Riskbedömning av Kelly-kriteriet

Många hävdar att Kelly-kriteriet är den mest effektiva insatsmetoden för att maximera en vinnande spelares saldotillväxt. I Pinnacles avdelning Oddsresurser finns flera artiklar som förklarar vad Kelly-kriteriet går ut på, hur det fungerar och vilka dess fördelar och nackdelar är. I den här artikeln gör jag en enkel riskbedömning av metoden.

Vad är Kelly-kriteriet?

Pinnacle-skribenten, tillika University of Malta-matematikern, Dominic Cortis beskriver Kelly-kriteriet som ett verktyg för att beräkna hur stor andel av din bankrulle du bör satsa på ett utfall vars odds är högre än väntat för att dina pengar ska kunna växa exponentiellt.

Kelly-kriteriet utvecklades av John Kelly när han arbetade på AT&T:s Bell Labs år 1956. Det är ett ekonomiskt och matematiskt exakt sätt att beräkna optimala insatsbelopp för att maximera den totala tillväxten i förhållande till förväntad avkastning och risk. Detta ges genom följande enkla ekvation:

"Edge" är helt enkelt den fördel du har (eller tror att du har) i förhållande till oddsen som erbjuds av ett spelbolag. Om du till exempel tror att ett rättvist odds för ett visst utfall vore 2,00 (motsvarande 50 % sannolikhet), men spelbolaget erbjuder dig 2,10, kan du räkna fram din edge så här: 2,10/2,00 = 1,05.

Edge är bara ett annat ord för positivt väntevärde. Oddsen i ekvationen ovan bör anges i decimalformat. I det här exemplet blir Kelly-insatsandelen 0,05 eller 5 %.

Kelly är ett exempel på en proportionell insatsmetod där insatsstorleken alltid står i proportion till storleken på ditt befintliga spelsaldo. Insatsstorleken kommer därför att stiga eller sjunka i takt med att ditt saldo växer eller krymper, till skillnad från fasta insatsbelopp som följer en förutbestämd storlek.

Vad som är så speciellt med Kelly är att det också tar hänsyn till storleken på din uppfattade edge och storleken på oddsen. Ju större din edge är och/eller ju sannolikare utfallet är, desto större blir din insats.

Det är svårt att beräkna procentuella Kelly-insatser när du spelar på fler än en händelse eller match samtidigt, och Pinnacle har publicerat en artikel som går igenom det. I resten av den här artikeln kommer jag bara att förhålla mig till den förenklade formen av Kelly-kriteriet som gäller en insats åt gången.

Hur riskfyllt är Kelly-kriteriet?

Med en proportionell insatsstrategi som Kelly kan du naturligtvis aldrig bli bankrutt helt och hållet. Ju mer du förlorar desto mindre blir dina insatser, och teoretiskt sett kommer du aldrig att nå noll. 

Till skillnad från casinospel, som är baserade på kända matematiska algoritmer, är det omöjligt att känna till de exakta utfallssannolikheterna för ett komplext system som till exempel en fotbollsmatch.

Men i praktiken kan du givetvis dra på dig förluster som kan anses vara oacceptabelt stora. Således är det kanske mer lämpligt att ta hänsyn till din möjliga saldovarians och huruvida risken för nedgång är acceptabel för dig.

Aktiehandlaren Joe Peta är gästskribent för Pinnacle och har tidigare hävdat att problemet med Kelly-kriteriet är att "oavsett vad du beräknar din förväntade avkastning på blir variansen orimligt hög". Han exemplifierar med en hypotetisk spelare som vinner 52 % av sina insatser till oddset 2,00. Kelly rekommenderar då att satsa 4 % av saldot. 

Efter 250 insatser hävdar Peta att spelaren löper över 10 % risk att förlora minst 40 % av sitt saldo. Har han rätt? 

Hans bedömning verkar tämligen träffsäker. Vid en Monte Carlo-simulering som kördes 10 000 gånger med dessa parametrar återstod mindre än 60 % av saldot i 14 % av fallen. Detta kan jämföras med endast 9 % för en strategi med jämnstora insatser där 4 enheter satsades 250 gånger (från ett startsaldo på 100 enheter).

Tabellen nedan illustrerar en vidare jämförelse mellan Kelly och jämnstora insatser. Även om proportionerliga insatser är bättre lämpade för att optimera lönsamheten (i denna simulering blev det genomsnittliga slutsaldot 149 för Kelly och 140 för den fasta insatsmetoden) tar Kelly längre tid på sig att återhämta sig från förluster. Detta har jag gått igenom i en tidigare artikel.

Att fler slutsaldon landar på minus med proportionerliga insatser beror helt enkelt på att variansen är högre. Nästan fyra av tio Kelly-simuleringar resulterade i förlust, jämfört med bara en av fyra för den fasta insatsmetoden.

Hur förändras riskerna om edgen är större? Jag upprepade simuleringen med en vinstsannolikhet på 54 % för varje insats till oddset 2,00 med en Kelly-insats på 8 %. Mycket få spelare skulle kunna uppnå dessa siffror på lång sikt.

Om du tror att 52 % av dina insatser till oddset 2,00 kommer att vinna, men du i själva verket bara vinner 49 % av dem, kommer du naturligtvis att förlora pengar i det långa loppet.

