瞭解機率。

從帶雨傘出門到投注，我們每天根據我們對機率的瞭解做出決定。但我們的自然本能經常想要誤導我們，但我們最信任的好友統計數字讓我們回到正確的路上。

警告：本文揭開的心理陷阱相當違反直覺，連最有經驗的統計學家都會大感驚訝。但接下來說明理論之前，我們先來測試我們的自然本能。 

兩個技巧相當的英式撞球選手對決。您認為領先優勢會改變幾次？您希望他們打越多局時，領先優勢會改變越多次或越少次？

我們已假設技巧相當，因此我們可以用最有名的隨機方法 - 投硬幣 - 觀察領先優勢如何改變，一邊是人頭，一邊是數字。為了讓領先優勢改變，落後的選手要先趕上領先的選手。因此，讓我們從多常均等化開始。

如果我們投六次硬幣，我們會直覺的認為連續六次投出人頭是不太可能的結果。投六次會產生 64 個可能的結果組合。投六次的結果都一樣機率 - 全都是人頭或數字 - 2/64，或大概是 3%。(1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½)

我們也瞭解即使每個結果的機率都是 50%，這並不必然意味著在如同投幣六次一樣小的樣本中，我們將必然投出三次人頭和三次數字。

在投硬幣六次中，人頭和數字的次數相同的實際機率是 20/64（計算結果 31%）或大約三分之一。這代表如果我們重複連續投幣六次的試驗三次，就保證會得到人頭和數字的次數相同的結果嗎？再次申明答案是並不必然。 

計算均等化的機率

因此，投幣次數不同，人頭和數字的次數相同的機率是多少？人頭或數字在任何階段的領先優勢或相同。   若要在任何順序中都達到相同，投幣總次數必須均等。

由於我們增加了投幣次數 (2,4,6,8…)，因此我們可能認為人頭或數字的次數相同更有可能發生。   這是平均法則的直覺應用；一般認為隨著樣本數增加，結果會越來越接近整個母體的平均值，或更簡單的是，我們可能在下雨一週後預測晴天的原因。

從統計學的觀點來看，這不只是錯，而是大錯特錯。

在 “Taking Chances” 一中，John Haigh 檢驗了連續獨立投幣序列中，在任何時間點的人頭和數字的次數相同的機率。  

從次數呈現的模式是如此違反直覺，即使我們之中最偏好數學的人都必須看資料兩次才能相信。數據顯示投幣次數增加，均等化的機率實際上會減少。

如果我們繼續投硬幣 20 次，從歷史記錄來看，我們應預測最後一次人頭和數字的次數相同是哪一次？   可能是投第 2、4、6、16、18 或 20 次的其中任一次。有 11 個可能的答案，您會將您的錢投注在哪一個？最近的投幣、較久前的投幣或中間的投幣？

多數人會偏向中間的投幣，但美國統計學教授 David Blackwell 發現關於中間的完全對稱。投 16 次硬幣時，最後人頭和數字的次數相同的機率和投 4 次時相同，投 0 次和 20 次的機率最高，越接近中間次數的機率 越小。 

換言之，如果均等化未提早出現，可能要很長時間才會發生。

領先優勢有多常改變？

以上內容表示領先優勢是以什麼頻率改變？下表是連續投 101 次硬幣後，人頭和數字之間的領先優勢時間改變的機率。   

領先優勢改變在 68% 的時間內不會超過四次。五到九次改變發生在 27% 的時間內，10 次或以上僅 4% 到 5%。

讓事情變得更有趣的是，在序列的下半段有一半的時間分數從未相同，無論是人頭或數字在整個實驗的一半時間內都保持領先一半。   

在運動投注中運用投硬幣智慧

希望此時對投注的應用已變得清楚明瞭。投硬幣實驗教會我們的是，如果選手技巧旗鼓相當，通常會有很長的一段時間彼此不相當，然後可能有幾次實力相近。均等化更可能在比賽開始或結束時是正確的，而不是在接近一半時。

Haigh 計算在技巧相當的選手之間的 50% 的英式撞球比賽中，領先 16 局的選手會一直領先到 32 局後。我們可以將同樣的邏輯運用在足球上嗎？數個不同技巧程度的球隊組成聯賽，因此在我們可以安全的假定規則適用前需要做進一步的調查。

不是每次的結果都跟投硬幣一樣明確，因為有很多要考量的情境因素，例如損失趨避 - 在我們試著避免被打敗的情況中表現更好，而不是在我們只想要嬴的情況中。 投硬幣實驗 是理論，但是對運彩投注者是非常相關的模式。

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