手感火熱的球員更容易進球

在 1985 年，也就是 Michael Jordan 贏得 NBA 新人王當年，有一篇在《認知心理學期刊》發表的論文指出，許多人認為籃球員在某段時間內的命中率會高於預期機率，這種想法並不正確。

具體來說，論文作者（Gilovich、Vallone 和 Tversky，合稱「GVT」）的結論是：認為籃球員在氣勢正強時命中率較高，是一種認知錯覺。此情況稱為「熱手謬誤」，和較為常見的「賭徒謬誤」相似。此明顯誤解的原因，據說是人類渴望尋找模式，以解釋隨機發生的事件。

氣勢或熱手概念，絕不僅限於籃球運動。例如「狀態極佳」、「火熱」、「氣勢正強」和「連勝」等說法，都是許多運動常見的評論和分析術語。

即使 GVT 發表研究發現，而且之後有許多探討熱手謬誤的論文，情況仍未改變。時至今日，如果看比賽時沒聽到球評提到上述說法（氣勢正強或表現非凡等等），可能會覺得不太習慣。

為何 30 多年來，球迷和球評總是不斷提到氣勢之類的說法？新研究指出，人們對於氣勢確實存在的直覺，可能一直都是正確的。

在「Surprised by the Gambler's and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers（不相信賭徒和熱手謬誤？小數法則的真相）」這篇論文中，Miller 和 Sanjurjo 指出 GVT 研究中的籃球員確實擁有「熱手」，因此熱手謬誤本身就是個錯誤。1985 年 GVT 研究結果出錯的原因，在於一個簡單但十分重要的取樣誤差。我最好舉例說明。

假設擲一枚公平硬幣五次。如果連續出現兩次人頭後，你就立即記錄每次擲出的結果。擲五次之後，你記錄到的人頭次數預期會佔多少比例？50%？低於或高於 50%？

可能有人認為（就和 GVT 一樣），使用公平硬幣時，機率應該是 50%，然而機率卻比較低。擲一枚公平硬幣五次，有 32 種可能結果，每一種結果出現的機率相等。結果如下表第二欄所示。

32 種可能連續結果當中的 16 種，在擲第 5 次前至少會連續出現兩個人頭，因此必須「記錄」。其中 8 種的人頭佔 0%、3 種的人頭佔 50%、1 種的人頭佔 67%，4 種的人頭佔 100%。由於出現這 16 種連續結果的機率相等，因此在連續出現兩個人頭後，記錄到人頭的預期機率只有 38.5%。

這個看似違反直覺的結果，導致 GVT 和後續「熱手」研究出錯。為了將此誤差圖像化以方便說明，現在假設我們想知道出現一次人頭後，又擲出人頭的機率。下圖為擲公平硬幣高達 500 次的預期機率（5,000 次模擬結果）。

量化取樣誤差

只要計算橘線和真實客觀機率 50% 的垂直距離，即可量化此誤差。若只擲硬幣 10 次，出現人頭後又記錄到人頭的機率為 44.5%。因此誤差為百分之 5.5。

在運動比賽中，不太可能在一次投籃或得一分之後，就出現手感火熱的評論。下圖為連續成功「k」次之後，再次成功的機率誤差（假設真實機率為 50%）。此處同樣模擬 5,000 次。

結果顯示，連續成功次數越多，誤差越大；嘗試次數越少，誤差越小。在 GVT 研究中，設計了一個對照組投籃實驗，有 25 名大學球員，各投籃 100 次，並記錄連續投進或連續失手「k」次後的命中率（k = 1、2、3）。

投籃位置定於各球員命中率約 50% 的位置。GVT 直接比較連續投進後的命中率，和連續失手相同次數之後的命中率。他們假設連續投進 k 次後的機率，等於連續失手 k 次後的機率。

然而，從上述分析可知，這兩個機率並不相等。假設球員投籃 100 次，每次進球的真實機率為 50%，連進 3 球後再次進球的機率約為 46%。反之，連續失手 3 球之後，再次進球的機率約為 54%。

此誤差程度相當大，經過調整之後，GVT 認為不存在熱手的結論就會逆轉。大多數球員確實有手感特別火熱的時候。在運動比賽中，「成功」的機率不太可能永遠保持在 50%。例如 NBA 比賽中，平均罰球命中率約為 75%。  為了瞭解此誤差在不同成功機率下有何差異，下圖估算成功機率 75% 時的結果（5000 次模擬）。

比較兩圖可知，成功機率越高，誤差越小。例如，若嘗試 100 次，客觀機率為 50% 和 75% 時，連續成功 5 次後再次成功的機率分別為 38% 和 72%。也就是說，誤差分別為 12% (50% - 38%) 和 3% (75% - 72%)。

NBA 明星賽三分球大賽的火熱手感

接下來，我檢視參加過去四屆（2015 年至 2018 年）NBA 明星賽三分球大賽的球員，是否出現熱手。由於三分球大賽的場地和出手位置皆相同，而且沒有防守壓力，因此是熱手分析的絕佳對象。賽制為球員每輪投 25 次三分球，各從三分線的 5 個固定位置出手。

過去四年，有 46 位球員完成比賽，共投籃 1150 次，命中率為 54%。下表顯示各球員在投進一球、失手一球、連續投進兩球和連續失手兩球之後的命中率。

NBA 三分球大賽統計數據

投進一球或連續投進兩球後，命中率高於平均；失手一球或連續失手兩球後，命中率低於平均。

第 11 欄計算投進一球及失手一球後的命中率差異（投進一球後的命中率減去失手一球後的命中率）。GVT 就是使用此差值，作為驗證熱手的數據。

我和 GVT 一樣使用原始數據，結果顯示在四屆比賽中，24 名球員為正值，21 名球員為負值，平均來說球員進一球之後的命中率高百分之 10。不過我們現在知道存在取樣誤差，因此必須加以修正。

若初步假設各球員的預期命中率為 54%（平均值），則投進一球後的命中率約為 52%。反之，失手一球後的命中率約為 56%。因此，第 11 欄的數值加 4% 即可抵消取樣誤差。

經過調整後，統計結果可解讀為：正百分比表示球員進球後的表現優於失手後的表現。調整後，32 位球員為正值，14 位為負值。平均來說，球員進一球後的命中率提高百分之 14。這就是熱手的顯著證據。 

若照樣調整第 12 欄的數值（連續進兩球後的命中率減去連續失手兩球後的命中率），30 位球員有熱手表現（正值），比未修正誤差時的 19 位高得多。連續進兩球後命中率平均提高 29%，再次顯示最近的 NBA 三分球大賽確實有熱手表現。

直覺和分析

雖然熱手謬誤在過去 30 年屹立不搖，不過仍然有很多球迷和球評深信熱手謬誤是錯的，氣勢確實存在。「殺紅眼」、「狀況絕佳」和「火熱」等用語時常在運動評論中出現，這表示分析運動員的表現時，直覺與本能可能和統計分析一樣重要（兩者可能皆有偏誤之處）。

雖然運動比賽的氣勢直到最近才得到研究證實，不過博彩公司早就注意到它的存在。取決於運動項目、隊伍和選手，賽中盤賠率模型通常都會納入氣勢這項因素。

在我先前撰寫的文章中，曾探討氣勢對職業網球賽各盤比賽的影響。不論預測根據為統計分析或直覺，若投注者能更精準判斷哪些隊伍或選手表現可能優於或低於賠率反映的隱含機率，就有可能獲利。