四月 3, 2018
四月 3, 2018

在足球投注市場中應用「熱手謬誤」

有效市場假說有何問題?

衡量足球隊伍的「熱門度」

在足球投注市場中應用「熱手謬誤」

在足球投注市場中應用「熱手謬誤」

許多人知道「熱手謬誤」可應用於籃球的罰球,但它其實並不是現代才出現的運動概念。熱手謬誤可以應用於許多運動,並且納入投注策略。那麼該如何在足球投注中應用熱手謬誤?繼續閱讀以深入瞭解。

如同我先前為 Pinnacle(畢諾克)撰寫的許多文章,以及在我的著作《Squares and Sharps, Suckers and Sharks: The Science, Psychology and Philosophy of Gambling》當中所述,運彩是公認幾乎無法破解的博彩項目。

至少對於英超賽事賠率等流動市場(投注量大的市場)來說,我認為賠率大致可反映相關賽果的「真實」機率。換句話說,這些賠率非常有效,能夠反映兩支參賽足球隊伍的所有公開資訊。一旦博彩業者從投注中收取利潤後,投注者不論投注何種賽果都無法取得可獲利的期望值

當然,單一盤口難免會出錯,不過從大量賽事的整體情況來看,由於足球隊伍消息會在市場中隨機出現,因此客戶的投注也會產生隨機結果。長期來說好壞運會互相抵消,通常結果是博彩業者獲利,而大多數客戶虧損。 

有效市場假說有何問題?

近數十年來,有效市場假說多多少少算是已過時。由於人類會犯系統性(非隨機)錯誤或導致非理性市場(包括博彩)的偏誤,因此許多人認為人類的行為並不會產生有效賠率。

其中常被引用的一項原因,就是人類無法正確衡量機率高低。具體來說,觀察發現人類會系統性高估(低估)不太可能發生(可能發生)事件的機率,而在冷門(熱門)標的中投注太多(太少)本金。這種由機率/確定性效應產生的偏誤,就被稱為熱門-冷門偏誤。數十年來,許多運彩市場普遍存在熱門-冷門偏誤。

熱手謬誤

在博彩市場中,人們除了誤判機率以外,還會產生其他偏誤。人們可能出現系統性偏誤的另一種方式就是「熱手謬誤」,有時也稱為「反賭徒謬誤」。

若投注 Pinnacle(畢諾克)提供相對「冷門」隊伍的關閉賠率,確實仍然有可能獲利。

這種謬誤的來源,是人們會低估重複模式或連續事件中出現的隨機性。反之,一般人偏好用因果關係來解釋連續事件,並且認為連續事件會繼續發生。

熱手謬誤最初是由 Amos Tversky 和同事在 1985 年的論文《籃球中的熱手》提出,論文顯示人們對於熱門連續事件的認知,受到人類普遍誤解機率的影響。為了呈現此謬誤,先不考慮平均迴歸(出現極端數值之後,下一次測量的變數有向平均值靠近的傾向)的影響。 

這個原理並不是說事物一定會向平均值迴歸(平均謬誤法則),只是有這樣的傾向(大數法則)。出現好運結果後,就有出現相對來說運氣較差結果的傾向。而壞運亦然。「熱門連續事件有冷卻的傾向」被「熱門連續事件有可能繼續出現」取代。

熱手謬誤對足球投注市場可能有何影響?

當然,若有隊伍連戰皆捷,投注者一定會特別注意。因此隊伍下次出賽時會有更多注碼押他們獲勝,使賠率低於未發生連勝時的賠率。

當然,隊伍確實可能擁有再次連勝的因素,例如上一場勝利激發的高昂鬥志。然而,若投注者忽略運氣的影響並且相信熱手謬誤,也有可能高估情勢。在機率主宰的情況下,預期連續事件會更快向平均值迴歸。

若熱門隊伍開始連勝,表示隊伍開始輸球的可能性比投注者想像中更高,因此賠率會低於公平賠率。相反地,沒人關注且很少人投注的冷門隊伍會出現過高的賠率,而且更有可能開始贏球,因此有可能出現正期望值。

衡量足球隊伍的「熱門度」

為了驗證這個假設,我們需要某種衡量隊伍「熱門度」和「冷門度」的方法。其中一種方法就是使用賠率。為了確定我們計算時使用的賠率盡量公平,首先排除博彩業者的利潤。我先前已詳細說明各種計算方法(在本文中,我使用對數函數法)。 

結果顯示,似乎確實存在熱手謬誤導致的無效率足球賽事投注市場。

衡量「熱門度」的方式就是調整賠率,先以賠率數值為基礎,再給予勝隊「1 - 1/賠率」的分數,給予敗隊「- 1/賠率」的分數(若和局則兩隊都獲此分數)。

再將隊伍連續幾場比賽的分數加總,得到「連續分數」。若計算中使用的「公平」賠率準確,那麼長期來說市場預期隊伍的分數會是零。就博彩來說,就是不賠不賺。因此,「熱門」連勝隊伍短期內會出現正分,「冷門」連敗隊伍為負分。

以利物浦 2016/17 年賽季前六場比賽為例。下表列出 Pinnacle(畢諾克)的關閉賠率、排除利潤後的假設「公平」賠率、賽果、該場比賽隊伍獲得的分數,以及隊伍的連續分數(將隊伍連續幾場比賽的分數加總)。 

