Variansens kostnad inom betting

För att hjälpa dig ta reda på det har jag lanserat begreppet “bytesmotsvarighet”. Syftet är att räkna fram förhållandet mellan väntevärdet för dina riskabla positioner och deras säkerhetsmotsvarigheter. Genom att multiplicera väntevärdet för din position med bytesmotsvarigheten får du fram säkerhetsmotsvarigheten, det vill säga hur mycket pengar du skulle vara likgiltig inför att ha istället för spelet. Förutom denna viktiga omvandling kan du också använda bytesmotsvarigheten till att räkna fram varianskostnaden.

För de flesta är varians ett mystiskt och oklart begrepp men för skickliga spelare representerar det de oundvikliga upp- och nedgångarna under en lång rad spel. Varians är inte bara ett irritationsmoment som måste genomlidas för att realisera den teoretiska avkastningen – den har en faktisk kostnad också. Hur kan det vara så? Därför att om det inte var så skulle säkerhetsmotsvarigheten för ett befintligt spel vara samma som dess aktuella väntevärde. Och jag har skrivit flera tidigare artiklar som förklarar varför de inte är identiska.

Du kan definiera din faktiska varianskostnad som skillnaden mellan ditt väntevärde och din säkerhetsmotsvarighet. Och även om det i normala fall är en minimal del av din bankrulle kan vinsten bli markant i det långa loppet. Låt oss använda ekvationer för att representera bytesmotsvarigheten. Vi kan konstatera att båda dessa är sanna:

Om vi kombinerar dem märker vi att den sanna varianskostnaden är ditt väntevärde gånger (1 – bytesmotsvarigheten):

Ponera till exempel att spelbolag XYZ har följande odds på dagens basebollmatch mellan Diamondbacks och Rockies: Diamondbacks +130/Rockies -150 (eller Diamondbacks 2,30/Rockies 1,60 i decimalodds). Utifrån Pinnacles odds uppskattar du att Rockies har exakt 60 % chans att vinna. Teoretiskt sett skulle du kunna spela på Rockies hos spelbolag XYZ och ha ett väntevärde på 0 (det vill säga att spelets väntevärde är exakt samma som värdet av pengarna du satsar). Om man placerade samma spel med neutralt väntevärde om och om igen skulle resultaten jämnas ut med tiden och då hade det varit lika bra att bara behålla pengarna från början.

Men de här siffrorna ger inte hela bilden. De säger bara vad som sker i en dimension av spelandet – värdedimensionen. Det finns en annan dimension som påverkar utfallet, nämligen risken. Oavsett väntevärde riskerar du pengar om du spelar på Rockies och för att kunna vinna tillbaka pengarna utsätter du dig för varians. Vad kostar variansen dig? Låt oss ta reda på det.

Säg att du har en bankrulle på 1 000 $ och bestämmer dig för att satsa 50 $ på Rockies eftersom väntevärdet inte är negativt. Du vinner i 60 % av fallen (med en avkastning på 83,33 $) och förlorar i 40 % av fallen (en avkastning på noll). Väntevärdet för din bankrulle efter matchen är:

Men hur ser bytesmotsvarigheten ut för din spelkupong efter att du placerat spelet? Den kan vi räkna fram så här:

Förklaring:

w = utbetalningen för ditt spel som en procentuell andel av din bankrulle

p = sannolikheten att ditt spel vinner (i det här fallet 60 %)

Din utbetalning, w, blir 83,33/950 $ = 0,088 eftersom din återstående bankrulle efter spelet är 950 $. Samtidigt som väntevärdet för din spelkupong är 50 $ är din säkerhetsmotsvarighet bara (50 $ * 98,5 %) eller 49,25 $. Nu kan vi se att kostnaden för variansen är:

Ett sluttande plan för din bankrulle

Det kanske kan verka som ett försumbart belopp, men om du hade placerat samma spel om och om igen hade du försakat lite teoretisk tillväxt varje gång och sannolikt förlorat hela bankrullen förr eller senare. Simuleringar av det här spelet 10 000 gånger visar att bankrullen tog slut i 81,6 % av fallen (nedan visas fem typiska simuleringar).

