回顾凯利准则（第二部分）：分数凯利

在上个月的文章中，我将凯利准则重新看待为一种金钱管理方式。简单回顾一下，凯利准则倡导根据赢钱的概率和你优于博彩公司赔率的感知优势将本金按比例分配。

令人惊讶的是，我发现只要你的平均值是准确的，那么凯利准则就可以适应不确定准确优势的风险。然而有一点也十分明确，Joe Peta 在分析凯利准则的文章中写道，“无论你计算出的预期回报有多高，你的方差都将是可笑的，并且会出奇的高”，他这样说并非毫无根据。

在跟进过程中，我研究了怎样做才能降低这些方差风险，以及这样做对于预期盈利能力有怎样的影响。

完整凯利的问题

我经常提到，凯利准则有一个很大的问题就是资金增长不稳定，重大的损失有时会中断利润。也就是说，资金的演变是不稳定的。

考虑到凯利本金规模的计算方式（优势 – 1/赔率 – 1），当我们认为有明显正面预期的短期价格投注输钱时，就会引起突发的、大规模的资金缩水。

本月的一场法甲比赛为我们提供了关于以上内容的示例。一家竞争对手博彩公司将巴黎圣日尔曼 (PSG) 击败卡昂的赔率标为 1.35，而 Pinnacle（平博）的赔率是 1.20。综合抽水率考量之后，这个赔率暗示着 11.5% 的预期优势（假设 Pinnacle（平博）的盘口是最明智的），而凯利本金百分比是 32.8%。

PSG 对阵卡昂的最终成绩是平局，因此玩家在单次投注中消耗掉将近三分之一的凯利资金。显然，这不是大多数博彩玩家可以接受的资金缩水，尽管他们有机会通过相似量级的投注使资金增长。

损失带来的痛苦大于收获带来的快乐

对于大多数人来说，即使是对于热衷于冒险的人来说，这个量级可能带来的损失也远远大于这个量级的收益。在自己的著作《思想，快与慢》中，Daniel Kahneman 通过一个简单的思维实验解释了这一原理。

A) 在现有财富的基础上，你额外获得了 1,000 美元。现在你需要在两个选项之间作出选择：

1) 50% 的机会获得 1,000 美元

2) 确定获得 500 美元

B) 在现有财富的基础上，你额外获得了 2,000 美元。现在你需要在两个选项之间作出选择：

1) 50% 的机会失去 1,000 美元

2) 确定失去 500 美元

就绝对财富来说，问题 A 和 B 的结果是相同的。你无论是在 A 还是在 B 中选择了确定的答案，最终都将得到 1,500 美元（ 在现有财富基础上）。如果你选择拼运气，那么根据不同的结果，你最终将获得 2,000 美元或 1,000 美元。你选择了哪一个？

当 Kahneman 和自己的同事 Amos Tversky 检验这个测试时，发现大多数受访者在面对 A 中的收益时都更倾向于厌恶风险（选择确定的结果），而在面对 B 中的损失时更倾向于寻求风险（选择拼运气）。

相同决策问题的等价陈述应该产生相同的结果。而在这个示例中并非如此，受访者的行为显然不够理性。其原因在于问题 A 和问题 B 有不同的起点或参考点。

A 中是现有财富 + 1,000 美元；B 中是现有财富 + 2,000 美元。Kahneman 指出，我们之中很少有人会关注这些参考点，我们对于收益和损失的态度不是源于我们对绝对财富状态的评估，而是源于相对财富状态的评估。在面临收益和损失时，我们对于损失的厌恶高于我们对于收益的喜欢。

你是否愿意接受公平的均等机会投注，即赢钱时使资金增长三分之一，输钱时使资金缩水三分之一？如果你不愿意（我认为大多数人都不愿意），那么你就表现出了损失厌恶。当获胜概率有多高的时候你才会考虑改变主意呢？60%？70%？95%？更高？

损失厌恶的进化解释

从进化的角度来说，损失比收益更能激励我们。正如 Kahneman 已经解释的那样，与评估机遇相比，能更紧迫地评估威胁的生物更有可能生存和繁衍。

我们代表了进化过程中的胜利者（毕竟我们现在能够生存），那么根据自然法则，损失厌恶必然是一种优先选择的适应能力。

通过进化，我们的神经回路也经历了精密调整，会更倾向于检测刺激的相对变化而不是绝对值。你可以利用三杯水来自行确认这一点，一杯是热水，一杯是冷水，一杯水的温度介于二者之间。