衡量足球隊伍的「熱門度」

隊伍

對手

日期

關閉賠率

公平賠率

賽果

分數

連續分數

利物浦

兵工廠

14/08/16

2.68

2.73

0.634

0.634

利物浦

班來

20/08/16

1.51

1.52

-0.656

-0.022

利物浦

熱刺

27/08/16

2.85

2.91

和局

-0.344

-0.366

利物浦

萊斯特

10/09/16

1.68

1.70

0.412

0.046

利物浦

切爾西

16/09/16

3.52

3.60

0.722

0.768

利物浦

赫爾城

24/09/16

1.25

1.26

0.206

0.975

經過六場比賽後,利物浦的「熱門度」高於市場預期。在客場對斯旺西的第 7 場比賽中,相對於前六場比賽,出現較「冷門」的連續分數 (-0.468)。 

從利物浦的分數中減去斯旺西的分數後,算出的比賽分數為 +1.442,即可用於衡量利物浦相對於斯旺西有多「熱門」。相反地,也可以說這場比賽的分數為 -1.442,即為斯旺西相對於利物浦來說有多「熱門」的相反指數。經過上述計算,每一場比賽都可以用一組正負分數描述。 

若我們關於熱手謬誤的假設正確,那麼和投注相對較「熱門」的隊伍(正分)相比,投注相對較「冷門」的隊伍(負分)應該獲利較高(或至少虧損較少)。因此在上例中,我們可以考慮投注斯旺西,和利物浦相比,他們有較「冷門」的分數(-1.442 分)。若我們這麼做,就會輸掉注碼:利物浦後來以 2-1 獲勝。不過一個樣本毫無統計意義。我們需要大量資料才能驗證這個假設。

驗證熱手謬誤假設

為了驗證熱手謬誤假設,我已追溯分析歐洲九大聯賽(可以說是流動性最高的足球投注市場)過去五年完整賽季的足球賽事賠率資料(2012/13 年至 2016/17 年),包括英超、英冠、英甲和英乙、蘇格蘭足球超級聯賽、德甲、西甲、義甲和法甲,共有 18,550 場比賽和 37,100 個分數。

若熱門隊伍開始連勝,表示隊伍開始輸球的可能性比投注者想像中更高,因此賠率會低於公平賠率。

為了讓我的方法更加準確,計算隊伍累加連續分數以及相較於對手的相對分數優勢時,我只考慮各隊最近的六場比賽。選擇計算六場比賽只是我的直覺。

我也可以增加或減少場數,不過其他著重分析隊伍近況的比賽評分系統,通常使用最近六場比賽的資料。因此各賽季的前六場比賽沒有賽事分數,合計共有 15,820 場比賽和 31,640 個分數。

以我計算的「公平」賠率和根據賠率調整的本金(1/ 賠率)投注所有 31,640 支主場和客場隊伍後,總投注額的投資報酬率為 100.35%,稍微高於預期的不賺不賠。然而若將負分(「冷門」)和正分(「熱門」)隊伍分開,則投資報酬率分別為 101.84% 和 98.99%。

雖然看似差異不大,不過卻略有統計顯著性(p 值 = 0.02,雙樣本單尾 t 檢測)。以下為分別投注相對「冷門」和「熱門」隊伍,五個賽季的時間序列圖,結果或許更清楚。 

In-article-hothand1.jpg

31,640 個賽事分數的範圍為 ±5.89 分。我根據「熱門」度將它們分成 12 組,每組包含的數值大約相近。結果如以下直方圖所示。「熱門度」分數和投資報酬率有合理的強烈關聯性。若隊伍相較於對手越「冷門」,那麼投注公平賠率的投資報酬率就越高。

In-article-hothand2.jpg

我也篩選出 ±1.50 的分數(10,574 筆,或總樣本數的 33%),再重新繪製投注的時間序列圖。這些「最冷門」和「最熱門」分數的投資報酬率分別為 104.83% 和 97.36%。這個差異就有更強的統計顯著性(p 值 = -0.001)。

In-article-hothand3.jpg

當然,博彩業者不會讓客戶投注公平賠率,而只要比較賠率就能找出接近公平賠率(有時候甚至優於公平賠率)的盤口,大多數博彩業者也通常會禁止客戶持續利用這個方式獲利。雖然如此,若投注 Pinnacle(畢諾克)提供相對「冷門」隊伍的關閉賠率,確實仍然有可能獲利。當然,Pinnacle(畢諾克)不會限制投注者這麼做。

驗證熱手謬誤假設

 -

公平賠率

最佳市場賠率

Pinnacle(畢諾克)關閉賠率

「冷門」

 -

所有負分

101.84%

102.48%

99.78%

分數 < -1.5

104.83%

105.69%

102.71%

「熱門」

 -

 -

 -

所有正分

98.99%

99.28%

97.11%

分數 > +1.5

97.36%

97.49%

95.52%

超越熱手謬誤

雖然關聯性永遠不代表因果關係(人們通常相信隨機模式有意義,尤其是在想獲利的時候),結果顯示,似乎確實存在熱手謬誤導致的無效率足球賽事投注市場。 

投注者似乎會過度投注近期連勝的隊伍。因此,對於不想隨波逐流的投注者來說,相對「冷門」的隊伍可能有利可圖。當然,投注者不應將這個觀點視為保證獲利的手段,這個範例僅僅顯示,瞭解投注心理學和相關系統性偏誤可以用於尋找投注優勢。

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