För att göra det lite enklare för dig kan du fundera över hur hög din bankrulle blir om du vinner respektive förlorar. Om du vinner växer din bankrulle till 1 033 $ och det innebär att nästa gång du satsar 50 $ motsvarar insatsen bara 4,8 %. Om du däremot förlorar hamnar din bankrulle på 950 $ och nästa gång du satsar 50 $ motsvarar det 5,3 % av bankrullen. Det innebär att du satsar en mindre del av din bankrulle efter varje vinst och en större del efter varje förlust. Det kan lätt bli till en snöbollseffekt som äter upp stora delar av din bankrulle varje gång du förlorar några gånger i rad. Det här är inget recept för att bli rik eller ens gå plus minus noll.

Eftersom man aldrig satsar 100 % av sin bankrulle kan man aldrig bli pank, eller hur? Det kan låta rimligt på pappret men fungerar det så i praktiken?

Du kanske tänker att du kan lösa problemet genom att satsa proportionerliga belopp. Om du satsar 5 % av din bankrulle varje gång istället för 50 $ satsar du mer när du vinner och mindre när du förlorar. Och eftersom du aldrig satsar 100 % av din bankrulle kan du aldrig bli pank, eller hur? Det kan låta rimligt på pappret men fungerar det så i praktiken? Börja med att fundera över vad det innebär att bli ”pank”. Visserligen kan du tekniskt sett aldrig förlora hela din bankrulle med proportionerliga insatser – men hur hade det känts om du bara hade 10 $ kvar? Det hade känts ungefär som att vara pank. Så låt oss göra en ny simulering där du satsar 5 % av bankrullen under samma villkor som tidigare men med skillnaden att du betraktas som pank om du faller under 10 $. Hur ser simuleringsresultatet ut då?

Ännu värre. Eftersom du satsar så mycket mer efter varje uppgång blir dina nedgångar mycket större även om du har tur i början (vilket förmodligen krävs för att inte bli pank efter 10 000 spel). Då följer dina resultatet i regel diagrammet nedan (där Y-axeln visas på en logaritmisk skala för tydlighets skull) och du blir pank i över 88 % av fallen:

Det är inte särskilt förvånande. Med en så stor insatsprocent utan någon edge blir din förväntade tillväxt per spel -0,083 %. Det kanske inte låter som så mycket men efter 5 600 spel väntas din bankrulle på 1 000 $ ha reducerats till mindre än 10 $ i snitt. Om du gör en beräkning av din förväntade avkastning för samma odds men med en edge på 3,3 % märker du att din fullständiga Kelly-andel är 5 % när du spelar på Rockies och att din förväntade tillväxt är +0,083 %. Det är den omvända motsvarigheten till den negativa förväntade tillväxt som du får med mitt exempel. Det innebär att du borde vara precis lika missnöjd med ett neutralt väntevärde som du borde bli nöjd med en edge på 3,3 %.

Det här innebär inte att spel med neutrala väntevärden är helt katastrofala eller lika illa som slumpmässiga spel på en marknad med marginaler på 4 % eller mer. Men om du inte har en obegränsad bankrulle bör du inte lita på att dina resultat jämnar ut sig tills de motsvarar ditt matematiska väntevärde. Ditt fokus bör ligga på att bara riskera så mycket som är befogat med hänsyn till den teoretiska avkastningen.

Om du däremot hade en bankrulle på hundra miljarder dollar vore bytesmotsvarigheten för din spelkupong i praktiken 100 % och därför skulle det inte finnas någon ekonomisk kostnad för ditt risktagande. Då skulle dina ekvationer för bytesmotsvarighet och varianskostnad se ut så här:

Slutsats

Så snart du insett att variansen har en verklig kostnad kan du lättare förstå varför du inte bara bör fokusera på att hitta spel med positiva väntevärden och ignorera spel med negativa eller neutrala väntevärden. Risken som variansen medför kostar pengar precis som den avgift eller kommission du betalar när du handlar med aktier. Därför gynnas du av att reducera risken. Ibland innebär det att satsa mindre pengar till att börja med. Men även om du satsar korrekt (med optimala insatsbelopp eller lägre) finns det många situationer där väntevärdet ändras och betydligt överstiger säkerhetsmotsvarigheten.

I de lägena kan du risksäkra genom att spela på den andra delen av marknaden hos ett spelbolag med låga marginaler (som till exempel Pinnacle) eller byta bort delar av eller hela din position på en spelbörs. Det blir som en slags försäkring. Och om kostnaden för den försäkringen är mindre än din varians lönar det sig.

Pinnacle har de bästa oddsen online på alla stora sporthändelser.

Den här artikeln har skrivits av Dan Abrams.