Aktuellt
okt 7, 2020

Hur mycket bör du satsa när du inte känner till din edge?

Omtolka olika insatsmetoder med Kelly

Enhetsförlust, enhetsvinst och enhetseffekt

Avkastningarnas asymmetri

Sannolikheternas symmetri

Hur mycket bör du satsa när du inte känner till din edge?

Många spelare lägger ner mycket tid på att försöka hitta en edge på oddsmarknaderna. Vissa lyckas, men de flesta kämpar i motvind. Förutom edge är insatsmetoder en oerhört viktig del av betting. Hur mycket bör du satsa när du inte känner till din edge? Läs vidare för att få reda på det.

I maj 2020 fick två aktieägare i rekarplattformen Pyckio (Andrés Barge-Gil och Alfredo García-Hiernaux) en artikel publicerad i Journal of Sports Economics. Den handlar om hur mycket lönsamma spelare bör satsa när de inte kan uppskatta de faktiska vinstsannolikheterna.

Huruvida ambitiösa spelare över huvud taget bör spela under sådana omständigheter är en annan diskussion, men enligt Barge-Gil och García-Hiernaux medger många att de inte kan uppskatta sannolikheterna träffsäkert.

Deras forskning är intressant eftersom den belyser hur olika insatsmetoder kan omtolkas som varianter av Kelly-kriteriet. I den här artikeln försöker jag summera allt de kommit fram till och undersöka om det till och med går att förbättra.

Omtolka olika insatsmetoder med Kelly

Insatsmetoder går ut på att komma fram till hur mycket pengar man bör satsa i varje enskilt läge, och många förordar Kelly-kriteriet som insatsmetod. Inte konstigt att Pinnacles avdelning Oddsresurser har flera artiklar i ämnet. Jag har själv skrivit en del av dem. Framför allt har jag visat att det är okej att inte känna till sin exakta edge för varje spel när man spelar en gång i taget med Kelly, så länge man är träffsäker i genomsnitt. 

Barge-Gil och García-Hiernaux hävdar att spelare som inte har tillgång till precisa uppskattningar av faktiska sannolikheter överger Kelly och hemfaller till andra insatsmetoder.

Enhetsförlust

Den första av dessa metoder kretsar kring enhetsförluster (eller fasta insatser) där spelaren riskerar samma insats varje gång oavsett odds. Ju högre odds desto mer påverkas bankrullen om spelet vinner, men samtidigt minskas sannolikheten att spelet vinner.

Man kan säga att en insatsmetod som kretsar kring enhetsförluster är en Kelly-metod där väntevärdet står i direkt proportion till oddsen. Eftersom storleken på en Kelly-insats motsvarar väntevärdet delat med oddset minus 1 (där allt över 0 är att betrakta som lönsamt) implicerar en enhetsförlustmetod att detta förhållande förblir konstant.

Anta till exempel att väntevärdet var 10 % (0,1) och oddset 2,00. Insatsen vore då 0,1. Om oddset ökar till 4,00 implicerar det att väntevärdet måste öka till 30 % (0,3) för att säkerställa att insatsen stannar kvar på 0,1. Ett odds på 101,00 implicerar ett väntevärde på 10 eller 1 000 %, vilket verkar rätt orealistiskt. Det faktiska odds som impliceras är bara 9,18. Det är knappast troligt att något spelbolag skulle begå ett så stort misstag.

När oddsen tenderar mot oändlighet skulle de faktiska oddsen tendera mot ett maxvärde som motsvarar 1 delat med insatsen, i det här fallet 10. Enhetsförlustmetoder kritiseras ofta för att de fäster för stor risk vid spel med låga vinstsannolikheter. De som förespråkar Kelly skulle bara acceptera det om väntevärdet verkligen steg proportionerligt med oddsen, men det är uppenbarligen inte realistiskt.

Enhetsvinst

Den andra insatsmetoden som många använder sig av kretsar kring enhetsvinster. Då justeras insatsen så att man försöker få samma vinst oavsett vad oddsen ligger på. Om målvinsten vore 100 € skulle odds på 2,00 kräva en insats på 100 €, medan odds på 5,00 skulle kräva en insats på 25 €. Insatsstorleken står i proportion till oddsens reciprok minus 1. När det gäller Kelly implicerar enhetsvinststrategin att väntevärdet är helt oberoende av Kelly-kriteriet och att alla väntevärden är samma oavsett oddsen. 

