Den tunna gränsen mellan tur och otur

När man spelar på sportodds spelar slumpen en mycket stor roll. De som vinner gör det nästan helt på grund av tur, och de allra flesta av dem kommer ändå att hamna på minus till slut på grund av spelbolagsmarginalerna och lagen om stora tal. Om du är bekant med mina tidigare artiklar genom åren vet du att jag har en ganska krass syn på spelares sannolikhet att gå med vinst i det långa loppet. Du behöver inte nödvändigtvis hålla med mig – varje spelare är fri att väga optimism och realism mot varandra.

Man kan till exempel försöka förbättra sina möjligheter att bli en vinnande spelare genom att ta hjälp av Pinnacles Oddsresurser-artiklar. Men även för de få som lyckas nå långsiktig lönsam förväntan gäller sannolikhetsreglerna fortfarande. I den här artikeln tar jag en närmare titt på hur det fungerar. I synnerhet tänker jag illustrera hur tunn gränsen mellan tur och otur faktiskt är.

Det klassiska slantsinglingsexemplet

När man singlar slant har båda utfallen givetvis 50 % sannolikhet att inträffa. Och om man singlar slant 20 gånger kommer man naturligtvis inte alltid att få 10 krona och 10 klave, även om det är det mest troliga resultatet. Ibland får man 12 krona och 8 klave, ibland tvärtom. I sällsynta fall kan man få 5 krona och 15 klave. Vi kan beräkna den exakta sannolikheten för varje möjligt resultat med hjälp av binomialfördelning. För 20 slantsinglingar ser den ut så här.

De flesta av de sannolika resultaten varierar mellan 5 krona och 15 klave respektive 15 krona och 5 klave. Vad händer om antalet slantsinglingar är 100? Fördelningen ser då ut så här.

Den här gången är intervallet av sannolika resultat större. Vid 20 slantsinglingar ligger det intervallet mellan 5 och 15 krona – en skillnad på 10. Vid 100 slantsinglingar är detta intervall ungefär dubbelt så stort: mellan 40 och 60. Innebär det att mängden möjliga resultat växer i takt med att urvalsstorleken gör det? Både ja och nej.

När matematikern Jacob Bernoulli experimenterade med att öka urvalsstorleken fann han att den absoluta numeriska skillnaden mellan antalet krona och klave ökade och att den procentuella andelen krona närmade sig 50 %. 5 av 20 krona motsvarar 25 %, och 40 av 100 motsvarar 40 %. Denna separata förklaring, som ligger till grund för lagen om stora tal, kan oddsspelare ha god nytta av för att förstå sannolikhetslära. 

Den binomiala standardavvikelsen

Vi kan mäta intervallet eller spridningen i en fördelning med hjälp av standardavvikelsen. För en binomialfördelning ges standardavvikelsen, σ, av följande enkla ekvation:

Där n är antalet binära repetitioner (till exempel slantsinglingar) är p sannolikheten för framgång (krona) och q är sannolikheten för misslyckande (klave). Eftersom p + q = 1: 

Och när p = q (det vill säga 0,5): 

Vid 20 slantsinglingar är σ = 2,24. Vid 100 är σ = 5.

Standardavvikelsen avslöjar omfattningen av de flesta möjliga utfall. Vid till exempel 100 slantsinglingar ligger drygt två tredjedelar av urvalen mellan ±1σ, eller mellan 45 och 55 krona.

Vi har därmed bekräftat Bernoullis första upptäckt: ju större urvalsstorlek desto större är den absoluta spridningen. Men vad händer om vi använder procentuella krona/klave istället för absoluta tal? För att beräkna andelen krona delar vi deras antal med det totala antalet slantsinglingar: n. För att beräkna standardavvikelsen i procentandelar måste vi också dela med n. 

För enkla 50/50-scenarion gäller därför: 

Vid 20 slantsinglingar är standardavvikelsen i procent av krona 0,11 (eller 11 %), men vid 100 slantsinglingar är den bara 0,05 (eller 5 %).

Lagen om stora tal

Enligt lagen om stora tal bör medelresultatet av ett stort antal upprepningar närma sig det förväntade resultatet i takt med att fler och fler utförs. Ju fler gånger man singlar en slant, desto närmare 50 % (det förväntade värdet) kommer andelen krona att vara.

Eftersom standardavvikelsen i procentandelar står i proportion till kvadratroten av antalet slantsinglingar bildar de två variablerna ett så kallat potenslagsförhållande, där standardavvikelsen varierar baserat på potensen eller logaritmen i antalet slantsinglingar. På en dubbellogaritmisk graf visar sig förhållandet som en rak linje. Värdet av σ halveras för varje kvadrering av n.

