选择高投注量还是高价值投注？这是个问题
通常，这个问题会将博彩玩家分成两个阵营。认为投注中最重要的一点是价值的博彩玩家无一例外地都想要最大化投注价值，并会因为低价值投注的利润回报更少而拒绝这类投注。
相反，对立阵营则坚持认为，控制方差或运气的影响更为重要，而这样做的最佳方式就是大量投注，即使投注的价值更小。那么到底哪个阵营是对的？我最新的文章要讨论的就是这个话题。
让我们来简单回顾一下：博彩中的价值是用来描述博彩玩家的预期利润的一个概念。投注的预期价值（EV）代表每个投注预期（平均）会赢或输多少钱。
预期价值最简单的计算方式是用博彩公司的赔率除以真实赔率，然后减去1。
这也相当于用真实结果概率除以博彩公司的隐含结果概率，然后减去1。
当然，博彩中最难的一点就是不知道如何计算真实结果概率，但这不是本文要讨论的。
假设某个事件的真实赔率为2。如果博彩公司错误地开出了2.1的赔率，那么预期价值就是2.1/2 – 1 = 0.05或5%。如果投下1,000个同一预期价值的一个单位的投注，那么博彩玩家平均应该会获得50个单位的利润。
如果他们提供的赔率为2.25，那么预期价值就是12.5%。通常，犯错的都是博彩玩家。如果他们接受了1.95的赔率，那么他们的预期价值将为-2.5%。
当然，“平均”意味着最可能发生的情况，但无论是好运气还是坏运气，都可能会在一系列投注中导致不同的结果。赔率为2、价值为5%的1,000个投注的预期利润可能是50个单位，但如果运气不好，利润就会更少，而如果运气更好则利润就会更高。
在之前关于可能的投注回报范围的文章中，我深入讨论了可能的结果的分布情况。下图显示了上述情况中可能的预期收益率的分布情况。
如果有读者对这背后的数学计算感兴趣，我的网站上有一个解释这种方法的简易Excel计算器，另外我的新书《Monte Carlo or Bust - Simple Simulations for Aspiring Sports Bettors》中还有更多的详细解释。
从分布图中可以看出，假设确实有5%的预期价值，那么最可能的结果的收益率就是5%。如此，1,000个一个单位的投注就会产生50个单位的利润。
我们也可以从图中看到从运气极差到极好的可能性范围。其中收益率低于-5%或高于+15%的可能性都极小。
我们还可以从图中评估出输钱的可能性，就是钟形曲线下方到收益率为0%的竖轴左侧之间的区域。这可以通过数学公式计算得出，约为6%。
现在，我们来改变一下投注数量，看看可能结果的分布情况会发生什么变化。我在下面绘出了100个投注的可能结果分布曲线，并与上面第一种情况的分布曲线做了对比。
为了在一张图表上完整显示两条曲线，我增加了X轴的比例，不过蓝色曲线和之前一模一样。这里的重点是二者之间的对比。
其中比较突出的有两点。首先，可能性范围变宽了，更大损失和更大利润的可能性都相对更大，但预期最可能发生的结果的可能性却相对更小。
如果用统计学术语解释，就是方差变大了。换言之，运气的影响更大了。
其次，钟形曲线下方位于负收益率区域的部分也因此变得更大。事实上，大约有31%。
也就是说，尽管这100个投注的价值为5%，但输钱的可能性接近三分之一。如果你的预期投注价值为正数，那么更多的投注会减少运气的影响，从而减少可能结果的方差和输钱的可能性。
行文至此，支持高投注量的一方先得一分。
不过，稍安勿躁，投注时更有选择性的博彩玩家之所以这么做，原因正是他们以更高价值投注为目标。这意味着，他们的预期收益率会更高。为了反映出这一点，我们需要调整一下上图中的橙色曲线。
假设高价值投注博彩玩家只有100个投注，但平均预期价值为20%。那么，现在，他们和上文中的高投注量博彩玩家相比如何？我们一起来看看下图。
高价值投注博彩玩家的收益率分布曲线的形状仍然相同，只是向右移动了15个百分点——现在预期（平均）收益率为20%。结果方差仍旧很高，不过现在没有利润的结果要少得多。
事实上，这一数值仅为2%，低于有1,000个预期价值为5%的投注的高投注量博彩玩家的相关数值。
比较这两种博彩玩家的收益率分布情况，有一个简便的指标——Z分数，就是用预期收益率除以分布的标准差。实际上，它是用来衡量每单位方差的预期收益率的，而且这个分数越高越好。
在金融行业，这个指标被称为夏普比率。标准差σ衡量的是分布的散布程度。它的平方就是方差。
对于一系列赔率（o）相同的投注，可以使用以下公式计算出标准差：