Det är något med enhetsvinstmetoden som klingar falskt. Kan det verkligen stämma ett en spelare har samma fördel oavsett om oddset är 1,11 eller 111,00? Läran om varians tyder på att det inte är särskilt realistiskt. Om ditt väntevärde vid oddset 111,00 är 20 % (0,2) skulle samma väntevärde vid oddset 1,11 implicera att det faktiska oddset var lägre än 1. Det är naturligtvis nonsens. Ingenting kan ha en högre sannolikhet än 100 %.

Enhetseffekt

Barge-Gil och García-Hiernaux har föreslagit en alternativ insatsmetod som kretsar kring enhetseffekt. Hypotesen är att den är mer kompatibel med Kelly-insatsmetoden. Med enhetseffektmetoden är skillnaden i bankrulle mellan vinst och förlust lika stor oavsett hur höga eller låga oddsen är. 

Enhetseffektinsatser står i proportion till oddsens reciprok, till skillnad från enhetsvinstinsatser som motsvarar oddsens reciprok minus 1. Om insatsen är 100 € för oddset 2,00 vore alltså insatsen med enhetseffekt 40 € för oddset 5,00. I båda fallen är skillnaden mellan vinst och förlust 200 € (+100 €/-100 € i det första fallet och +160 €/-40 € i det andra).

Med enhetseffektmetoden står väntevärdet i proportion till oddset minus 1 delat med oddset. Det innebär att väntevärdet ökar i takt med oddsen, men att det ökar allt mindre upp till en viss gräns eftersom förhållandet snabbt rör sig mot 1. Om väntevärdet till exempel är 0,1 för oddset 2,00 vore gränsen för väntevärdet 0,2. Även om det här scenariot inte är lika extremt som enhetsvinstmetoden, där väntevärdet förblir oförändrat, verkar det återigen underskatta möjligheten till högre väntevärden för högre odds.

Framgångsrika hästkapplöpningsrekare uppvisar ofta mer än dubbelt så hög avkastning som rekare som riktar in sig på marknaderna för asiatiskt handikapp eller poänghandikapp. Men det innebär inte nödvändigtvis att de är skickligare (eller har mer tur) – de har helt enkelt variansen på sin sida. 

Nedanstående diagram visar hur väntevärdet varierar med oddsen för de tre olika insatsmetoderna när väntevärdet är 3 % för oddset 2,00.

In-Article-1-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

Som sagt verkar både enhetsförlust och enhetsvinst implicera orealistiska förhållanden mellan odds och väntevärde.

Barge-Gil och García-Hiernaux har analyserat Pyckios spelhistorik och tror sig ha bekräftat att förhållandet mellan väntevärde och odds som impliceras av enhetseffekt bäst återspeglar både observerade och förväntade avkastningar från rekare (de sistnämnda baseras på stängningsodds). Själv är jag fortfarande inte helt övertygad. En insatsmetod baserad på enhetseffekt kan som sagt aldrig producera ett väntevärde som är mer än dubbelt så stort som väntevärdet när oddset ligger på 2,00. Finns det något bättre alternativ? 

T-fördelningen ur ett nytt perspektiv

För tre år sedan skrev jag en Oddsresurser-artikel för Pinnacle om hur man kan använda t-fördelningen för att utvärdera rekare och skilja tur från skicklighet. I likhet med normalfördelningen kan den hjälpa dig avgöra hur osannolik en viss spelhistorik är, förutsatt att man känner till medelvärdet för den statistiska populationen. Man kan också använda t-fördelning istället för normalfördelning när man bara känner till standardavvikelsen för urvalet och inte populationen.

Jag har ofta använt mig av t-fördelning för att visa hur troligt det är att en viss rekares spelhistorik uppstått på grund av ren tur och inte skicklighet. Ju mindre sannolikheten är, desto mer subjektivt säker kan du vara på att det inte bara var tur som låg bakom spelvinsterna. 

Det här testet utgår från det så kallade t-värdet, som ligger till grund för sannolikheterna. Jag har visat att t-värdet kan uppskattas med följande formel, när man använder en enhetsförlustmetod och när spelhistorikens odds inte varierar allt för mycket.

NEW-In-Article-2-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge2.jpg

där n är antalet spel, o är det genomsnittliga oddset och r är avkastningen + 1.

