apr 14, 2022
apr 14, 2022

Varför underdogbiasen inte alls är en bias

Få reda på varför underdogbiasen inte alls är en bias

Hur tillämpar spelbolag sina marginaler?

Varför accepterar de en mindre edge på favoriter?

Varför underdogbiasen inte alls är en bias

Länge har det funnits en debatt om hur man kan ta reda på de sanna oddsen för en händelse bara genom att granska marknadsoddset. Den här artikeln förklarar varför underdogbiasen inte alls är en bias. Läs vidare för att få reda på mer.

För att göra det måste man först komma fram till vilka odds som tillförlitligt kan sägas vara en sann spegling av de verkliga oddsen. Sedan måste man avlägsna spelbolagets marginal från dem. På många marknader är Pinnacle en utmärkt resurs för att få en träffsäker bild av de faktiska oddsen. Det beror på att de lägger ner tid och pengar på att ta vara på vinnande spelares åsikter snarare än att begränsa dem.

Men det blir desto klurigare när man måste avlägsna spelbolagets marginal och därför ska vi kika närmare på hur man bäst gör det på en viss marknad. För att göra det måste vi försöka tänka som ett spelbolag och ta reda på hur de tillämpar sin marginal från första början.

Den gängse uppfattningen är att det ligger i spelbolagets intresse att tillämpa en jämn marginal på sina odds. Det betyder att om de minskar oddset på seger för ett visst lag till 91 % av vad det verkliga oddset hade varit bör de också minska oddset på seger för det andra laget med lika mycket (samma sak gäller för oavgjort och andra eventuella alternativ på marknaden). När det gäller NFL-handikapp och -totalspel tillämpar de flesta spelbolag en marginal på cirka 4,8 %. Eftersom handikapp är utformade för att jämna ut förutsättningarna mellan två lag avgörs deras odds genom att addera marginalen till 100 % och sedan multiplicera det talet med den sanna vinstsannolikheten för att få fram en justerad vinstsannolikhet:

50 % * 104,8 % = 52,4 %

Det resulterar i linan -110/-110 eftersom:

100 * [(52,4 %/(52,4 % - 100 %)] ≈ -110

Därigenom får spelbolaget samma edge eller väntevärde gentemot spelarna oavsett vilken lina eller odds spelarna väljer. Spelbolaget bryr sig därför inte om vilken sida av marknaden som de riskerar mest på eftersom de har samma teoretiska edge på de obalanserade pengarna oavsett. Eller?

Problemet med den här traditionella teorin är att den många gånger har visat sig vara felaktig. Genom att granska utfallen i verkliga sporthändelser och jämföra dem med de mest träffsäkra stängningsoddsen har flera meriterade analytiker visat att det finns en så kallad underdogbias. Med det menar de att det finns en bias i hur spelbolagen tillämpar marginalen på sina linor – de sätter en för stor marginal på underdogen och för liten på favoriten. Det väcker två frågor: hur tillämpar de marginalen och varför skulle de acceptera en mindre edge på favoriter men insistera på en större edge på underdogs?

Det finns en subtil skillnad mellan att balansera väntevärdet på en marknad och att balansera den maximala förväntade tillväxten.

Det finns lika många teorier om varför det sker som det finns teorier om vilken metod som spelbolagen använder när de sätter marginaler på det sättet. Och jag har en ny teori som försöker besvara båda frågorna på samma gång.

Min teori är att det inte ligger i ett traditionellt spelbolags (det vill säga ett spelbolag som kan utsättas för risk om fördelningen av spel på en marknad är ojämn) intresse att skapa samma edge på båda sidor av en marknad. Det ligger däremot i deras intresse att kunna strunta i vilken sida av en marknad som har högst risk, och det sker när de skapar samma maximala förväntade tillväxt på båda sidor av marknaden. Den maximala förväntade tillväxten för en lina är den förväntade tillväxten man skulle få om man spelade med fulla Kelly-andelar enligt Kelly-kriteriet.

Det finns en subtil skillnad mellan att balansera väntevärdet på en marknad och att balansera den maximala förväntade tillväxten, och det krävs mycket matematik för att få fram en formel för hur man avlägsnar marginalen om spelbolaget verkligen tillämpar den på det sättet. Vi behöver logaritmer och en hel del algebra för att besvara de frågorna med hjälp av min metod som jag kallar för teoretisk Kelly-optimering (TKO). Men om jag har rätt får vi fram en tillförlitlig metod för att avlägsna marginalen från en uppsättning linor och bättre bedöma hur stor edge vi kan ha på våra spel. Och vi får fram skälet till varför det ligger i spelbolagens intresse att göra på det sättet.