Detta potenslagsförhållande innebär att det mesta av standardavvikelsens minskning inträffar under de första upprepningarna. σ har minskat från 0,5 efter den första slantsinglingen till 0,1 efter bara 25 slantsinglingar – fyra femtedelar av vägen mot gränsvärdet noll (efter ett oändligt antal slantsinglingar). På detta sätt kan vi uppskatta hur snabbt lagen om stora antal träder i kraft. Genom att rita om ovanstående graf med linjära skalor visualiseras denna hastighet. 

Vinster och förluster inom vadslagning

Vinster och förluster inom vadslagning påminner mycket om slantsingling. Varje spel har i princip två binära utfall: antingen vinner det eller inte. Om den förväntade sannolikheten för varje vinst är identisk kommer därför de möjliga resultaten också att vara binomialfördelade.

Ett tydligt exempel på detta är spridningsodds för amerikanska sporter (eller fotboll med asiatiskt handikapp). De går ut på att tillämpa ett handikapp på det ena eller andra laget för att skapa utjämnade förutsättningar som motsvarar oddset 2,00. 

Vi behöver emellertid inte begränsa oss till enbart 50/50-scenarion. Tänk tillbaka på ekvationen för standardavvikelsen i procentandelar tidigare i artikeln. Den mer generiska versionen, som gör att man kan bedöma andra möjliga förväntade vinstprocent, är följande: 

Även för skickliga spelare som kan generera långsiktiga lönsamma väntevärden kommer det mesta som faktiskt sker att vara slumpmässigt brus kring en relativt svag signal. Det beror helt enkelt på den inneboende slumpmässiga variansen i komplexa system som till exempel sport.

I verkligheten går oskickliga spelare minus även när de uppfyller förväntan. När spelbolagets marginal tagits med i beräkningen är det i princip oundvikligt att en sådan spelare kommer att förlora pengar efter 1 000 spel.

Föreställ dig en spelare som spelar på 50/50-scenarion och vinner 55 % av dem på lång sikt. Spelaren har visserligen höjt sin förväntade vinstprocent från 50 % till 55 % genom skicklighet, men samma binomiala regler om varians gäller fortfarande.

Av ekvationen ovan framgår att spelarens standardavvikelse i vinstprocent bör ligga på 3 % efter 275 spel, vilket innebär att spelaren med cirka två tredjedelars sannolikhet kommer att ha en faktisk vinstfrekvens mellan 52 % och 58 % för den aktuella spelhistoriken. 

Under förutsättning att spelmönstret förblir simpelt med samma förväntade vinstsannolikhet (odds) för varje spel kan vi med hjälp av binomialfördelning i stort sett fastställa sannolikheterna för varje möjligt utfall (i Excel kan detta utföras med funktionen BINOMDIST).

Jag har illustrerat detta för en serie spelhistoriker nedan. Den första omfattar bara 20 spel. De numeriska värdena i diagrammet visar den kumulativa sannolikheten för att den faktiska vinstprocenten är högre än ett visst värde. Till exempel har man cirka 9 % chans att vinna fler än sex spel (30 %) om ens långsiktiga förväntan är 20 %. Man har ungefär 1 % chans att vinna 20 av 20 om man vanligtvis väntas vinna 16. 

De röda och gröna zonerna markerar i stora drag förlustzonerna respektive vinstzonerna (vid rättvisa odds). Om du förlorar fler spel än förväntat kommer du naturligtvis att gå med ekonomisk förlust, men som du märker är betydande underprestationer inte så vanliga.

Även vid så pass få som 20 spel på 50/50-scenarion kan du i tre fall av fyra förvänta dig att vinna nio eller fler. Lagen om stora tal står på din sida och minskar sannolikheten för betydande procentuella förluster.

Emellertid gäller motsatsen också. Om du vinner fler spel än förväntat kommer du visserligen att gå med vinst, men det är inte särskilt troligt att vinsten blir stor. Även om du är en skicklig spelare som kan vinna 55 % av spel på 50/50-scenarion på lång sikt har du fortfarande bara 13 % chans att vinna minst 14 av 20. Nu är lagen om stora tal emot dig och hindrar dig från att göra betydande procentuella vinster. 

Den gula zonen motsvarar ungefär den zon där man går plus minus noll. Vad som är slående är hur tunn zonen mellan överdriven tur och otur är, och att de flesta spelare rör sig inom den.

Se vad som händer med den gula zonen efter 100 spel.

Sannolikheten för att avvika markant från den långsiktiga förväntningen har minskat avsevärt. Och efter 1 000 spel?

I verkligheten går oskickliga spelare minus även när de uppfyller förväntan. När spelbolagets marginal tagits med i beräkningen är det i princip oundvikligt att en sådan spelare kommer att förlora pengar efter 1 000 spel. De stora talens lag har krossat dig. För skickliga spelare ser det dock väldigt annorlunda ut.

