九月 21, 2016
九月 21, 2016

您應該為每注投入多少注金?

您應該為每注投入多少注金?
為了在運動博彩中獲勝,您需要有正向期望值的博彩策略。這意味著估算您每注的平均彩金。但您應該要為每注投入多少注金,才能獲得最高利益?為此,您必須瞭解效用概念。繼續閱讀以深入瞭解。

期望值的概念是17世紀法國數學家帕斯卡和費馬試圖解決點數分配問題時所提出的,可用來解釋投注時可期待的平均獲利,不過這個概念並沒有說明我們應該投入多少本金。而這正是預期效用發揮作用的地方。 

解釋期望值與期望效用

博弈中的期望值 (EV) 可透過獲勝機率和每筆彩金,然後減去落敗機率與每筆損失的金額相乘。由於落敗的機率為1(或100%)減去獲勝的機率,我們可獲得下列簡式:
expected-utility-betting.jpg

「o」代表了博彩公司提供的歐洲賠率。期望值對任何投注者來說是最重要的數值,這讓他們可預期他們長期的獲利或損失。

在玩家瞭解期望值之後,他們必須決定他們必須投注多少 資金。18世紀的數學家丹尼爾白努利瞭解只有有勇無謀的人才會根據客觀的期望值決定投注多少本金,而不考慮投注的主觀結果,也就是對贏利(或損失)的需求。這種主觀的需求性稱為效用。

情況不確定時的效用

我們眼前有兩個箱子。第一個箱子有$10,000現金。第二個箱子可能是$20,000或什麼都沒有;我們不確定結果為何,不過兩個結果的機率相當。您現在需要選擇其中一個箱子。您會選哪一個? 

這是個經典的效用謎題。以數學的觀點來看,兩個箱子期望值同樣為$10,000。如果您可以持續重複這個遊戲,那麼不管選哪個箱子,結果都一樣。不過在這個遊戲中,您只能玩一次。 大數定律在此不適用。

如果您選了第一個箱子,您必然會獲得$10,000。如果您選擇第二個,您會獲得什麼則是機率問題:幸運的話,您會賺到$20,000,不幸的話,您將空手而歸。令人不訝異的是,因為金額夠大,多數的人會選擇第一個箱子。

從效用的觀點來看,確定獲得$10,000必然比一無所獲的風險吸引人。在數學期望值相同的情況下,人們認為在確定狀態比在博弈的情況下可獲得更多效用,因而會避免遭遇風險。

如何計算最佳風險金額?

根據丹尼爾白努利的解釋,人們在不確定的情況下表現的標準理性行為是避免風險。因此他如此論證他的假說:「因財富小幅上揚帶來的效用與你之前擁有的商品量成反比。」換句話說,你擁有的財富越多,你所認定的獲得效用越少。效用函數以對數呈現,一般被稱為邊際效用遞減原理。

儘管使用凱利算式會造成收益的高度震盪,但這讓贏家在長期可以累積最高的彩金。

丹尼爾白努利理論的實際應用之一是廣為人知的稱為凱利算式的金錢管理計畫。這是約翰凱利於1965年任職於AT&T貝爾實驗室時,為了解決長途電話噪音的問題所研發出的計畫,之後很快的被博弈者和投資客應用在優化金錢管理和利潤成長上。

雖然凱利的動機跟白努利的完全不同,他的算式在數學上與效用對數函數相同。實際來看,它引導玩家投入既有財富的比例的本金,與期望值成正比而與獲勝機率成反比。

重新使用EV = po – 1的算式(p是獲勝的「真實機率」,o是注碼的歐洲賠率),我們可以計算出凱利注金(K)的百分比:

kelly-criterion-betting.jpg
重要的是,Kelly算式算出了效用對數的最大值。透過凱利算式獲得的一個結果是起伏極大的獲利,這也許不是每個人想要獲得的效用。另外,在使用它時,會需要ˋ準確估計「真實」的結果機率。 

不過凱利的做法確實讓獲勝玩家在長期最大化他們的彩金。 當然,玩家需要博彩公司接受凱利這樣特定的金錢管理策略,更重要的是,不限制獲勝的金額。Pinnacle在此方面的聲譽無可比擬。

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