För att kunna konstatera att min teori stämmer måste vi bevisa att den förväntade kapitaltillväxten på båda sidor av en tvåvägsmarknad måste vara lika när den optimala andelen av spelbolagets kapital riskeras på respektive sidor. Den andelen avgörs förstås av Kelly-kriteriet. Den här metoden påminner om den teori som Jonathon Brycki presenterade i sin artikel ”Vem ligger bakom underdogbiasen? som han skrev för Pinnacle i mars 2019, men han verkar aldrig komma fram till ett slutgiltigt svar på vad den optimala marginalfördelningen är. Den korrekta balansen av den maximala förväntade tillväxten inträffar när följande ekvation för väntevärdena för kapitallogaritmen på båda sidor av marknaden stämmer:

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)

Förklaring:

p, q = den sanna sannolikheten för att favoriten respektive underdogen vinner.

f1, f2 = den optimala andelen riskerat kapital för favoriten respektive underdogen

b1, b2 = spelbolagets odds för favoriten respektive underdogen (det vill säga decimaloddset – 1)

Med denna ekvation kan vi få fram de sanna oddsen för båda sidor av en marknad (som en funktion av de implicita sannolikheterna för spelbolagets odds):

p1, p2 = den implicita sannolikheten för favoriten respektive underdogen

b0 = de sanna fraktionella oddsen för underdogen

1/b0 = de sanna fraktionella oddsen för favoriten

För att få fram de sanna oddsen antar vi att de kapitalandelar som spelbolaget riskerar är optimala. Då kan vi använda Kelly-kriteriets enkla formel för att ersätta andelarna med odds och sannolikheter f1, f2 enligt följande:

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)
p * log(1 + f1b1) - p * log(1 – f2) = q * log(1 + f2b2) - q * log(1 – f1)
p [log(1 + f1b1) - log(1 – f2)] = q [log(1 + f2b2) - log(1 – f1)]

Givet att:

f1* = p – q/b1   och     f2* = p – q/b2
 Vi kan ersätta f1, f2 och förenkla:
p [log(1 + pb1 - q) - log(1 – q + p/b2)] = q [log(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(1 + pb1 - q)/(1-p+q/b1)]
= q log[(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(p + pb1)/(p + p/b2)] = q log[(q + qb2)/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1))/(p + p/b2)] = q log[(q (1 + b2))/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1) * b2)/((p (1 + b2))] = q log[(q (1 + b2) * b1)/((q (1 + b1))]
p log[((1 + b1) * b2)/(1 + b2)] = q log[((1 + b2) * b1)/(1 + b1)]

I det läget kan vi konvertera till decimalodds (O1, O2) för enkelhets skull och sedan omvandla dem till implicita sannolikheter (eftersom implicita sannolikheter bara är inverterade decimalodds):

p log[O1(O2 - 1)/O2] = q log[O2(O1 - 1)/O1]
p log[p2(1/p2 - 1)/p1] = q log[p1(1/p1 - 1)/p2]
p log[(p2/p1) * ((1 - p2)/p2)] = q log[(p1/p2) * ((1 - p1)/p1)]
p log[(1 - p2)/p1] = q log[(1 - p1)/p2]
b0 = p/q = log[(1 - p1)/p2] / log[(1 - p2)/p1]
b0 = log[p2/(1 - p1)] / log[p1/(1 - p2)]

b0 = log[p2/q1]
/ log[p1/q2]

Det här gäller bara om spelbolaget riskerar rätt mängd Kelly-andelar, vilket är mycket att riskera på bara en marknad. Gäller det även när mängden Kelly-andelar är mindre på endera sida av marknaden? Tja, efter att ha matat in den här enkla formeln i Excel och utvärderat den förväntade tillväxten för mindre men jämnstora andelar av en full Kelly kom jag fram till att den förväntade tillväxten nästan är identisk för båda sidor av marknaden oavsett om spelbolaget riskerar pengar på favoriten eller underdogen. Så även när spelbolaget riskerar mycket mindre än det optimala beloppet på en enskild marknad bryr de sig inte om vilken sida av marknaden risken finns på eftersom de får samma förväntade tillväxt oavsett. Och sammantaget ger den minimala förväntade tillväxten från hundratals (eller tusentals) olika samtidiga marknader spelbolaget en optimal balans mellan edge och risk.