p是投注的真实胜率，n是投注数量。只要注额大小相同，那么即使投注赔率不同，也可以放心地使用这一公式。在这里，o只是平均赔率。
如果要计算出p，只需用预期收益率加一（得出预期回报），然后除以赔率即可。因此，当高投注量博彩玩家的预期收益率为5%（或0.05）时，p = (1+0.05)/2 = 0.525或52.5%，σ = 0.0316（或3.16%）。
在高投注量博彩玩家的分布图中，无论预期价值高于或低于5%，所有可能的收益率中都有大约三分之二在3.16%以内。最后，我们可以计算出Z分数：5% / 3.16% = 1.58。
经过计算，高价值投注博彩玩家的Z分数为2.04，远远大于高投注量博彩玩家的分数。
现在，支持高投注量和高价值投注的博彩玩家一比一打平。
更多的投注会减少结果的方差，而通过更有选择性地投注来获得更高的预期收益率则能提高Z分数和每单位方差的预期收益率。
到目前为止，我只是随意选择了投注的预期价值和投注数量。其中，高价值投注博彩玩家的预期价值是高投注量博彩玩家的四倍，而投注数量则为后者的十分之一。那么，这些数据是否合理？
当投注赔率为2时，其实很难获得20%的预期价值。我们每找到1,000个预期价值为5%的投注，就真的能找到100个预期价值为20%的投注吗？我们需要想个办法找出这个问题的答案。
评估投注盘口中存在多少价值有一个替代性的方法，就是研究赔率变动。
如果我们首先假设盘口的收盘赔率平均而言公平地反映出了真实赔率（这个话题我之前也谈到过），那么赔率之前的变动幅度就可以用来粗略地衡量赔率中之前可能存在的预期价值。
赔率变动越大，预期价值就越大。这并不是说，收盘赔率永远没有价值，而只是说，平均而言，两组赔率之间的差异合理地反映出了可以获得的真实的潜在价值。
通过研究来自Pinnacle的大量开盘和收盘足球比赛赔率数据，我计算出了可能真实存在的预期价值的相对可得性。具体如下所示。
在这个投注盘口中，当预期价值至少为5%时，可以获得的投注机会数量大约是预期价值至少为20%时的20倍。
因此，如果高投注量博彩玩家能够找到预期价值为5%的1,000个投注机会，那么高价值投注博彩玩家在同一时间段内在同一个盘口中，实际上预期只能找到50个投注机会，即我之前假设的数据的一半。
有了这些信息，我们现在可以按照这个更小的投注样本，重新计算一下高价值投注博彩玩家的Z分数。
现在的Z分数为1.44，低于高投注量博彩玩家的分数。此时，50个投注后输钱的概率为7.5%。因此，考虑到不同大小的预期价值的相对可得性，在本文所述情况中，高投注量博彩玩家在风险管理策略上似乎更胜一筹。
高投注量2-1领先于高价值投注。
至此，我只考虑了投注收益率，但每位博彩玩家最终更感兴趣的都是实际利润。
如果每次投注一个单位，那么1,000个投注按5%的收益率将会产生50个单位的利润。相比之下，50个投注按20%的收益率就只有10个单位的利润。
高投注量现在3-1领先于高价值投注。
当然，任何支持凯利投注公式的人都会说，预期价值越高，博彩玩家投下的注额应该就会越高。在本文所述情况中，在相同赔率下，预期价值翻了四倍，那么注额大小也有理由翻四倍。翻倍后，预期利润将增加到40个单位，这就与第一种博彩玩家的50个单位利润接近了很多。
高价值投注博彩玩家通过一个有些争议的点球扳回了一分。
高投注量和高价值投注之间较量的最终比分为3-2，高投注量险胜。虽然这个比较只是出于娱乐性质，但它确实帮助说明了降低方差（通过增加投注量）和提高预期价值（通过更有选择性地投注）之间相互矛盾的影响。
至少，在足球投注盘口中似乎没有足够多的更高预期价值投注机会来充分证明，这种更有选择性的投注策略，相对于尝试最大化投注量并降低方差的策略而言更加合理。
尽管如此，事实上二者之争还是处于伯仲之间的。不同的盘口会带来不同的相对投注机会，从而可能导致天平朝着另一个方向改变。
诚然，每位博彩玩家始终都应该将降低方差视为一大目标，但本文中的思维实验应该能让他们明白，这并不是需要考虑的唯一因素。
高投注量博彩玩家大概会继续嘲笑坚持高价值投注的小众博彩玩家，反之亦然。然而，事实上，只有更好地理解投注量和投注价值的相对影响，志在成功的博彩玩家才可能最大化自己的目标结果。
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