I likhet med z-värdet (som många handikappspelare kanske är mer bekanta med) är t-värdet i grunden ett mått på hur många standardavvikelser avkastningen avviker med från det förväntade nollmedelvärdet, förutsatt att spelaren är oskicklig och spelar på rättvisa odds. Till exempel skulle ett t-värde på 2 implicera att du bara hade kunnat förvänta dig en bättre avkastning i cirka 2,5 % av fallen, förutsatt att du inte besitter någon skicklighet. T-värdet är således ett sorts sannolikhetsmått. Ju större t-värde, desto mindre sannolik är observationen. Med det kan vi ta reda på hur sannolika olika väntevärden är (förutsatt att ingen skicklighet föreligger) beroende på vilka odds man spelar på.

Avkastningarnas asymmetri

Ponera att du spelar på ett lag som har 80 % chans att vinna till det rättvisa oddset 1,25. Anta också att spelbolaget felaktigt uppskattar lagets vinstsannolikhet till 75 %. Spelbolaget kör en kampanj och har därför ingen marginal. Oddset sätts till 1,333. Följaktligen är ditt väntevärde 6,667 % (1,333/1,25 - 1 eller 0,80/0,75 - 1). 

Ponera nu att den faktiska sannolikheten är 20 % (vilket motsvarar ett rättvist odds på 5,00) men spelbolaget anser att det är 15 % och lägger därför upp oddset 6,667. Den här gången är ditt väntevärde 33,33 % (6,667/5,00 - 1 eller 0,20/0,15 - 1). Skillnaden i förväntade vinstprocent mellan din uppskattning och spelbolagets är samma, men väntevärdet är fem gånger så stort. Vad gäller väntevärde bestraffas motsvarande fel mycket hårdare när oddsen är högre. Men hur troliga är de felen? 

Sannolikheternas symmetri

Låt oss skriva om ovanstående t-värdeformel under antagandet att alla våra spel har samma odds: o. Eftersom vi vet att r = q / p, där p är den sannolikhet som impliceras av spelbolagets odds (det vill säga 1/o) och q är din uppskattade sannolikhet (som är "sann" om din prognosmodell är träffsäker) kan vi se att:

NEW-In-Article-3-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

Anta att n (antalet spel) är 100. När q motsvarar 0,8 och p motsvarar 0,75 är t-värdet 1,25. T-värdet är också 1,25 när q motsvarar 0,2 och p motsvarar 0,15. Förutsatt att det är spelbolaget och inte vår modell som har rätt skulle ett sådant t-värde motsvara en utfallssannolikhet på 10,7 % (med Excel-funktionen =TDIST). 

Efter 100 spel skulle vi i 10,7 % av fallen förvänta oss en bättre avkastning än 6,667 % till oddset 1,333, eller bättre än 33,33 % till oddset 6,667. Större avkastningar med högre odds är precis lika troliga som mindre avkastningar med lägre odds. Det är därför hästkapplöpningsrekare skenbart kan framstå som bättre än handikappspelare (eller mycket sämre om de går med förlust).

Jag har försökt illustrera den här sannolikhetssymmetrin med följande tabeller. För tydlighets skull är värdena extrema – i verkligheten skulle nästan ingen kunna prestera så bra eller dåligt. 

Det första visar asymmetrin i väntevärdena för olika kombinationer av p och q. Det andra visar symmetrin i t-värdena. För den visuella tydlighetens skull har jag visat de absoluta t-värdena (och avlägsnat minustecknet för negativa väntevärden när q < p). En kombination av p och q på 0,3/0,7 är lika sannolik som kombinationen 0,7/0,3, men det är också kombinationer som 0,7/0,5 och 0,3/0,1, 0,8/0,7 och 0,2/0,1. Det beror på ovanstående skäl. 

In-Article-8-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

In-Article-9-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

En ny funktion för väntevärde kontra odds

För alla odds och väntevärden finns det ett sannolikhets-t (som fördubblas när antalet spel fyrdubblas). Vi kan omarrangera t-värdeformeln för att uttrycka den i form av r. Det ger en rätt hårresande kvadratisk ekvation med en ännu mer hårresande lösning. 

New-In-Article-4-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

Den är mycket värre än oddset - 1 / oddset, men låt oss ändå plotta den för scenariot där väntevärdet är 0,03 och oddset är 2,00. Nedan visas detta och de tidigare funktionerna för väntevärde kontra odds med insatsmetoder som bygger på enhetsförlust, enhetsvinst respektive enhetseffekt.

