В мире спорта многие верят в существование динамического преимущества (или явления «горячей руки»), хотя проведенные исследования опровергают эту точку зрения. Должны ли делающие ставки игроки отказаться от концепции игровой формы? В этой статье речь пойдет о том, что отказ, возможно, станет ошибкой.
В 1985 г., в том же году, когда Майкл Джордан получил награду «Новичок года НБА», в издании «Журнал когнитивной психологии» (Journal of Cognitive Psychology) была опубликована работа, авторы которой попытались развенчать общепринятое представление о том, что в карьере баскетболистов бывают периоды, когда они демонстрируют более высокую эффективность бросков, чем можно было бы ожидать, если бы их результативность зависела только от фактора случайности.
В частности, авторы статьи (Гилович, Валлон и Тверски – «ГВТ») пришли к выводу, что широко распространенная вера в то, что в карьере баскетболистов бывают периоды доминирования динамического преимущества во время выполнения бросков, является когнитивной иллюзией. Это явление стали называть ошибкой «горячей руки», и оно имеет много схожего с феноменом более общего порядка, известного как ошибка игрока. Причиной возникновения этого когнитивного искажения, как объясняется, является стремление человека к выявлению закономерностей и поиску логических доказательств случайным событиям.
Вера в существование удачных и неудачных периодов (или явление «горячей руки») не ограничивается баскетболом. Такие общеупотребительные выражения, как «быть в форме», «быть в ударе» и «быть в своей стихии», можно часто встретить в комментариях и анализах, посвященных многим видам спорта.
Это идет вразрез с выводами ГВТ и результатами многочисленных последующих работ, в которых исследовался феномен ошибки «горячей руки». И по сей день подобные выражения, подразумевающие наличие некоего динамического преимущества или отклонения от случайного распределения, можно часто услышать от комментаторов спортивных событий.
Почему же тогда спортивные болельщики и комментаторы уже более 30 лет продолжают верить в существование динамического преимущества? Результаты новых исследований показывают, что интуитивное предположение о наличии динамического преимущества, скорее всего, является правильным.
В работе под названием «Ошибки игрока и "горячей руки" вызывают удивление? Правда о законе малых чисел» (Surprised by the Gambler's and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers) Миллер и Санхурхо пишут о том, что баскетболисты, о которых шла речь в исследовании ГВТ, действительно в течение определенного периода времени показывали стабильно хорошие результаты, что является проявлением феномена «горячей руки». Погрешность выборки – именно по этой простой, но важной причине результаты исследования ГВТ 1985 г. оказались ошибочными. Приведем пример, чтобы подробнее разобраться в этом.
Представим себе ситуацию, в которой симметричную монету подбрасывают пять раз. Вы должны наблюдать и записывать результат каждого подбрасывания сразу после двух последовательных выпадений монеты «орлом» вверх. Каким будет ожидаемое процентное количество зафиксированных выпадений монеты «орлом» вверх? 50 %? Менее или более 50 %?
Можно предположить, как это сделали ГВТ, что поскольку монета симметрична, вероятность должна составить 50 %, однако в действительности она меньше. При пятикратном подбрасывании симметричной монеты существует 32 возможных и одинаково вероятных последовательных исхода. Они приведены в колонке 2 ниже.
В 16 из 32 возможных последовательностей перед подбрасыванием монеты в пятый раз возможно выпадение как минимум двух «орлов» подряд, для чего наблюдателю потребуется зафиксировать полученный результат. В восьми случаях процентное количество «орлов» составит 0 %, в одном случае – 67 %, а в четырех – 100 %. Учитывая, что каждая из этих 16 последовательностей одинаково вероятна, ожидаемая вероятность выпадения «орла» после того, как до этого монета выпадала «орлом» верх два раза подряд, составляет 38,5 %.
Этот результат кажется парадоксальным и является причиной ошибок в исследованиях явления «горячей руки», проведенных в работе ГВТ и других последующих публикациях. Для визуального представления этой погрешности рассмотрим простой сценарий, в котором наша цель – узнать, какова вероятность выпадения монеты «орлом» после того, как она уже один раз выпадала этой стороной. На приведенном ниже графике представлены величины математического ожидания для 500 подбрасываний симметричной монеты, полученные в ходе реализации 5000 имитационных моделей.
Количественная оценка погрешности выборки
Количественная оценка погрешности может быть представлена в виде расстояния по вертикали между оранжевой линией и истинным безусловным математическим ожиданием, равным 50 %. Если подбросить монету всего 10 раз, вероятность ее выпадения «орлом» два раза подряд составит 44,5 %. Таким образом, величина погрешности будет равна 5,5 процентных пункта.
