三月 24, 2014
三月 24, 2014

貝氏分析與體育博彩

貝氏分析與體育博彩
投注者經常想找出新工具,藉此改善推論不確定事件發生之機率的精準預測過程。本文探討十八世紀英格蘭長老教會牧師托馬斯‧貝葉斯 (Thomas Bayes) 提出的理論「貝氏分析」,如何幫助運動玩家估算賽事結果。

貝式分析之始

貝葉斯約於1701年出生在英格蘭,終其一生投入神學與數學研究。直到貝葉斯於1761年去世之後,他的著作之一〈論《機率論》中問題之解決〉才提交至英國皇家學會,其研究成果之重要性於身後得到肯認。

然而,要到兩百年後桌上型電腦問世,貝葉斯的研究才真正得到重視,獲得廣泛認同。貝氏分析自此經人引介且應用至各個領域,例如人工智慧。面對不確定性之情形,其中亦包含博弈,透過貝氏定理可以說是最明智的方法,其基本形式即運用或然率及論證下決定。

貝氏分析是當事人反覆估算事件未來發生機率的過程,接著在可取得時新事證,測試其影響。

貝氏分析公式

貝氏分析有許多名稱,例如「貝氏推論」、「逆機率」與「貝氏修正」,但總而言之,指的都是一項十分簡單的公式:

P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)
在給定事件B的情形下,事件A發生的機率,等於事件A發生之機率乘上事件B於給定事件A時的發生機率,除以事件B發生之機率

事件B發生時(給定),若想知道事件A發生之機率,可以透過事件A之先驗機率(事件A發生之機率),與事件A發生時事件B發生之機率相乘得知(亦即,P(B|A)/P(B))

運用貝氏分析預測天氣

假設我們預測明天有30%的降雨機率。

此外,我們知道平時有50%的機率天上有雲。

同時也100%確知,下雨時有雲的可能性是100%(如果降雨,總是有雲)。

我們有以下資訊:

  • P(A)=降雨的機率=30%
  • P(B)=有雲的機率=50%
  • P(B|A)=降雨時有雲的機率=100%

隔天醒來,獲得新資訊:天上有雲。考量到天上有雲,此時應對降雨機率推導貝式修正。

從而,回顧一下前述公式,P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)=降雨機率*降雨時有雲的機率/有雲的機率=30%*100%/50%=60%

於是,我們可以將降雨之信心提升至60%。

貝氏分析與體育博彩

現在,我們把例子換成體育博彩。假設我們對拜仁慕尼黑的賽事感興趣,相信他們有50%的機會贏球。同時,我們也知道,拜仁贏球時的降雨機率為11%,平常拜仁慕尼黑賽事中的降雨機率則為10%。

計算:

  • P(A)=拜仁慕尼黑贏球機率= 50%
  • P(B)= 拜仁慕尼黑賽事中的降雨機率= 10%
  • P(B|A)=拜仁慕尼黑贏球賽事中的降雨機率= 11%

此時,若我們取得天氣資訊,便沒有必要再急著考慮天氣是否會影響輸贏。這時候我們可以與其他領域(包含運動博彩)的專業人士一樣,推導貝氏修正。

如果這時候在下雨,我們得出P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)= 50%*11%/10%= 55%。

請注意,P(B|A)/P(B)即「給定事件A時,事件B發生的可能性為何?」在此情形下,即11/10(11%/10%)。

一旦我們知道事件B已發生,事件A的新預測將隨之改變,亦即P(A)*P(B|A)/P(B)。

總結

玩家最大的敵人通常是自己,常見錯誤是在面對不斷變化的情形時,預測者卻堅持某個特定結果。貝氏分析除了允許不斷地檢驗與己立場相左的新事證之外,也支持如此做以打破前述習性。本質上,貝氏分析是一種積極反饋的循環,從中修正某事件發生機率之預測。

儘管如此,貝氏分析並不是數學界用來占卜的水晶球,與其他公式一樣,貝氏分析亦適用GIGO法則,也就是「垃圾進、垃圾出」的原理,但如果預測者對於檢驗對象的預測有信心,貝氏方法會揭露運動博彩之價值。而這一切都要感謝一位18世紀的牧師。

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