Kelly-kriteriet är ofta ett hett debattämne bland spelare. Pinnacle har publicerat många artiklar på ämnet, från enkla förklaringar till komplexa analyser. Vad händer om vi delar upp Kelly-kriteriet i fraktioner och är det i så fall det bästa alternativet för seriösa spelare? Läs vidare för att få reda på det.
I min artikel förra månaden kikade jag återigen på Kelly-kriteriet som ett sätt att förvalta pengar. Om vi minns vad som sades där så förespråkar Kelly att man använder insatsbelopp som står i proportion till sannolikheten att vinna och den upplevda edgen du har över spelbolagens odds.
Överraskande nog fann jag att Kelly-kriteriet kunde rymma riskerna med att inte exakt veta din edge, så länge genomsnittet är precist. Men det står fortfarande klart att Joe Peta hade en poäng när han skrev: "Oavsett hur mycket du beräknar att din förväntade avkastning blir så är din varians löjligt hög vilket omöjliggör en investering" i sin analys av Kelly-kriteriet.
I denna uppföljning undersöker jag vad vi kan göra för att minska dessa risker för varians och vilken inverkan det kommer att ha på förväntad lönsamhet.
Många har påpekat att det stora problemet med Kelly är att saldots tillväxt blir oberäknelig, och att vinster ibland byts mot stora förluster. Med andra ord är saldots utveckling volatil.
Om vi påminner oss själva om hur insatsstorleken räknas fram enligt Kelly (edge – 1 / odds – 1), så kommer plötsliga och stora nedgångar inträffa när ett spel till ett lågt odds, vilket vi tror har ett betydande positivt väntevärde, förlorar.
En tidigare match i Ligue 1 ger oss ett exempel på ovanstående. Ett konkurrerande spelbolag satte oddset på att PSG skulle besegra Caen till 1,35, medan Pinnacle satte det till 1,20. Efter att ha räknat bort marginalen innebar detta en förväntad edge på 11,5 % (om vi antar att marknaden på Pinnacle är den smartaste) och en insatsprocent enligt Kelly på 32,8 %.
PSG:s match mot Caen slutade oavgjort och nästan en tredjedel av ett Kelly-saldo skulle alltså ha försvunnit på ett enda spel. Förståeligt nog kan de flesta spelare inte tolerera en sådan stor nedgång, även om det finns möjlighet att saldot växer på ett liknande sätt.
För de flesta, även för risksökare, svider förluster av den här storleken mycket mer än vad vinster av samma storlek avnjuts. I sin bok Thinking, Fast and Slow, förklarar Daniel Kahneman med ett enkelt experiment varför det är så.
A) Du har fått 10 000 kr utöver vad du redan har. Du blir nu ombedd att välja ett av två alternativ:
1) 50 % chans att vinna 10 000 kr
2) Garanterat få 5 000 kr
B) Du har fått 20 000 kr utöver vad du redan har. Du blir nu ombedd att välja ett av två alternativ:
1) 50 % chans att förlora 10 000 kr
2) Garanterat förlora 5 000 kr
I fråga om absolut innehav är utfallen för problem A och B identiska. Om du väljer det säkra alternativet i antingen A eller B så kommer du att sluta med 15 000 kr (utöver vad du redan har). Om du väljer att ta risken kommer du beroende på utfallet sluta med antingen 20 000 kr eller 10 000 kr. Vilket väljer du?
När Kahneman och hans kollega Amos Tversky experimenterade med detta val fann de att majoriteten av de svarande föredrog riskaversion (att ta det säkra framför det osäkra) när de stod inför vinsten i A, men tvärtom när de stod inför en förlust i B.
Likvärdiga påståenden av samma beslutsproblem borde ge samma val. Eftersom det inte gjorde det i det här exemplet agerade de svarande uppenbarligen inte rationellt. Förklaringen är att problem A och B har olika start- eller referenspunkter.
I A var det befintlig förmögenhet + 10 000 kr; i B var det befintlig förmögenhet + 20 000 kr. Eftersom få ägnar särskild stor uppmärksamhet åt dessa referenspunkter hävdar Kahneman att människors attityder till vinster och förluster inte kan härledas från utvärdering av absolut förmögenhetsnivå, utan snarare relativ förmögenhetsnivå. Och när det gäller nyttan av vinster och förluster ogillar vi att förlora mer än vad vi gillar att vinna.
Skulle du acceptera ett spel med jämna odds och att ditt saldo ökar med en tredjedel om spelet sitter, men krymper med en tredjedel om det missar? Om inte (som jag misstänker gäller de flesta) visar du upp förlustaversion. Hur hög skulle sannolikheten för vinst behöva vara innan du skulle överväga att ändra dig? 60 %? 70 %? 95 %? Högre?
Ur ett evolutionärt perspektiv är det föga förvånande att förluster motiverar oss mer än vinster. Som Kahneman förklarat har levande varelser som värderar hot högre än möjligheter en bättre chans att överleva och fortplanta sig.
Eftersom vi är vinnare i evolutionslinjen (vi är här trots allt), innebär det att förlustaversion är en företrädesvis egenvald anpassning enligt naturligt urval.
Via evolutionen har våra neurala kretsar blivit finjusterade för att upptäcka relativa förändringar i stimuli snarare än absoluta värden. Du kan bekräfta detta själv med tre glas vatten, ett varmt, ett kallt och ett med en temperatur däremellan.
