足球比赛中平局机会的涨缩

用来预测足球比赛得分的主要模型是泊松模型（或者它的变种）。最直接的方法是为每支球队设置预期进球参数，然后相应地预测得分。

泊松模型总结如下：主队参数为联赛平均主场得分率乘以主队进攻因子和客队防守因子。前者根据访问球队的防守评级而对主场得分优势进行相应调整（防守实力越强，进球机会就越低），而后者则评估主队得分能力。客队预期进球得分率的评估方法类似，不过使用了客队得分因子和主队防守因子。

泊松模型的局限性

如同其他任何模型，泊松模型在预测足球比赛得分时也有某些局限性——即结果对于使用的参数中的改变很敏感。

实际上，经常在比赛中进很多球的球队得到0-0平局的机会要高得多，因为在比赛关键时机过去后仍然没人进球的情况下，他们可能会降低比赛节奏。

泊松模型还假设一旦预期进球参数设置好之后，每支球队的进球数都是互不影响的。尽管使用特定的防守和进攻评级对这一点有所控制，但是如果主队进了五球或者完全没进球，我们真的能预测在这两种情况下客队进五球的概率是一样的吗？ 

最致命的局限性是假设每支球队的进球得分变动等于预期进球数（泊松分布的功能）。有很多处理这个问题的聪明方法，比如过度离散（或者欠离散）泊松模型以及二元泊松模型，但是这些都不在本文的讨论范围内。

这些局限性的组合效应之一是缺乏评估0-0平局的预测能力，这样的平局可能高于或低于泊松模型产出的结果。我的直觉是泊松模型倾向于低估0-0平局发生在那些有着高预期进球参数的球队身上的可能性。

实际上，经常在比赛中进很多球的球队得到0-0平局的机会要高得多，因为在比赛关键时机过去后仍然没人进球的情况下，他们可能会降低比赛节奏。反之，在比赛中经常得低分的球队在拿到首粒进球之前可能节奏更快。标准泊松模型无法捕捉到这一点，因此过高预测0-0平局的机会。我已经指出这不过是个人直觉，并非基于任何测试的结果——如果任何人愿意对其进行测试，不妨联系我，我非常高兴和任何感兴趣的人进行沟通。

如何缩小或者胀大平局概率

调整0-0平局概率的一种方法是胀大或缩小此类平局的概率，并相应调整其他预测。这可以通过五个步骤来进行解释，我将在此使用一个简单的例子来解释：

第1步：计算每支球队的预期进球参数

除非你已经自动化了这个过程，否则这会是耗费你最多时间的一个步骤。Benjamin Cronin在他的泊松分布文章中完美地对此进行了解释。为了不做过多的赘述，我们在此假设最后的平均进球参数分别为主队1.7和客队1.2（这些不过是随机的数字）。 

第2步：计算每支球队进球数的概率

这可以通过使用方程式来进行计算，上方链接中也提供了完整的例子。在这里，我们使用方程式来计算进球数的概率分布，如下所示：

第3步：计算比分的概率分布

现在我们可以将概率相乘，得出不同比分的概率。例如，0-0比分为18.3% x 30.1% = 5.5%的可能性。结果如下所示。请注意，这些相加起来不会满100%，因为存在其他比分的可能性（例如5-1）。我们可以补充说明其他比分的概率为3.7%。

第4a步：计算0-0平局的膨胀/收缩参数

这一步中可能会渗入某些主观性。例如，假设过去的统计数据暗示0-0平局应该有10%的概率发生。因此我们需要将5.5%增至10%。 

膨胀参数的计算方式：

使用符号α来代表它，我们得到：

这有力地表示我们增加了82%的零分平局概率。由于这是从5.5%增至10%，因此我们必须降低其他概率累积起来的概率的相同百分比，以使所有结果的总百分比为100%。 

第4b步：计算其他比分的膨胀/收缩参数

使用符号β来代表这个因子，我们可以使用等式：

在这里我们得到β=（1-0.1）/（1-0.055）=0.95

第5步：重新填充膨胀的比分表

现在我们终于可以重新计算不同比分的概率，只需将0-0概率乘以α，剩余其他概率乘以β。我们将得到以下结果，而其他比分的概率为3.5%。 

从调整泊松模型中我们学到了些什么？

我们在本文中通篇讨论了对传统泊松模型的调整，这种调整可以改变零分平局的概率。该模型可以扩展来应对任何比分的调整，只要所有结果的概率也得到调整以满足相加为100%的条件。

这并非改变某些结果概率的唯一方法。例如，Alun Owen博士在去年六月的数学体育大会上解释了一种可能更好的方法，这种方法涉及到了截尾泊松模型。 

调整并未最小化泊松模型的局限性，对于某些局限性之前我们作过讨论。这确实增加了其他一些假设——假设的零分平局概率，并且所有其他概率都使用相同比率β作出了调整。尽管如此，它仍然可能是对于倾向低估/高估零分平局的传统模型的优秀改进。