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十月 18, 2017
十月 18, 2017

评估博彩实力:贝叶斯方法与频率派方法

博彩玩家如何评估自己的实力水平?

贝叶斯方法与频率派方法存在哪些区别?

随机度和预期实力概率如何?

评估博彩实力:贝叶斯方法与频率派方法

从最基本的层面上讲,从博彩中赢钱离不开两大因素:实力与运气。然而,许多博彩玩家都不承认后者的影响,而往往又忽略对前者的衡量。本文将介绍掌握各种博彩实力评估方法的必要性,以及不同方法产生的结果有何差异。

体育博彩玩家可利用贝叶斯定理提升预测准确性。我们也可以通过其确定博彩玩家实际做出这些预测并获得积极期望值的可能性。我此前曾对如何运用频率派方法(t 检验)评估投注历史质量进行过研究。本文将对两种方法进行一番对比。

置信度

在概率论中,贝叶斯定理描述了在某事件发生的情况下另一事件发生的可能性。例如,假设我认为自己有 50% 的概率成为能够获利的高水平博彩玩家。那么,如果我下次投注获利,我对上述命题的置信度会受到怎样的影响?换句话说,投注获利这一证据如何改变我成为高水平博彩玩家的概率? 

贝叶斯定理认为,概率是对某一命题或假设的“置信度”,并以数学方式形成了证据已知前的先验置信度(先验概率)与说明证据之后的置信度( 后验概率)之间的关系。其公式如下:

{equation} - P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)

在本例中:

P(A) = 我是高水平博彩玩家的先验概率

P(B) = 我投注获利的先验概率

P(B|A) = 基于我是高水平博彩玩家这一条件我投注获利的概率。

P(A|B) = 基于我投注获利这一条件我是高水平博彩玩家的概率。

我们来举例说明一下。假设投资回报率能够持续达到 110% 者方可称为高水平博彩玩家。那么,对于同额投注,意味着每 100 人中有 55 名获利者。因此,基于我是高水平博彩玩家这一条件我投注获利的概率 P(B|A) 为 55%。

对于低水平博彩玩家而言,在公平的同额投注中获利的概率 P(B) 将为 50%。然而,假设我先前认为自己有 50-50 的可能性跻身高水平玩家行列 {P(A) = 50%},而此等博彩玩家的 P(B) 为 52.5%(即 50% 与 55% 的中间值)。

业内一流让分研究人员的胜率一般能达到 57%。扣除博彩公司的利润之后,投资回报率在 110% 左右。

如果我投注获利,那么将这些数字转换为贝叶斯定理后,得到的后验概率 P(A|B) 将为 52.38%。投注获利后,我认为自己成为高水平博彩玩家的概率比之前更大。

贝叶斯定理支持迭代计算。我在第一笔投注获利并更新自己成为高水平博彩玩家的概率后,现在再次下注。在第一步中计算出的后验概率作为新的先验概率。

我成为高水平博彩玩家的新后验概率现在将以我赢下(或输掉)下笔投注为条件。如果赢,则我成为高水平博彩玩家的概率将再次增加,如果输掉则减少。在本例中,如果我的第二笔投注再次获利,那么我成为高水平博彩玩家的概率将增加到 54.75%。 

此过程可无限次重复,更新后的每个条件概率均在 0% 到 100% 之间。我已经运行 1000 次迭代,也就是说投注 1000 次。下图显示了每次投注后所获得的投注历史(蓝线)以及我成为高水平博彩玩家的贝叶斯概率(红线)。

Assessing skill in gambling

贝叶斯定理对概率的解释存在一个重大问题,那就是要求对某事件或状况有较高的先验认知或置信度。然而,我们在评估自身成为高水平博彩玩家的概率时是否真正具备这一点?在本例中,我选择 50% 完全是随意的,是没有任何依据的一种猜测而已。我们来看一下,如果我现在将初始先验概率改为 1%,将会发生什么? 

