热手更热

1985年（迈克尔·乔丹在这一年拿到了NBA年度新秀奖），发表在认知心理学期刊的一篇论文宣称，人们普遍认为的“篮球球员的投篮表现偶尔会在一段时间内优于预期”这一观念是错误的。

具体来说，这篇论文的作者（Gilovich、Vallone和Tversky——“GVT”）得出这样的结论：认为篮球球员在投篮时会出现惯性是一种“认知错觉”。这种现象被称为“热手谬误”，与之相似的是更为概括性的“赌徒谬误”。这种明显偏见的产生是因为人们渴望找出固定模式，从随机性中找到意义。

相信体育运动中存在连赢或“好手感”不只限于篮球运动中。诸如“状态良好”、“火力全开”、“最佳状态”和“一往直前”这样的词语经常出现在众多体育评论行话和分析中。

GVT得出的结论以及之后研究热手谬误的无数论文都未影响人们使用这些词语。直至今日，在大部分体育比赛中，你都会看到有评论员使用暗示球员手感正好，或者表示一切并非随机的词语。

那么，为何在30多年来，体育迷和评论员会一直相信体育运动中的惯性概念呢？根据全新的研究，我们关于存在惯性的直觉可能一直都是对的。

在一篇名为“赌徒谬误和热手谬误让你吃了一惊？小数法则中的真相”的论文中，Miller和Sanjurjo阐述了GVT研究中的篮球球员实际上确实显示出了手感， 因此热手谬误本身就是一个谬误。造成1985年GVT研究结果错误的原因是一个简单但又重要的抽样误差。最好的解释方式是举例说明。

想象一下将一枚均匀的硬币抛掷五次。你需要观察结果，然后记录连续出现两次正面后每次的结果。抛了五次之后，你记录到的预期正面比例是多少？50%？低于或高于50%？

你可能会像GVT那样假设，因为硬币是均匀的，所以概率应为50%，然而事实上数值比这个低。当你将一枚均匀的硬币抛掷五次之后，可能出现32种可能性基本一样的顺序结果。这些结果如下方第2列所示。

在32种可能序列的16种中，第5次抛硬币前至少连续出现了两次正面，因此需要“记录”下来。其中8种序列的正面概率为0%，3种序列的正面概率为50%，1种序列的正面概率为67%，4种序列的正面概率为100%。考虑到这16种序列中每一种的可能性都相当，在连续抛出2次正面后记录到的正面的预期概率仅为38.5%。

这一结果似乎有悖常理，也导致了CVT论文和之后的“热手”研究中的错误。为了直观地理解这个偏差，我们可以考虑一个简单的抛硬币情境：我们想知道抛出正面之后再得到正面的几率。下方图表显示了通过5,000次模拟得出的将一枚均匀硬币抛掷500次的预期结果。

量化“以偏概全”

偏差可以量化为橙线和真实非条件预期之间的垂直距离——50%。如果只抛10次硬币，在抛出正面之后再次记录到正面的几率为44.5%。因此，偏差为5.5个百分点。

在竞技比赛中，你不太可能听到大家在球员进了一个球或拿到一分之后就说他“手感好”。下方图表显示了连赢“k”次后再次获胜的几率偏差，给定的真实概率为50%。我再次进行了5,000次模拟。

我们可以看到，偏差随着连赢次数的增加而增加，随着尝试次数的增加而减少。GVT在他们的研究中设计了投篮对照试验，25名大学球员每人投篮100次，记录他们在“k”次投中或投失后的命中率（k = 1、2、3）。

通过估计50％的成功率来确定每个球员的投篮位置。GVT直接比较了相同次数的连续投中和连续投失之后的命中率。他们假设投中k次之后的投中概率等于投失k次之后的投中概率。

然而，根据上文中的信息，我们知道这些百分比不应该是相同的。假设球员在100次投篮中每次投中的真实概率为50%，那么连续投中三次之后再次投中的概率为~46%。根据对称性，连续投失三次之后投中的概率为~54%。

偏差的程度大到如果对其作出调整，GVT关于投篮不存在手感的结论完全能被颠覆。大部分球员在投篮时确实显示出手感。在竞技比赛中，任何“成功”的概率都不太可能稳定地持续在50%。例如，NBA的平均罚球率大约为75%。  为了帮助读者理解偏差随着成功率如何变化，下方图表通过5,000次模拟来估算成功率为75%的偏差情况。

通过比较两张图表，我们可以看出偏差随着成功率提高而降低。例如，在100次尝试中，当非条件概率为50%和75%时，5次投中之后再次投中的概率分别为38%和72%。这相当于偏差分别为12%（50% - 38%）和3%（75% - 72%）。

NBA全明星三分球大赛中的投篮手感

本文接下来的部分中，我会分析验证最近四年（2015年至2018年）NBA全明星三分球大赛中是否有球员显示出命中手感。三分球大赛非常适用于热手分析，因为条件和投篮点是一样的，也不存在防守压力。球员在比赛中每回尝试25次三分球投篮，投篮点为三分球线上5个固定的位置。

四年中共有46名球员参加，总共尝试投篮1,150次，命中率54%。下表显示了每名球员在投中一次、投失一次、投中两次和投失两次后的命中条件概率。

NBA三分球大赛统计数据

命中一次或两次之后的命中率高于平均值，而投失一次或两次之后的命中率低于平均值。

第11列计算了投中一次或投失一次后的命中率差值（投中一次后的命中率减去投失一次后的命中率）。GVT用这个差值来测试他们的投篮手感。

我们和GVT一样使用原始数字，可以看到在四次大赛中，24名球员的该值为正，21名为负，球员在投中之后的命中率要比投失之后的平均高出10个百分点。然而，现在我们知道存在样本偏差，必须将其考虑在内。

如果我们初步假设每名球员的预期投中率为54%（平均值），那么投中之后再次投中的概率为~52%。根据对称性，投失之后立刻投中的概率为~56%。因此，我们可以在第11列中加入4%来克服样本偏差。

作出调整后，现在我们可以这样解释统计数据：正百分比意味着球员在投中之后的表现比投失之后更好。在调整之后，32名球员的百分比为正，14名为负。球员在投中一次之后的命中率要比投失之后的平均高出14个百分点。这是投篮手感的有力证明。 

如果我们对第12列作出相应的调整（投中两次之后的命中率减去投失两次之后的命中率），那么共有30名球员显示出了投篮手感（百分比为正），如果不考虑偏差，那么显示出手感的球员多于等于19名。投中两次之后的命中率的平均增幅为29%，再一次为近年来NBA三分球大赛中存在命中手感提供了强有力的证明。

直觉vs分析

尽管热手谬误已有30多年历史，然而体育迷和评论员也一直坚信热手谬误本身就是个谬误，表现惯性确实存在。体育行话中从来不乏诸如“所向披靡”、“全面同步”和“火力全开”这样的词汇，这表明在解释竞技表现时，直觉和本能也许与统计数据分析一样重要，因为两者都可能存在偏差。

虽然学术界最近肯定了体育运动中确实存在惯性，但是博彩公司早就意识到了它的存在。根据体育、队伍和球员的不同，赛中盘赔率定价模型通常会内建惯性因素。

在之前的一篇文章中，我解释了网球比赛赛盘之间的惯性效应。如果博彩玩家能更精确地判断哪支球队或球员的命中率可能高于或低于赔率的隐含概率，那么就有可能从中盈利，无论他们的预测是源于统计数据分析还是本能。