Моделирование динамического преимущества в теннисном матче: часть вторая

Понимание сильных и слабых сторон модели

В первой части этой статьи я разъяснял нюансы подхода к моделированию динамического преимущества между сетами теннисного матча с использованием процента результативных подач. Благодаря проведенному анализу мне удалось продемонстрировать, что обновление показателя процента результативных подач исключительно в конце каждого сета в недостаточной мере отображает динамику игры. По этой причине предлагаемая модель оказалась достаточно ограниченной, так как с ее помощью было невозможно рассчитать коэффициенты для тоталов и гандикапов.

Во второй части я рассмотрю обновленную версию модели, которая призвана более точно отражать динамическое преимущество для теннисного матча как в течение сетов, так и между ними.

Согласно первой части моего исследования, если игрок выигрывает в первом сете, то с большой вероятностью он одержит победу и во втором сете. Первый шаг в создании более динамичной модели – это понимание того, как разница в победных очках по итогам первого сета коррелирует с победителем (и разницей в победных очках) второго сета.

Измерение динамического преимущества в промежутке между первым и вторым сетами

График ниже показывает соотношение между разницей в победных очках для первого сета (выраженной в геймах первого сета) и вероятностью победы во втором сете. Рассмотрим пример матча: если предполагаемая вероятность победы фаворита составляет 71–80 % и в первом сете он побеждает с разницей в пять или шесть геймов (6–1 или 6–0), то с вероятностью 83 % он победит и во втором сете. 

Похоже, что существует определенная взаимосвязь между разницей в победных очках для первого сета и результатами второго сета. Эта взаимосвязь не сохраняется для игр с аутсайдерами, предполагаемые шансы на победу которых ниже 20 %, но такие матчи встречаются гораздо реже. Мы можем еще немного углубиться в рассмотрение полученных результатов и сравнить разницу в победных очках для первого сета с аналогичным показателем для второго сета.

Мы снова становимся свидетелями действия эффекта динамического преимущества. Чем больше разница в победных очках для первого сета, тем большей она в среднем будет во втором сете. На основании этих результатов я обновил показатель необходимых для второго сета изменений процента подач – идентично тому, что я продемонстрировал в первой части этой статьи.

Теперь мы знаем о том, что большую часть обновлений для процента подач необходимо внести после первого сета (как только мы узнаем разницу в победных очках), однако нам стоит обновлять эти результаты с еще большей частотой – после каждого гейма или, что еще лучше, после каждого разыгранного очка. На следующем шаге нам необходимо определить, какие инкрементальные обновления следует вносить прямо во время сета.

Для обнаружения взаимосвязи (и величины необходимого масштабирования) между процентами результативных подач и результатами сетов я выполнил моделирование 30 000 матчей и рассчитал разность между процентами результативных подач для различных результатов.

Я предлагаю изменять процент результативных подач игрока после каждого гейма – так мы сможем выяснять динамическое преимущество сет за сетом. В этих целях мои расчеты по внесению обновлений будут опираться как на набранные очки игроков (в которых учитывается количество переходов подачи от игрока к игроку), так и на наблюдаемые процентные значения количества результативных подач игроков.

Прогнозируемые значения этих переменных в некоторых случаях будут пересекаться друг с другом. Но в других случаях одна из величин может нести в себе те полезные сведения, которые будут отсутствовать во второй из них. К примеру, в матче с равными коэффициентами на победу проценты результативных подач игроков могут быть равны даже при результатах 3–3 и 4–2, но при этом игрок, ведущий со счетом 4–2, с гораздо большей вероятностью победит в сете (исходя из вышеуказанного – и в следующем сете тоже). Подобным образом и при счете 3–3 может обнаружиться разница между процентами результативных подач, хотя каждый игрок и наберет одинаковое количество очков.

Для определения объема обновлений процента результативных подач, который следует вносить в модель после каждого гейма, я буду использовать вероятность победы каждого игрока в сете, оцененную на основании 30 000 симуляций. На графике ниже приведены данные для матча с равными коэффициентами. Например, если после шести геймов произойдет одна смена подающей стороны (счет 4–2), ведущий в сете игрок добьется в нем победы с вероятностью 88 %. По состоянию на этот момент матча моя модель считает, что процент результативных подач для этого игрока должен быть скорректирован до 88 %.

Вносимые корректировки также масштабируются на основании относительной силы подачи после каждого гейма. Относительная сила подачи представляет собой разность между наблюдаемыми процентами результативных подач игрока 1 и игрока 2. 

Для обнаружения взаимосвязи (и величины необходимого масштабирования) между процентами результативных подач и результатами сетов я выполнил моделирование 30 000 матчей и рассчитал разность между процентами результативных подач для различных результатов. Например, в случае победной для сета разницы в два гейма (счет 6–4 или 7–5) средняя разница в проценте результативных подач составляла +9 % в пользу победителя. 