När väntevärdet förbättras för varje insats blir den förväntade lönsamheten betydligt bättre för Kelly jämfört med fasta insatser (genomsnittligt slutsaldo på 494 respektive 260). Tyvärr är detta fortfarande på bekostnad av en betydligt större varians.

Det genomsnittliga förväntade slutsaldot är högre eftersom det dras upp av ett litet antal mycket stora saldon. Det finns emellertid många fler mediokra och förlorande saldon jämfört med den fasta insatsmetoden, och mediansaldot för Kelly är bara 223. Sannolikheten att förlora 40 % av saldot efter 250 Kelly-insatser till oddset 2,00 med en edge på 8 % är fortfarande 14 %. Utan tvekan skulle Joe Peta hävda att ingen seriös investerare med 8 % avkastning skulle acceptera en så hög risk.

Kan man veta hur stor ens edge är?

Dessa simuleringar antar att vi känner till den precisa vinstsannolikheten och därmed exakt vilken edge vi har i förhållande till spelbolagets odds. Som Joe Peta påpekar är modellering av spel på sportodds inte samma sak som korträkning i blackjack.

Till skillnad från casinospel, som är baserade på kända matematiska algoritmer, är det omöjligt att känna till de exakta utfallssannolikheterna för ett komplext system som till exempel en fotbollsmatch. Hur Kelly-strategins framgång påverkas av att inte känna till den exakta edgen i förhållande till spelbolagsoddsen diskuterades nyligen i mitt Twitter-flöde. Jag bestämde mig för att gå till botten med det.

För att kunna hantera riskerna och avgöra hur mycket du ska satsa med Kelly behöver du bara känna till din exakta genomsnittliga edge.

Om du tror att 52 % av dina insatser till oddset 2,00 kommer att vinna, men du i själva verket bara vinner 49 % av dem, kommer du naturligtvis att förlora pengar i det långa loppet oavsett vilken insatsmetod du väljer. En viktigare fråga är huruvida osäkerheten kring den exakta edgen för vare insats ökar Kellys varians och risk.

En långsiktig spelhistorik ger dig en fingervisning om vad din genomsnittliga edge kan tänkas vara. Om du till exempel har vunnit 50 kr efter att ha satsat 1 krona 1 000 gånger kan du rimligen anta att du har en genomsnittlig edge på 5 %. Ett annat sätt att uppskatta din edge på är att jämföra de odds du satsat på med stängningsoddsen.

Om du satsat på ett utfall till oddset 2,10 och marknaden stängde på 2,00 hade du troligen en edge på 5 % (bortsett från marginalen) enligt min dataanalys. Men min analys baserades på ett stort antal fotbollsmatcher. Även om en genomsnittlig edge kan uppskattas kan vi inte bara anta att denna edge är likadan för varje insats, med tanke på hur många ovissa faktorer som påverkar matchresultat.

Jag körde ytterligare en Monte Carlo-simulering för 250 insatser till oddset 2,00. Men i stället för att sätta vinstsannolikheten till 52 % för varje insats varierades den enligt en normalfördelning av vinstsannolikheter. Medelvärdet var fortfarande 52 % men varje enskilt värde kretsade däromkring. Vissa var högre och vissa var lägre.

Jag tillämpade en standardavvikelse på 5 %. Det innebar att cirka två tredjedelar av värdena hamnade mellan 47–57 % och att 95 % av dem hamnade mellan 42–62 %. Faktum är att ungefär en tredjedel av dem hamnade under 50 % och därmed representerade negativt väntevärde. 

Resultaten var rätt överraskande. Trots att en tredjedel av insatserna hade negativt väntevärde förblev risknivån för Kelly-strategin oförändrad. I huvudsak innebär det att du inte behöver känna till det exakta väntevärdet för varenda insats så länge du har en precis uppfattning om din övergripande edge. 

Kelly 1: Exakt edge för varje insats är känd. Kelly 2: Den genomsnittliga edgen är känd, men exakt edge för varje insats är okänd. 

I ett försök att testa denna slutsats vattentäthet körde jag ytterligare en simulering där antalet insatser med negativt väntevärde ökades dramatiskt.

230 (92 %) av de 250 insatserna tilldelades en vinstsannolikhet på 49 %, som i praktiken motsvarade Pinnacles marginal för populära två- eller trevägsmarknader. De 20 återstående insatserna tilldelades en vinstsannolikhet på 86,5 % för att säkerställa att genomsnittet för de 250 insatserna förblev 52 %. Resultaten blev exakt samma.

I verkligheten är det givetvis mycket osannolikt att en spelare som inte lyckas hitta någon edge i 92 % av sina insatser på något sätt skulle lyckas hitta ett enormt positivt väntevärde i sina resterande 8 %, men simuleringen är ytterligare ett bevis på att det bara är nödvändigt att känna till sin genomsnittliga edge för att kunna avgöra hur mycket man bör satsa med Kelly och hantera riskerna.

För de flesta spelare är det svårt att hitta någon edge över huvud taget. Det kan vara alltför lätt att låta sig luras av tur och illusioner om orsakssamband som får en att tro att man är bättre än man egentligen är. Om du bara vinner 49 % av dina insatser till oddset 2,00 misslyckas en 4-procentig Kelly-strategi mycket oftare (75 % sannolikhet att stå på minus efter 250 insatser jämfört med 60 % för en fast insatsmetod).