Okej, nu har vi en formel som vi kan basera mätbara förutsägelser på. Det är så vi kan veta om en teori troligen stämmer förutsatt att de faktiska siffrorna backar upp den. Jag är ingen sifferexpert men jag känner ett par personer som är det. En av dem är Joseph Buchdahl och han har skrivit The Wisdom of the Crowd. Där sammanställer han flera års data kring fotbollsresultat och jämför dem med olika föreslagna metoder för att hitta marginalfria odds.

En annan sådan person är Matt Buchalter (@PlusEVAnalytics på Twitter) som för några år sedan granskade olika metoder för att avlägsna marginal. Han fann att en metod baserad på ”probit-skalan” bäst matchade observerade data. Jag har ingen aning om vad en probit-skala är men generöst nog la han upp ett Excel-blad med en formel för den. Därför kunde jag jämföra hans metod med min TKO-metod vid en identisk maximal förväntad tillväxt. Jag kunde också jämföra den med de metoder för marginal i förhållande till oddsenlogaritmisk funktion och oddsförhållande som Buchdahl granskade. Jag bearbetade siffrorna för en rad implicita sannolikheter och plottade den implicita procentuella marginal som tillämpas på varje sida på en tvåvägsmarknad baserat på en sammanlagd marginal på 1,8 % (vilket är rimligt på en mycket träffsäker Pinnacle-marknad). Här är resultaten:

inarticle-graph.jpg

Den svarta linjen för en jämnstor marginal visar vad som händer när det inte finns någon underdogbias. Den avviker markant från de andra. Kurvan för den logaritmiska funktionen är också något annorlunda men påminner åtminstone en del om andra underdogbias-baserade metoder med mer marginal på underdogens implicita sannolikhet och mindre på favoritens. Jag plottade inte Buchdahls metod för proportionerlig marginal i förhållande till oddsen eftersom det bara skulle ge en horisontell linje vid en implicit marginal på 0,9 % för varje sida. Att tillämpa marginalen på det sättet resulterar nämligen i addering av en fast procentsats till den implicita sannolikheten för varje sida. För sannolikheter mellan 10 och 90 procent är skillnaden mellan det svaret och mitt svar relativt försumbar och därför ville jag inte ha en extra linje som dolde de små skillnaderna mellan de andra metoderna – skillnader som verkligen är små.

För den här sortens tvåvägsmarknad följer oddsförhållandenas och probit-skalans metoder TKO-metoden nästan perfekt. Det tyder på att allihop antingen är mycket träffsäkra eller till stor del felaktiga. Faktum är att eftersom probit-skalans metod baseras på z-resultat finns det saker i Buchdahls nya bok Monte Carlo or Bust som tyder på att den kan vara matematiskt identisk med TKO-metoden.

Buchdahls dataanalys visar att den logaritmiska funktionsmodellen stämmer mycket bättre överens med hans metod och således ger ungefär samma överlägsna resultat. Men varför ser det då så annorlunda ut i mitt diagram? Det beror på att den logaritmiska funktionen lämpar sig synnerligen väl för att modellera trevägsmarknader (som till exempel de 1X2-marknader för engelsk fotboll som Joseph analyserat) medan oddsförhållandemetoden passar mycket bättre för tvåvägsmarknader.

Eftersom TKO-metoden matchar de tre bästa uppskattningarna av marginalfördelning mycket väl enligt underdogbiasen tror jag att vi har hittat svaret på både hur och varför spelbolagen gör på det sättet. Och om du tittar på fördelen som spelbolaget har över spelaren ur ett förväntat tillväxtperspektiv (som tar hänsyn till deras varians) snarare än ur ett väntevärdebaserat perspektiv märker du att den så kallade underdogbiasen inte alls är någon bias. Den är bara en spegling av hur spelbolaget bör tillämpa sin marginal för att tjäna lika mycket pengar på spelarna oavsett vilken sida av marknaden de väljer att spela på.

Vilka är fördelarna med att spela hos Pinnacle? Värde är en förutsättning för långsiktig framgång och Pinnacle ger dig de bästa möjligheterna att hitta värde bland oddsen.

Lyssna på Serious About Betting-avsnitten av Pinnacle Podcast

Få mer kött på benen innan du spelar med Pinnacle Podcast – en unik bettingpodcast från världens vassaste spelbolag som ger dig experttips och förklarar hur betting fungerar. Du hittar den på Spotify, Apple Podcasts och SoundCloud.

Oddsresurser: Bli en bättre spelare

Pinnacles avdelning Oddsresurser är en av nätets mest omfattande artikelsamlingar med spelråd från experter. Vi tillgodoser behoven hos både nybörjare och proffs – vårt mål är helt enkelt att öka våra spelares kunskaper.