In-Article-5-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

Även om funktionen kan vara svår att skriva är den mer intuitivt logisk, med tanke på att den tolkar förväntade avkastningar som statistiska sannolikheter. Med enhetseffektmetoden kan väntevärdet aldrig vara högre än 6 % när det är 3 % för oddset 2,00. Men med min funktion kan väntevärdet öka utan begränsning. Inte lika orealistiskt snabbt som med enhetsförlustmetoden, men i linje med det som förutses av statistisk varians. För oddset 10 är det 9,4 %, för oddset 50 är det 23,3 % och för oddset 1 000 är det 150 %.

En del kritiker menar att eftersom den här funktionen är baserad på t-värdet utgår den från att spelaren inte besitter någon skicklighet. Enligt dem förklarar funktionen bara sannolikheten för att något ska hända när ingen skicklighet finns. Men det är en feltolkning. Även om skicklighet finns gäller samma statistiska lagar för varians. 

Den brandgula kurvans position ändras, men formen förblir oförändrad. Nedan visar jag några möjliga utvecklingar för spelare som är olika skickliga (eller har olika mycket tur, det spelar ingen roll). Den ursprungliga kurvan för den här spelaren med ett väntevärde på 3 % till oddset 2,00 visas fortfarande i brandgult.

In-Article-6-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

Andra kritiker menar att vi också utgår från att all eventuell skicklighet är oberoende av oddsen och inte påverkas av dem. Men det stämmer troligen inte med tanke på marknadsbrister som till exempel underdogbias.

Testa funktionen

Kan vi testa hur giltig den här nya funktionen för väntevärde kontra odds är? Mitt spelsystem som bygger på massans vishet (alla som följer mig på Twitter och Football-Data vet precis vad jag menar) utgår från Pinnacles mer träffsäkra odds för att uppskatta väntevärdet för oddsen hos andra spelbolag. 

Genom att titta på ett urval av matchoddsdata för europeiska fotbollssäsonger från 2012–2013 fann jag 55 237 lönsamma väntevärden (>0). Genomsnittet var 2,20 % (medan det faktiska resultatet för enhetsförlustmetoden var 1,77 % – gott och väl inom den statistiska felmarginalen) med ett genomsnittligt odds på 3,30. Med dessa siffror kan vi använda min kvadratiska lösningsformel för att konstruera en funktionskurva för väntevärde kontra odds likt de som visas ovan. Denna funktionskurva är den brandgula i följande diagram.

In-Article-7-How-much-do-stake-with-an-unknown-edge.jpg

Börja med att jämföra den med de faktiska genomsnittliga modellväntevärdena baserat på enprocentiga vinstförväntningar (som visas i form av odds i diagrammet), och den funktionskurva för väntevärde kontra odds som förutses av insatseffektmetoden. Även om t-värdefunktionen för väntevärde kontra odds inte är perfekt är den förmodligen mycket bättre på att uppskatta väntevärden baserat på odds. 

En logisk grund

Observanta läsare kanske undrar vad poängen är med att använda en sådan funktion för att förutse väntevärden för olika odds när min modell som bygger på massans vishet redan kan göra det för alla spel. Det är en rimlig frågeställning, och den här artikeln kan därför till stor del ses som teoretisk.

Men även träffsäkra modeller (i genomsnitt) uppvisar epistemisk osäkerhet för enskilda spel. Vidare gör aleatorisk (inneboende) osäkerhet att det i praktiken är omöjligt att utvärdera sanna vinstsannolikheter.

Mitt mål med den här artikeln är att likt Barge-Gil och García-Hiernaux illustrera hur man kan försöka uppskatta väntevärde när kvantitativa osäkerheter finns, när ens prognosmodell inte uttryckligen uppskattar vinstsannolikheter eller när man förutser utfall mer baserat på magkänsla än data. Med den här metoden kan du uppskatta ditt väntevärde förutsatt att du känner till dina odds, och när du känner till ditt väntevärde kan du komma fram till vilken Kelly-insats du bör använda.

Den här t-värdemetoden är komplex, men dess utdata härleds från mer intuitiva resonemang om förhållandet mellan vinstsannolikhet, väntevärde, utfallssannolikhet och i förlängningen hur faktiska avkastningar kan variera med oddsen. Jag tycker att den fungerar bättre än insatsmetoder baserade på enhetseffekt, och definitivt bättre än metoder baserade på enhetsförlust och enhetsvinst.

Oddsresurser: Bli en bättre spelare

Pinnacles avdelning Oddsresurser är en av nätets mest omfattande artikelsamlingar med spelråd från experter. Vi tillgodoser behoven hos både nybörjare och proffs – vårt mål är helt enkelt att öka våra spelares kunskaper.