Assessing skill in gambling

此外,在本上下文中,关于“高水平”的定义也完全是主观性的。可以说,如果某博彩玩家的投资回报率高达 105%,并且能够在超过 10,000 次的投注中达到此值,即认为其属于超高水平博彩玩家。之所以提出 10,000 次,是因为考虑到样本量的重要性。具体内容,请阅读小数定律的相关信息。同样,对于更新后的 P(A) 值,如何为每个迭代步骤定义 P(B) 也并不明确。 

在我的贝叶斯模型中,我只是假设这样一种线性关系,如果 P(A) = 0%/20%/40%/60%/80%/100%,那么 P(B) = 50%/51%/52%/53%/54%/55%,但其有效性肯定是有问题的。更重要的一点可能是,由于基准投注胜率达到 52.5% 的博彩玩家本身显然已可以称为高水平玩家(只是比胜率为 55% 的玩家略逊一筹),因此我们这里测量的是实力程度而非实力概率。 

尽管如此,该贝叶斯概率演化示意图仍十分有用,可在一定程度上直观测量博彩玩家持续获利能力的可能性(或强度),及其随时间推移可能发生的变化。

随机度

贝叶斯方法主要基于一组固定数据(收益和损失)确定假设条件(我是高水平博彩玩家)的概率,而频率派方法则侧重于给定假设的数据的概率(或频率)。这次的假设条件是固定的,也就是说,关于我能否成为高水平博彩玩家,该条件要么为真(100% 的概率),要么为假(0% 的概率),而假定数据是随机的。 

如果关于某人能否成为高水平博彩玩家的初始先验置信度为 1% 的概率,那么经过 1000 次投注后,此值也不过是上升到 20%。

频率派方法通常先设置零假设,即,我不是高水平博彩玩家,我的所有投注结果完全取决于运气。然后该方法尝试在假定零假设为“真”的条件下,通过我们所观察的一些数据的统计信息(在本例中指我的收益和损失记录)计算概率(通常称为“p 值”)。

最后,将该概率与可接受的显著性值(有时称为“α 值”)进行比较,如果 p < α(通常为 5%或 1%),则推翻零假设,选用有效值。

我之前在平博的“博彩资源”中审核的统计值为 t 分数,之所以如此命名,是因为其来源于学生的统计显著性 t 检验。假设投注赔率公平,则可按以下方式近似计算“t 分数”: 

其中 n = 投注次数,r = 投资回报率(用小数表示),o = 投注赔率平均值(用小数表示)。通过统计表或在线计算器将“t 分数”转换为“p 值”。在 Excel 中,可使用 TDIST 函数。接下来我们来结合投注历史示例看看此方法的实际应用情况。

下图使用双尾、单样本 t 检验对贝叶斯概率(即,在我成为高水平博彩玩家的先验置信度概率为 50% 的条件下我成为高水平博彩玩家的概率,图中以红线表示)的原始演化时序与频率派“p 值”的演化(即,在假设我毫无实力的条件下我所取得的成果的偶发概率,图中以绿线表示)进行了比较。

Assessing skill in gambling

按照一般的定性方式,这两条线截然相反,尽管这很可能是运气好的结果。但我们不应认为“p 值”测量的是低水平概率,因而 1-p 等于高水平概率。

撇开其他作用不谈,贝叶斯和频率派分析能够再次提醒博彩玩家,在博彩中稳定获利需要从长计议。

盈亏历史偶发概率为 5% 并不表示因实力因素发生的概率为 95%。这只是表示,假定投注输赢完全是随机的这一零假设为“真”,那么我们所观察的结果的预期发生率为 5%。

频率派方法的缺点在于其认为真理是绝对的。而贝叶斯方法则间接认为真理具有概率性、临时性以及可证伪性。然而,瑕不掩瑜,频率派假设检验同样为我们提供了一款有用的工具,我们可以用其分析投注历史,并确定这些历史是否有可能在其他非运气因素的作用下发生。

如果贝叶斯模型关于我成为高水平博彩玩家的原始先验置信度为 1%(而非 50%)的概率,那么其与频率派模型的对比情况如何?

