在足球投注市場中應用「熱手謬誤」

如同我先前為 Pinnacle（畢諾克）撰寫的許多文章，以及在我的著作《Squares and Sharps, Suckers and Sharks: The Science, Psychology and Philosophy of Gambling》當中所述，運彩是公認幾乎無法破解的博彩項目。

至少對於英超賽事賠率等流動市場（投注量大的市場）來說，我認為賠率大致可反映相關賽果的「真實」機率。換句話說，這些賠率非常有效，能夠反映兩支參賽足球隊伍的所有公開資訊。一旦博彩業者從投注中收取利潤後，投注者不論投注何種賽果都無法取得可獲利的期望值。

當然，單一盤口難免會出錯，不過從大量賽事的整體情況來看，由於足球隊伍消息會在市場中隨機出現，因此客戶的投注也會產生隨機結果。長期來說好壞運會互相抵消，通常結果是博彩業者獲利，而大多數客戶虧損。 

有效市場假說有何問題？

近數十年來，有效市場假說多多少少算是已過時。由於人類會犯系統性（非隨機）錯誤或導致非理性市場（包括博彩）的偏誤，因此許多人認為人類的行為並不會產生有效賠率。

其中常被引用的一項原因，就是人類無法正確衡量機率高低。具體來說，觀察發現人類會系統性高估（低估）不太可能發生（可能發生）事件的機率，而在冷門（熱門）標的中投注太多（太少）本金。這種由機率／確定性效應產生的偏誤，就被稱為熱門－冷門偏誤。數十年來，許多運彩市場普遍存在熱門－冷門偏誤。

熱手謬誤

在博彩市場中，人們除了誤判機率以外，還會產生其他偏誤。人們可能出現系統性偏誤的另一種方式就是「熱手謬誤」，有時也稱為「反賭徒謬誤」。

若投注 Pinnacle（畢諾克）提供相對「冷門」隊伍的關閉賠率，確實仍然有可能獲利。

這種謬誤的來源，是人們會低估重複模式或連續事件中出現的隨機性。反之，一般人偏好用因果關係來解釋連續事件，並且認為連續事件會繼續發生。

熱手謬誤最初是由 Amos Tversky 和同事在 1985 年的論文《籃球中的熱手》提出，論文顯示人們對於熱門連續事件的認知，受到人類普遍誤解機率的影響。為了呈現此謬誤，先不考慮平均迴歸（出現極端數值之後，下一次測量的變數有向平均值靠近的傾向）的影響。 

這個原理並不是說事物一定會向平均值迴歸（平均謬誤法則），只是有這樣的傾向（大數法則）。出現好運結果後，就有出現相對來說運氣較差結果的傾向。而壞運亦然。「熱門連續事件有冷卻的傾向」被「熱門連續事件有可能繼續出現」取代。

熱手謬誤對足球投注市場可能有何影響？

當然，若有隊伍連戰皆捷，投注者一定會特別注意。因此隊伍下次出賽時會有更多注碼押他們獲勝，使賠率低於未發生連勝時的賠率。

當然，隊伍確實可能擁有再次連勝的因素，例如上一場勝利激發的高昂鬥志。然而，若投注者忽略運氣的影響並且相信熱手謬誤，也有可能高估情勢。在機率主宰的情況下，預期連續事件會更快向平均值迴歸。

若熱門隊伍開始連勝，表示隊伍開始輸球的可能性比投注者想像中更高，因此賠率會低於公平賠率。相反地，沒人關注且很少人投注的冷門隊伍會出現過高的賠率，而且更有可能開始贏球，因此有可能出現正期望值。

衡量足球隊伍的「熱門度」

為了驗證這個假設，我們需要某種衡量隊伍「熱門度」和「冷門度」的方法。其中一種方法就是使用賠率。為了確定我們計算時使用的賠率盡量公平，首先排除博彩業者的利潤。我先前已詳細說明各種計算方法（在本文中，我使用對數函數法）。 

結果顯示，似乎確實存在熱手謬誤導致的無效率足球賽事投注市場。

衡量「熱門度」的方式就是調整賠率，先以賠率數值為基礎，再給予勝隊「1 - 1/賠率」的分數，給予敗隊「- 1/賠率」的分數（若和局則兩隊都獲此分數）。

再將隊伍連續幾場比賽的分數加總，得到「連續分數」。若計算中使用的「公平」賠率準確，那麼長期來說市場預期隊伍的分數會是零。就博彩來說，就是不賠不賺。因此，「熱門」連勝隊伍短期內會出現正分，「冷門」連敗隊伍為負分。