Om du i snitt kan vinna 55 % av 1 000 spel på 50/50-scenarion kommer du nästan alltid att vinna minst 50 % av dem. Under förutsättning att spelbolagsmarginalen är mindre än skillnaden mellan vad du förväntar dig att din vinstprocent ska vara och vad spelbolaget tycker att vinstprocenten ska vara, har du mycket goda möjligheter att gå med långsiktig vinst. Den respekterade webbplatsen ProfessionalGambler.com uttrycker det så här:

"Den procentuella skillnaden mellan andelen oddsspel som vinns av framgångsrika respektive förlorande spelare är förvånansvärt liten".

Nu kan du se exakt hur liten den är. De stora talens lag kan vara både en välsignelse och förbannelse för spelare. 

Naturligtvis är de flesta riktiga människors spelmönster inte så simpla som exemplen i den här artikeln. I verkligheten spelar folk på en mängd olika odds och insatsnivåer, men för att kunna analysera alla dessa skulle vi behöva använda mer sofistikerad matematik eller Monte Carlo-simuleringar på en orimligt komplex nivå. 

Vidare har jag inte tagit hänsyn till avvikelserna i faktiska vinster och förluster. Det är ett separat ämne som jag har berört i tidigare artiklar (ju högre oddsen är, desto mer fluktuerar vinster och förluster).

Syftet med den här artikeln är att illustrera den hastighet och kraft som lagen om stora tal har, och hur tunn gränsen är mellan förväntade och faktiska resultat och mellan tur och otur.

Att granska en spelhistoriks trovärdighet

Som avrundning skulle jag också vilja visa dig hur du genom att titta på standardavvikelsen i faktiska vinstprocent kan granska trovärdigheten i de spelhistoriker som marknadsförs av tipstjänster i hopp om att du ska köpa deras speltips. 

Som exempel kan vi titta på ett handikappföretag som säger sig ha ett "ärligt och uppriktigt tillvägagångssätt" beträffande deras "handikapprinciper". Företaget känner uppenbarligen till att slumpmässighet existerar inom spel på sportodds – de förklarar för sina kunder att det inte finns några garanterade vinnare och att "varje idrottshändelse har inslag av slump". Men med tanke på att de publicerat en vinstfrekvens på hela 76 % för över 11 000 tips tycks de ha lyckats tygla slumpen.

Enligt lagen om stora tal bör medelresultatet av ett stort antal upprepningar närma sig det förväntade resultatet i takt med att fler och fler utförs.

Vid en närmare granskning av deras publicerade resultat framgår det att den faktiska vinstprocenten är 75 % från 10 312 tips (uppenbarligen saknas några). Även om det finns vissa lågoddsare och högoddsare i spelhistoriken består den till 94 % av odds mellan 1,67 och 2,50 (motsvarande 60 % respektive 40 % implicita vinstsannolikheter). Den genomsnittliga implicita vinstsannolikheten för hela urvalet är 52,2 %. När spelbolagets marginal har dragits av blir det i princip 50 %.

Om man delar in resultaten i 56 separata månader (från mars 2014 till oktober 2018) framkommer att i snitt 184 tips har gjorts per månad, och att över hälften av månaderna innehåller mellan 140 och 224 tips. Om vi antar att den långsiktiga förväntade vinstfrekvensen är 75 %, hur mycket bör de månatliga procentuella vinstandelarna variera? Med hjälp av ovanstående ekvation för att beräkna den förväntade standardavvikelsen i vinstprocent för ett urval på 184 tips finner vi att svaret är strax över 3 %. Drygt två tredjedelar av månaderna bör ligga mellan ca 72 % och 78 %, medan 95 % bör ligga mellan ca 69 % och 81 %.

Faktum är att standardavvikelsen i den månatliga vinstprocenten är 8,6 % – långt högre än den borde vara. Färre än 40 % av värdena ligger inom ±1σ av 75 %, och drygt hälften ligger inom ±2σ. Variansen är helt enkelt för stor. Även om vi antog att varje månad bara innehöll 32 tips (vilket den tipsfattigaste månaden gjorde) skulle den förväntade standardavvikelsen fortfarande bara vara 7,7 %. 

En standardavvikelse i månatliga vinstprocent på 8,6 % förväntas normalt vid urvalsstorlekar på cirka 25, inte 184. December 2014 innehåller 151 tips med en genomsnittlig implicit vinstförväntan på 51,4 %. En vinstprocent på 46,4 % förväntas bara inträffa en gång på en miljon miljarder år. Oktober 2015 innehöll 168 tips (genomsnittlig implicit vinstförväntan: 48,5 %) varav 154 vann, det vill säga 91,7 %. En skicklig spelare skulle normalt bara uppnå ett sådant resultat en gång på en miljon år.

Jag överlåter till läsaren att avgöra vad detta tyder på. Kanske tyder det på att skicklighetsnivåer kan fluktuera dramatiskt under korta perioder. Kanske tyder det på något annat. Men med tanke på vad jag tidigare har sagt om gränser för vinstförväntningar vet du nog redan att en handikappvinstprocent på 76 % inte kan tas på allvar.