Assessing skill in gambling

很显然,这次 t 检验结果对我们成为高水平情报商的置信度要高于贝叶斯方法,后者相比之下要保守得多。

这进一步凸显了贝叶斯概率对初始先验置信度的敏感性。对于这种情况,经过近 700 次投注后,t 检验结果可能会认为我们的投注历史的偶发概率只有 3%,而贝叶斯定理则暗示,我们达到长期投资回报率达 110% 的高水平级别只有不到 10% 的可能性。

我本人不喜欢冒险,因而倾向于更加保守的先验实力置信度,除非有充分的理由去质疑,否则我始终会以假定自己实力较差或毫无实力为前提。

预期实力概率

上述分析呈现的只是关于投注时间序列的一个随机示例,其中假设投资回报率为 110%。出于直观呈现的目的,我特意选择了一段投注历史,便于表达所讨论的观点。

如果想详细了解预期情况,即一般情况下的预期,应多次运行模型。熟悉平博“博彩资源”的朋友都知道,我们可以通过蒙特卡罗模拟进行此操作。

下面的第一个图显示了在 10 个假设胜率(51% 到 60%,间隔为 1%)的条件下贝叶斯概率(即我成为高水平博彩玩家的概率)演化的 10,000 次蒙特卡罗模拟运行的结果(假定赔率公平,相当于 102% 到 120%,预期值间隔为 2%)。

曲线的形成方式如下:计算 1000 次投注历史期间每次顺序下注后的贝叶斯概率的中间值,因此,此图所反映的信息优于平均值(低值和高值会影响解释的准确性)。 

假设关于我的实力的初始先验置信度 {p(A)} 为 1%。不出所料,假设胜率(和预期值)越高,对我的能力的置信度达到 100% 概率的速度就越快。(曲线颜色越深,表示假设胜率越高。) 

Assessing skill in gambling

业内一流让分研究人员的胜率一般能达到 57%。扣除博彩公司的利润之后,投资回报率在 110% 左右。此图表明,如果您想跻身上述人群的行列,则需要考察 1000 次投注中的大部分投注信息,才能对自身能力形成深刻、有意义的认知,当然,前提是假定您最初认为自己几乎毫无实力。 

相比之下,如果您发现自己的让分盘胜率不足 54%,但仍可盈利,那么要想真正认清自身实力,需要的时间将更长。如果关于某人能否成为高水平博彩玩家的初始先验置信度为概率 1%,那么经过 1000 次投注后,此值也不过是上升到 20%。 

最后一个图反映了在同等条件(1000 次投注历史和 10 个假设胜率)下得到的一组类似的理想化预期 p 值。我们可通过一个等式来针对投注次数、投资回报率和投注赔率的任意组合近似计算“t 分数”,因此不需要进行蒙特卡罗模拟。同样,曲线颜色越深,表示假设胜率越大(从 51% 到 60%)。

Assessing skill in gambling

假设胜率为 57%,则经过 200 次投注后,统计显著性 p 值即会小于 5%,而经过约 335 次投注后,统计显著性 p 值将小于 1%。然而,要重申一点,这些信息反映的并不是博彩的实力水平,而只是假定无任何实力的条件下此历史的偶发可能性。 

此外,与贝叶斯方法中的初始先验概率类似,这些统计显著性水平只是基于主观判断。然而,与贝叶斯模型类似,如果考虑到这些注意事项,p 值统计检验不失为一个好方法,能够让博彩玩家评估自身实现长期盈利预期的实力。

撇开其他作用不谈,贝叶斯和频率派分析能够再次提醒博彩玩家,在博彩中稳定获利需要从长计议。千万不要以为几场胜利就足以作为判断自身实力的依据。

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