以利物浦 2016/17 年賽季前六場比賽為例。下表列出 Pinnacle（畢諾克）的關閉賠率、排除利潤後的假設「公平」賠率、賽果、該場比賽隊伍獲得的分數，以及隊伍的連續分數（將隊伍連續幾場比賽的分數加總）。 

經過六場比賽後，利物浦的「熱門度」高於市場預期。在客場對斯旺西的第 7 場比賽中，相對於前六場比賽，出現較「冷門」的連續分數 (-0.468)。 

從利物浦的分數中減去斯旺西的分數後，算出的比賽分數為 +1.442，即可用於衡量利物浦相對於斯旺西有多「熱門」。相反地，也可以說這場比賽的分數為 -1.442，即為斯旺西相對於利物浦來說有多「熱門」的相反指數。經過上述計算，每一場比賽都可以用一組正負分數描述。 

若我們關於熱手謬誤的假設正確，那麼和投注相對較「熱門」的隊伍（正分）相比，投注相對較「冷門」的隊伍（負分）應該獲利較高（或至少虧損較少）。因此在上例中，我們可以考慮投注斯旺西，和利物浦相比，他們有較「冷門」的分數（-1.442 分）。若我們這麼做，就會輸掉注碼：利物浦後來以 2-1 獲勝。不過一個樣本毫無統計意義。我們需要大量資料才能驗證這個假設。

驗證熱手謬誤假設

為了驗證熱手謬誤假設，我已追溯分析歐洲九大聯賽（可以說是流動性最高的足球投注市場）過去五年完整賽季的足球賽事賠率資料（2012/13 年至 2016/17 年），包括英超、英冠、英甲和英乙、蘇格蘭足球超級聯賽、德甲、西甲、義甲和法甲，共有 18,550 場比賽和 37,100 個分數。

若熱門隊伍開始連勝，表示隊伍開始輸球的可能性比投注者想像中更高，因此賠率會低於公平賠率。

為了讓我的方法更加準確，計算隊伍累加連續分數以及相較於對手的相對分數優勢時，我只考慮各隊最近的六場比賽。選擇計算六場比賽只是我的直覺。

我也可以增加或減少場數，不過其他著重分析隊伍近況的比賽評分系統，通常使用最近六場比賽的資料。因此各賽季的前六場比賽沒有賽事分數，合計共有 15,820 場比賽和 31,640 個分數。

以我計算的「公平」賠率和根據賠率調整的本金（1/ 賠率）投注所有 31,640 支主場和客場隊伍後，總投注額的投資報酬率為 100.35%，稍微高於預期的不賺不賠。然而若將負分（「冷門」）和正分（「熱門」）隊伍分開，則投資報酬率分別為 101.84% 和 98.99%。

雖然看似差異不大，不過卻略有統計顯著性（p 值 = 0.02，雙樣本單尾 t 檢測）。以下為分別投注相對「冷門」和「熱門」隊伍，五個賽季的時間序列圖，結果或許更清楚。 

31,640 個賽事分數的範圍為 ±5.89 分。我根據「熱門」度將它們分成 12 組，每組包含的數值大約相近。結果如以下直方圖所示。「熱門度」分數和投資報酬率有合理的強烈關聯性。若隊伍相較於對手越「冷門」，那麼投注公平賠率的投資報酬率就越高。

我也篩選出 ±1.50 的分數（10,574 筆，或總樣本數的 33%），再重新繪製投注的時間序列圖。這些「最冷門」和「最熱門」分數的投資報酬率分別為 104.83% 和 97.36%。這個差異就有更強的統計顯著性（p 值 = -0.001）。

當然，博彩業者不會讓客戶投注公平賠率，而只要比較賠率就能找出接近公平賠率（有時候甚至優於公平賠率）的盤口，大多數博彩業者也通常會禁止客戶持續利用這個方式獲利。雖然如此，若投注 Pinnacle（畢諾克）提供相對「冷門」隊伍的關閉賠率，確實仍然有可能獲利。當然，Pinnacle（畢諾克）不會限制投注者這麼做。

超越熱手謬誤

雖然關聯性永遠不代表因果關係（人們通常相信隨機模式有意義，尤其是在想獲利的時候），結果顯示，似乎確實存在熱手謬誤導致的無效率足球賽事投注市場。 

投注者似乎會過度投注近期連勝的隊伍。因此，對於不想隨波逐流的投注者來說，相對「冷門」的隊伍可能有利可圖。當然，投注者不應將這個觀點視為保證獲利的手段，這個範例僅僅顯示，瞭解投注心理學和相關系統性偏誤可以用於尋找投注優勢。