使用蒙特卡罗方法分析投注

蒙特卡罗方法依靠重复随机抽样获取数字输出，而其他数学方法太过复杂难懂。对于不太熟悉传统统计数据测试方法的博彩玩家来说，这种方法特别有用，因为它对使用者的数学知识水平没什么太高要求。

Dominic Cortisy曾就如何将其应用于体育预测作过讨论，他特别举了一个预测一级方程式锦标赛结果的例子。在本文中，我将用它来探究运气对预期投注表现的影响。 

分析投注表现

我会在本文中使用群体智慧方法得出的投注历史，其中包含1,521个投注，固定金额投注的利润为收入的0.76%。但是，我如何才能知道这是标准表现，还是受到了好运气或坏运气影响后的表现？

第一步是将此与预期相比较。这个方法当中隐含着对每个投注的公平投注赔率的预估，由此可以推出预期价值。例如，如果公平赔率为2.00，那么博彩公司开出的2.10赔率将提供给我5%或1.05（2.10/2.00）的预期价值。

2.00的公平赔率暗示赢率为50%。如果100个这样的投注中我赢了50个，其中每个盈利€1.10，而输了的50个投注每个损失-€1，那么我的净利润为€5（或者说是€100收入的5%）。类似地，如果公平赔率为3.00，那么开出3.50的赔率会有16.67%的价值预期。下表显示我的投注系统识别出的选择。

*去掉抽水的平博赔率

对于完整的投注历史，只需计算出平均值就可以轻松确定总价值预期和预期利润。我的投注历史中有1,521个投注，该数值为4.04%，意即如果我的投注系统完全按照我之前预测的那样行动，那么我投注€1,521的预期利润应为€61.45。

事实上，该投注历史显示回报为€11.61。很显然是坏运气导致了表现失常——当然这是在假设我的预测模型正常运作的情况下。问题是运气产生了多大影响？蒙特卡罗方法的用武之地就这里。

在Excel中运行蒙特卡罗模拟

在Excel这样的软件包中运行蒙特卡罗模拟相对直接：

1. 计算每个投注的预期赢率，以0到1之间的小数表示。这其实就是公平赔率的倒数。
2. 使用Excel的RAND功能来输出每个投注0到1之间的随机数字。为了判定我们的模拟中每个投注的输赢，我们只需让Excel判断出每个投注的相关随机数字是否低于预期赢率即可。如果是，那么我们分配等于赔率的固定金额投注利润1。如果不是，那么我们分配固定金额投注损失-1。
3. 将模拟中所有投注的单个利润和损失相加，即可计算出收益。如果是固定金额投注，那么只需将总利润除以投注数量即可
4. 使用Excel的数据表功能，刷新指定数量模拟的随机数字。

我的投注的前两步如下所示。

按下F9键会重新计算全新模拟和全新理论样本收益的全部随机数字。我们可以手动记录每次新模拟的收益，但是如果我们想运行成千上万次模拟，那会很费时费力。

幸好，通过使用Excel的数据表功能，我们可以快速简单地一次运行多次模拟。你可以在数据 > 假设分析 > 数据表中找到此功能：

1. 按照上文第三步所述，在任何空白的Excel单元格中计算你的样本收益。
2. 然后高亮显示你想要填充新模拟收益值的单元格以及左侧的一列。

1. 接下来在Excel中调用数据表。你会看见如下所示的一个框。在列输入单元格中，只需输入单个单元格引用即可。可以是任何单元格，但不可以是你在前一步高亮显示的那些。

   

2. 点击OK，Excel会完成剩下的步骤。你的第一个单元格下方高亮显示的单元格将填充新计算出的收益，每个都代表一次模拟。在这个例子中，我得出了六次模拟，如下所示。

衡量运气对投注利润的影响

Gerard Verschuuren博士制作了一个非常实用的YouTube教程，更为详细地描述了这一过程。我们想运行多少次模拟就可以运行多少次，只是数量越大，Excel所需的计算时间就越长。就本文而言，我运行了100,000次模拟（花了大约五分钟）。

这个例子中的另一个关键点是当投注历史中的投注数量很大时，坏运气对有积极预期的博彩玩家的影响。

平均收益为4.05%，和我的投注历史价值预期几乎相同。然而变化区间很宽，最坏的表现为-12.23%，最好的表现则为23.26%。

确实，大约17%的模拟实际上以损失告终，尽管我的投注历史的理论价值预期超过4%，而我的实际收益超过0.76%的预期可能性为78%。

事实上，我们可以在Excel中使用这些数据来计算出达到任何特定收益阈值的概率，而无需借助任何统计数据测试。蒙特卡罗方法为我们做完了这一切。100,000次模拟收益的完整分布情况见下方图表（X轴上增量单位为0.1%）。那些熟悉正态分布的读者会发现这几乎是完美匹配。

当然，假如我的实际收益为-5%或更差（这种情况的预期可能性仅为1%），那么我可能会开始考虑我的投注系统是否真的有缺陷。蒙特卡罗方法显然是帮助进行这种主观评估的有用工具。

有缺陷的投注系统 vs. 坏运气

这个例子中的另一个关键点是当投注历史中的投注数量很大时，坏运气对有积极预期的博彩玩家的影响。我的投注历史中有超过1,500个投注，预期收益超过4%。尽管拥有这个优势，我的蒙特卡罗模拟显示我破产的可能性仍旧有五分之一。

如果你的投注策略显示出类似的优势，但是在1,500个投注之后却完全没看见这个优势的影子，那么你会有什么感觉：对你的方法有信心、把糟糕的表现归咎于坏运气，还是对你的整个方法失去信心？

解决这种困境的一种办法就是增加样本大小。这里，我们又可以使用蒙特卡罗方法来看看投注历史中的投注数量增大时情况会发生什么变化。作为思维实验，我将我的原始1,521个投注增加到了十倍（只需再重复投注赔率的原始样本九次即可）。再运行100,000次模拟之后，收益如下：

• 平均收益 = 4.04%
• 最低收益 = -1.21%
• 最高收益 = 10.17%
• 概率收益 < 0% = 0.1%
• 概率收益 > 0.76% = 99.3%

100,000次模拟的全新分布如下所示，叠加在1,521个投注的原始样本的原始分布上。

两个样本的明显区别是可能收益的散布或值域大小差异，对于投注数量更大的投注历史，值域要窄得多。这样的结果是完全可以预见的，它不过是大数法则作用的结果。

评估蒙特卡罗模拟结果

我的投注历史中的投注数量越大，实际表现接近预期的可能性越大，当然这是在假定我的预测方法正常运作的情况下。由此可推出，如果我在投了15,000多个投注之后仍旧只有0.76%或更差的收益，那么我真的会认真考虑我的方法是否在正常运作。

总的来说，蒙特卡罗方法不能明确地告诉你，你的投注系统是否存在着任何超出运气影响的东西。尽管如此，它确实是一个有用的工具，可以帮助引导你在这方面做出明智的判断，同时解释说明在好运气和坏运气影响的范围内可以合理预期的可能结果的范围。