Используя приведенные выше расчеты для распределения обновлений процента подач динамически после каждого гейма в матче, мы можем провести симуляцию игр с помощью нашей модели и сравнить результаты с реальными итогами матчей ассоциации ATP. Для составления приведенного ниже графика использовалось 30 000 выполненных с помощью модели симуляций, результаты сравнивались с итогами проводимых с 2010 г. матчей ассоциации ATP, в которых предполагаемая вероятность победы теннисиста, ставшего впоследствии победителем, попадала в диапазон 40–60 %. 

Похоже, что новая версия модели демонстрирует более точные результаты в сравнении с начальной версией, с помощью которой мы получили показатели, продемонстрированные в начале статьи. Тем не менее прогнозы тоталов для игр отличаются от реальных значений на величину до 18 геймов. Мы можем сделать вывод о том, что в случае рассмотрения матчей с большим преимуществом одного из игроков эта модель все еще нуждается в более частых обновлениях.

По причине того, что счет в теннисных матчах опирается на победы в сетах, после одного или двух пропущенных в сете мячей игрок может потерять интерес к игре в этом сете и (или) начать экономить физические и моральные силы для следующего сета. Для того чтобы учесть эту особенность (как и краткосрочные изменения в динамическом преимуществе в целом), нам понадобится (по моим предположениям) дополнить модель данными по изменению динамического преимущества «в рамках сета», а не только обновлять его в период «между сетами».

Не имея в наличии данных о каждом отдельном гейме, я решил попытаться воспроизвести влияние этого фактора с помощью симуляций. Благодаря этому я узнал, что такая модель должна стремительно корректироваться на основе результативности игры «в рамках сета».

Необходимый объем обновлений процента результативных подач оказался почти в два раза большим, чем аналогичный показатель для периодов «между сетами». После проведения 30 000 симуляций мы можем заметить, что добавление фактора динамического преимущества в период «в рамках сета» увеличивает точность модели.

Процент результативных подач и размещение ставок на тоталы матча

Теперь мы можем использовать эту модель для попытки оценить тоталы матча. Сперва давайте рассмотрим, как рынок тоталов для геймов будет изменяться при вариации процентов результативных подач на рынке с равными коэффициентами. Приведенная ниже таблица показывает результаты моделирования 10 000 матчей для каждого процента результативных подач и рынка без маржи.

После того как процент результативных подач игрока вырос со стартовых 50 % до 72 %, коэффициенты линии ставок на тотал для геймов увеличились с 19,5 до 25,5. 

Если процентное значение результативных подач превышает 72 %, то как минимум 26 геймов (два дополнительных решающих сета) заканчиваются победой фаворита. Дополним эти данные контекстом: Федерер и Изнер – теннисисты, входящие в список 50 лучших игроков по проценту результативных подач в рамках игр ассоциации ATP – получают практически 72 % своих очков при выполнении подач.

В играх ATP можно найти всего лишь несколько пар игроков, для которых коэффициенты тотала на результат матча могли бы составлять величину 25,5. В таком матче должны были бы участвовать два игрока примерно одинаковой силы, оба из которых отлично подают мяч, но плохо принимают чужие подачи. Но что произойдет с рынками, если распределение коэффициентов окажется неравномерным и их значение для фаворита составит 1,50?

Процент результативных подач и размещение ставок на гандикап

Теперь давайте рассмотрим гандикапы на матч. Изменяя проценты результативных подач фаворита и аутсайдера и опираясь на усредненный процент результативных подач в играх ATP (64 %), мы можем рассмотреть корреляцию коэффициентов на победу в матче с линией ставок на гандикап. 

После сравнения этих результатов с данными рынка ставок на теннис Pinnacle можно сделать вывод о достаточно высокой точности модели в этом аспекте. Для расчета коэффициентов отдельно взятых матчей в качестве последнего этапа мы должны попытаться спрогнозировать процент результативных подач игроков и скорректировать его на основании индивидуальных особенностей каждого игрока. Возможно, для этого придется скорректировать факторы влияния на динамическое преимущество таким образом, чтобы инкорпорировать в них характерные для теннисиста шаблоны поведения. Некоторые примеры этого аспекта я рассматривал в одной из предыдущих статей.

В результате включения двух влияющих на динамическое преимущество переменных моя модель для теннисных матчей ассоциации ATP превратилась в хорошо откалиброванный инструмент, с помощью которого теперь можно рассчитывать на основе процентов результативных подач коэффициенты для рынков ставок на победы в гейме, победы в сете, победы в матче, на тотал очков и на гандикап.

Для учета изменений в счете и (или) особенностей поведения игроков может понадобиться дополнить модель еще одним шагом расчетов. Например, снизится ли вероятность выполнения игроком результативной подачи в том случае, когда ему нужно будет продлить игру в сете при давящем на него счете *4–5 или *5–6? С некоторыми дополнениями эта модель может использоваться для расчета коэффициентов прямо во время игры.