十二月 12, 2016
十二月 12, 2016

體育投注小數法則

體育投注小數法則
小數法則是一項認知偏誤,大家容易相信數量少的觀察值能貼切反映母體。 繼續讀下去,透過醫院的小測驗,來測試您的邏輯程度,同時發現圖片如何誤導大家,以及利用統計數值投注時,如何避免損失。

醫院小測驗

丹尼爾卡內曼和阿莫斯特沃斯基兩位心理學家,在 1974 年對實驗對象提出以下情境,之後再問一個問題。某個小鎮設有兩家醫院。每天有 45 位嬰兒在較大的醫院中出生;有 15 位嬰兒每天在較小的醫院中出生。

我們知道所有嬰兒大約 50% 是男生。但確切的百分比每天都不同。有時候可能高於 50%,有時候低於 50%。為期一整年的時間,每家醫院都記錄超過 60% 新生兒是男生的日期。您覺得哪家醫院記錄的天數比較多?

  •        大醫院
  •        小醫院
  •        一樣 (雙方差距不到 5%)

根據二項式理論,由於出生比率變化急遽,因此在小醫院出生的男嬰與女嬰數目,比率超過六比四的天數 ,小醫院的數字是大醫院將近三倍之多。大樣本較不可能偏離 50% 太多。但只有 22% 的受訪者答對。

什麼是捷思法?

卡內曼和特沃斯說這項錯誤就是相信小數法則。更概括地說,根據小樣本所做的判斷通常都被誤以為能代表較大的母體。例如,看似隨機分配的小樣本,會讓人更容易相信從中選擇性挑選樣本的大母體也是隨機分配。 

醫院小測驗:大樣本較不可能偏離 50% 太多。但只有 22% 的受訪者答對。

相反地,若小樣本顯示明顯規律模式 - 例如擲 10 次硬幣出現九次正面 - 就會使觀察人員相信母體顯示相同的規律模式。如此一來,這項假設就是硬幣具有偏誤。對於隨機或無規律的數據模式的感知經驗,就稱為真理妄想 (apophenia)

小數法則所說的,就是大家在不確定的情況下進行判斷時,所選擇的某些心理捷徑。卡內曼和特沃斯將這些捷徑稱為捷思法 (heuristics)。由小樣本做歸納是代表性捷思法的範例,大家只根據輕易就能想到的以往類似事件,來評估特別事件機率。

另一個代表性捷思法的例子,可由賭徒謬誤看出。相信小數法則的確會導致這種偏誤。如同卡內曼和特沃斯所說的:

賭徒謬誤的核心就是誤解了機率法則的公平性。投注者覺得硬幣的公平性讓他有理由預期,往某個方向偏離的話,很快就會被相反的等量偏離抵消。受試者以為隨機序列的每個 線段必須反映真實比率;如果序列偏離母體比率,就該出現修正偏誤。

判讀樣本大小不相等的圖形

體育投注者因為誤信小數法則,特別容易誤判模式。將小樣本投注的機率誤判成代表隨機偏移及可以據以進行預測,長期下來對財務可能有不利的後果。假如 100 次投注國家美式橄欖球聯盟賽點讓分盤的假設機率表如下。每次投注的已設賠率都是 1.95。很棒,對吧?

 gr-small-numbers-1.jpg

如果我告訴您,這個紀錄來自一位知名的美國體育盤口研究者呢?成長趨勢如此誘人,獲利率又有15%,您要相信我,再自然也不過。當然,我在騙人。事實上,下面的 1,000 次投注表揭露了真相。

gr-small-numbers-2.jpg


長期下來根本不賺錢。原因:這張表只是隨機變數產生器所製作,假設個別贏取彩金的機率是 50%,
獲利期望值為 -2.5%。第一張圖不過是第二張圖的前 100 次投注。

但在第二次為期較長的序列中,幾百次投注的機率就很正常。而且,儘管最後顯示賠錢,時間序列的模式看起來根本不隨機,始終像波浪一樣。

但是就像卡內曼和特沃斯所認定的,即使沒有潛在機制,我們根本不可能察知非隨機結果序列。以下兩個二項式序列,哪一個看起來是隨機?哪個不是?

0, 0, 0, 0 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
 
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1

 

多數人會選第二個序列。事實上,第一個序列是在 Excel 隨機產生,我以較短的 1 和 0 序列刻意編了第二個。被要求製作像這樣的隨機序列時,如果我們ˊ覺得其中一個太常發生時,我們很多人都會把 1 換成 0,或是反過來代換。

現在來看下面的一千次投注表。他們全都是隨機產生的。可能出現的結果範圍要是很大,這能讓您看到明顯的規律模式能夠輕鬆讓人上當。


gr-small-numbers-3.jpg
要記得,這些不是 100 次投注,是 1,000 次。看看中間那一個。專業線民或投注者想要的條件都有。整ˋ個投注期獲利率為 5% ,利潤成長強勁。這是讓分盤最佳的長期表現。但一切都只是偶然。

利用二項式分配,儘管期望值為 -2.5%,但我們在投注一段時間ˋ之後,仍有機會獲利。

投注數 (賠率1.95,50% 獲勝機率)

所需勝場數最少

獲利機率

100

52

38.22%

250

129

32.90%

500

257

28.05%

1000

513

21.46%

2500

1283

9.68%

5000

2565

3.40%

10000

5129

0.51%


在投注 1,000 次後,儘管我們隨機投注,獲利機率仍逾五分之一。若我們對每一場國家美式足球聯盟球賽中,投注一次讓分盤,這樣我們能投注將近四季。這段時間長到讓我們相信,我們只能靠運氣了。

多小是小?

小數法則是一項認知偏誤,大家容易相信數量少的觀察值能貼切反映母體。再者,如同這個練習題所顯示出的,小有時其實很大。它之所以存在,是因為大家喜歡確定性勝過疑惑、喜歡解釋勝過一無所知、喜歡因果勝過相關性、喜歡模式勝過隨機、喜歡技巧 (尤其是能獲利的技巧) 勝過運氣。輕忽其重要性的體育投注者,將付出慘痛代價。 

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