Håll din vänstra hand i glaset med varmt vatten och din högra hand i glaset med kallt vatten, och stoppa sedan båda händerna i glaset däremellan. Trots att båda händerna upplever samma absoluta temperatur kommer din vänstra hand att kännas kallare och din högra varmare, på grund av de olika referenspunkterna som varje hand började på.
Om vår predisposition för förlustaversion gör gällande att volatilitetsriskerna i samband med hela Kelly-insatser är för höga för investering, är den uppenbara lösningen att minska storleken på Kelly-insatserna. Men exakt hur påverkas den förväntade lönsamheten av denna pengahanteringsstrategi?
Många källor påstår att spelaren avsevärt kan minska den volatila utvecklingen av saldot genom att halvera Kelly-insatserna, och samtidigt behålla det mesta av den förväntade avkastningen. Låt oss köra några simuleringar för att få reda på om det stämmer.
Efter en serie med 250 spel på oddset 2,00 där spelaren har en edge på 4 % (förväntad vinstprocent 52 %) visar det första diagrammet nedan ett exempel på en simulering.
Vi jämför fyra insatsstrategier: hel-Kelly, halv-Kelly, kvarts-Kelly och åttondels-Kelly. Vid en hel Kelly var insatserna 8 %, och vid halv-, kvarts- och åttondels-Kelly var insatserna 4 %, 2 % respektive 1 %. Föga förvånande är volatiliteten eller variansen i utvecklingen av saldot störst för hel-Kelly och minst för åttondels-Kelly.
Nästa diagram visar också att hel Kelly, när vi har mer tur än väntat, kommer att fungera mycket bättre relativt sett än dess fraktionerade motsvarigheter.
Men på samma sätt kommer hel Kelly att ge dig mycket större förluster de gånger du har otur. Det tredje diagrammet nedan visar en serie med 10 förluster i rad, vilket minskade saldot med 30 %. Med insatser enligt åttondels-Kelly var minskningen bara 3,75 %. Sådana förluster är som sagt extremt obehagliga för de flesta spelare, trots de större avkastningar som är möjliga vid användning av hel-Kelly.
Men det här är bara tre möjliga utfall när man spelar på oddset 2,00 med en edge på 4 %. Vi måste köra ytterligare en Monte Carlo-simulering för att fastställa vad vi kan förvänta oss i genomsnitt.
Jag körde ytterligare 10 000 Monte Carlo-simuleringar som jämförde de fyra Kelly-strategierna och deras sannolikhet att sluta med mindre än vad man började med. Kom ihåg att vi fann att i cirka 14 % av fallen slutade det med att mindre än 60 % av saldot återstod, vilket bekräftar Joe Petas ursprungliga kritik av strategin.
I denna nya simulering replikerades detta resultat inom slumpens gränser. Den fullständiga uppsättningen sannolikheter finns i tabellen nedan.
Även om minskningen av dina Kelly-insatser inte märkbart påverkar sannolikheten att inte gå med vinst efter 250 spel på oddset 2,00 skyddar den dig mot riktigt stora förluster på över 20 %.
Halvering av Kelly-insatser halverar också sannolikheten att förlora 20 % av ditt saldo. Att halvera insatserna ännu en gång drar ner den sannolikheten till nära noll. För förluster på 40 % är riskminskningen ännu viktigare. Men till vilken kostnad på förväntad lönsamhet?
Nästa tabell visar medel- och mediansaldon efter 250 spel för var och en av de fyra strategierna.
Den genomsnittliga förväntade vinsten för halv Kelly är visserligen betydligt lägre än för hel Kelly men den förväntade medianen har bara minskat med ungefär en fjärdedel. Kom ihåg att eftersom proportionella insatsstrategier förvränger den förväntade genomsnittliga lönsamheten vid ett fåtal riktigt stora slutsaldon är medianen ett bättre mått på vad man normalt kan förvänta sig ska hända. En median på 116 innebär till exempel att cirka 50 % av slutsaldona blir mindre än eller lika med 116 och cirka 50 % mer än 116. Minskningen av riskerna genom att halvera Kelly-insatserna (eller mer) verkar då vara ett pris som är värt att betala.
Sluttabellen visar resultaten från en andra Monte Carlo-simulering där spelaren har en edge på 8 % (54 % sannolikhet för vinst). Slutsatserna är snarlika: man kan markant minska riskerna för misslyckande genom att endast ge upp en liten andel av förväntad medianlönsamhet.
En fraktionerad Kelly-strategi tycks erbjuda spelare en lösning på volatilitetsriskerna som är förknippade med hel Kelly utan att ge upp för mycket av den edge som Kelly-strategin erbjuder jämfört med fasta insatser. Om du inte gillar risken att drabbas av stora förluster är detta förhoppningsvis goda nyheter.
Som alltid är naturligtvis den svåraste uppgiften att säkerställa att du har en edge på de publicerade oddsen. Att tro och veta att du har det är inte samma sak. Låt inte övertro lura dig i det avseendet.
Om skribenten
Pinnacles avdelning Oddsresurser är en av nätets mest omfattande artikelsamlingar med spelråd från experter. Vi tillgodoser behoven hos både nybörjare och proffs – vårt mål är helt enkelt att öka våra spelares kunskaper.