将左手放在热水里，右手放在冷水里，大约一分钟之后将两只手同时放在第三杯水里。尽管两只手在经历相同的绝对温度，但是由于每只手最初的参考点不同，你的左手会感到更凉，右手会感到更热。

利用分数改善凯利准则

如果我们的损失厌恶倾向必然使与完整凯利本金相关的波动风险变得很高，那么显而易见的解决方案就是缩减凯利本金的规模。但是具体怎样才能影响这项金钱管理策略的预期概率呢？

大量资料证明通过将凯利本金减半，博彩玩家可以大大减少资金演变的波动性，同时保持最高的预期回报。让我们进行一些模拟，看看这个结论是否正确。

博彩玩家拥有 4% 的优势（预期获胜概率是 52%），在相同系列的 250 次均等机会投注之后，第一个图表显示了一个模拟的示例。

这里比较了四种本金计划：完整凯利、二分之一凯利、四分之一凯利和八分之一凯利。如果完整凯利本金是 8%，那么二分之一、四分之一和八分之一凯利本金就分别是 4%、2% 和 1%。不出所料，完整凯利本金的资金演变波动性和方差最大，而八分之一凯利的相应数据最小。

下一个图表演示了当我们比预期更幸运一些时，完整凯利的表现相对好于其分数对比项。

同样，当我们运气不佳时，完整凯利会使我们面临更大的损失。下面的第三个图表显示了 10 次连续损失使资金减少 30%。而对于八分之一凯利本金来说，这个数字仅仅是 3.75%。正如之前解释的那样，这样的损失对于大多数博彩玩家来说都是难以承受的，即使完整凯利可能提供更高的回报。

然而这仅仅是具有 4% 优势的均等机会型博彩玩家可能遇到的三种历史记录。我们需要进行另一次蒙特卡罗模拟来确定平均预期。

我进行了 10,000-次蒙特卡罗模拟，比较了四种分数凯利计划最终金额低于起始金额的可能性。请注意，我们发现大约 14% 的历史记录在结束时的金额少于起始资金的 60%，这进一步确认了 Joe Peta 对于这一策略的最初评价。

在新的模拟中，该结果在概率范围内反复出现。下表中显示了全部的概率。

尽管缩减凯利本金规模不会明显影响失败的概率，从而在 250 次均等机会投注之后表现出某种利润，但它的确可以有效避免超过 20% 的更大损失。

将凯利本金减半即可将资金损失 20% 的概率减半。再次将本金减半即可将此概率减小到接近零。而对于 40% 的损失，风险降低效果会更加明显。但是获得预期盈利的成本是多少呢？

下表显示了使用四种策略进行 250 次投注之后的平均值和中位数资金。

尽管二分之一凯利的预期利润明显低于完整凯利，但中位数期望值仅减少了大约四分之一。请注意，由于少数几次大额的最终资金，分数本金计划偏离预期的平均值盈利，而中位数可能提供了更好的衡量标准，显示玩家通常应有怎样的预期。例如，中位数 116 暗示大约 50% 的最终资金会少于或等于 116，而大约 50% 会多于 116。最终应该显示出玩家值得将凯利本金减半（或缩减更多）来降低风险。

最后一个表显示的是第二次蒙特卡罗模拟的结果，此时博彩玩家拥有 8% 的优势（54% 获胜概率）。其结论大体相似：玩家只需要放弃一小部分预期（中位数）盈利，就可以大大降低失败的风险。

分数版本的凯利准则是否为最佳的投注方法？

分数凯利似乎为博彩玩家提供了一个解决方案，来应对与完整凯利相关的波动风险，同时不必放弃凯利策略在固定投注方面提供的许多优势。对于不希望承受大额损失的玩家来说，这可能是一个好消息。

当然，更困难的始终是确定你与发布的赔率相比占据优势；相信和了解你正在做的事情这二者是完全不同的。不要让这方面的过度自信蒙蔽了自己。