯
|
1
|
0.001%
|
100,000
|
N/A
|
|
西漢姆
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
|
西布朗
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
|
斯托克城
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
|
水晶宮
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
|
斯旺西
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
|
沃特福德
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
|
班來
|
0
|
0%
|
N/A
|
N/A
|
根據我們的模型，曼城、切爾西、兵工廠和利物浦都提供相等的價值。曼聯相較之下不被看好，熱刺則稍好一些。在弗格森世代結束，穆里尼奧擔任經理後，英超優勝冠軍投注市場仍可能高估曼聯，將它視為一支勁旅。此外，很合理地，此模型未考量曼聯在夏季高調簽下 Romelu Lukaku 和 Nemanja Matic。
貝氏方法
此模型有一個明顯的缺點：它需要完整的賽季結果才能推算下一季的結果。然而，我們沒有理由要因為此項限制而受限。反之，我們可以選擇根據目前已進行的比賽進行模型計算，或是在過程中根據最近 38 場賽事不斷更新模型機率和隱含優勝冠軍投注賠率。
當然，在賽季進行期間，我們也要考量各隊已贏得的實際積分。此類貝氏方法很類似統計推算法，出現更多消息或資訊時，可以納入考量並更新假設機率。我們也能比照此方法，用於英超降級投注和前四名等市場。
雖然這是簡單的模型，它的預測結果顯然大致符合 Pinnacle（畢諾克）交易員的預測。