В мире спорта вы вряд ли услышите о явлении «горячей руки» в адрес игрока, выполнившего всего один бросок или получившего одно очко. На приведенном ниже графике представлены погрешности для вероятностей успеха после нескольких (k – количество раз) следующих друг за другом положительных результатов с учетом истинной вероятности, равной 50 %. В этот раз также было реализовано 5000 имитационных моделей.
Можно заметить, что погрешность увеличивается по мере увеличения серии следующих друг за другом успехов и уменьшается с возрастанием количества попыток. В рамках своего исследования ГВТ провели контролируемый эксперимент, связанный с выполнением бросков в баскетболе, в котором 25 игроков университетской команды выполняют по 100 бросков каждый, а процентный показатель результативности бросков фиксируется после определенного числа попаданий и промахов (k = 1, 2, 3).
Место выполнения броска для каждого игрока определялось на основании вероятности успеха, равной 50 %. Процентные показатели эффективности бросков после серии успешных попаданий сравнивались ГВТ непосредственно с показателями результативности после аналогичной серии промахов. Их гипотеза заключалась в том, что вероятность успешного броска после нескольких (k) попаданий равна вероятности выполнения результативного броска после нескольких промахов (k).
Однако, как мы выяснили выше, не следует ожидать, что эти процентные значения будут одинаковыми. Предположив, что истинная вероятность попадания в цель каждого из 100 бросков составляет 50 %, вероятность попадания мяча в кольцо после серии из трех успешных бросков будет равна приблизительно 46 %. И напротив, вероятность попадания мяча в кольцо после серии из трех промахов будет равна приблизительно 54 %.
Величина погрешности такова, что после выполнения корректировки с ее учетом выводы ГВТ относительно отсутствия влияния «горячей руки» на результативность бросков могут быть повернуты вспять. Подавляющее большинство игроков действительно оказались подвержены влиянию феномена «горячей руки». Если говорить применительно к спорту, то вероятность любого «успеха» вряд ли будет постоянно удерживаться на уровне 50 %. Например, в НБА процент выполнения штрафных бросков в среднем составляет около 75 %. С целью понимания тенденций изменения погрешности в зависимости от вероятности успеха на приведенном ниже графике представлены результаты оценки погрешности для вероятности успеха 75 % (на основании результатов 5000 имитационных моделей).
Сравнив данные двух графиков, можно увидеть, что величина погрешности уменьшается по мере увеличения вероятности успеха. Например, если количество попыток равно 100, то значения вероятности успеха после фиксации пяти успешных результатов при значениях безусловной вероятности 50 и 75 % составят 38 и 72 % соответственно. Это соответствует значениям погрешности 12 % (50 – 38 %) и 3 % (75 – 72 %) соответственно.
Явление «горячей руки» в конкурсах трехочковых бросков в матче всех звезд НБА
Теперь давайте узнаем, были ли подвержены участники конкурса трехочковых бросков последних четырех матчей всех звезд НБА (2015–2018 гг.) влиянию феномена «горячей руки». Результаты этого конкурса хорошо поддаются анализу, направленному на выявление признаков феномена «горячей руки», по причине схожести условий и позиций выполнения бросков, а также отсутствия давления со стороны защиты. Форматом предусмотрено, что в течение раунда игроки могут выполнить 25 трехочковых бросков с пяти установленных позиций вокруг дуги.
За четыре года в конкурсе приняли участие 46 игроков, выполнивших в общей сложности 1150 бросков, 54 % которых были успешными. В приведенной ниже таблице представлены условные процентные показатели эффективности бросков каждого игрока после одного попадания, одного промаха, двух попаданий и двух промахов.
Статистика конкурса трехочковых бросков НБА
Процентные показатели эффективности бросков оказались выше средних значений после одного или двух попаданий и ниже средних величин после одного или двух промахов.
В столбце 11 представлена рассчитанная разница процентных показателей эффективности бросков после одного попадания или промаха (процентный показатель эффективности бросков после одного попадания минус процентный показатель эффективности бросков после одного промаха). В исследовании ГВТ эта разница использовалась для тестирования их гипотезы о влиянии феномена «горячей руки».
Воспользовавшись абсолютными числовыми значениями, как это делали ГВТ, мы можем увидеть, что в четырех конкурсах результаты 24 игроков были положительными, а 21 – отрицательными, и после попаданий показатели игроков улучшались в среднем на 10 процентных пунктов. Однако теперь мы знаем о существовании погрешности выборки и должны учитывать ее.
Если мы элементарно предположим, что для каждого игрока математическое ожидание попадания мяча в кольцо равно 54 % (в среднем), то вероятность попадания в цель после успешного броска составит около 52 %. И напротив, вероятность забрасывания мяча в кольцо после промаха равна приблизительно 56 %. Таким образом, к значениям в столбце 11 следует добавить 4 % для корректировки с учетом погрешности выборки.
После применения корректировки статистические данные можно интерпретировать следующим образом: положительный процентный показатель означает, что эффективность бросков игрока возрастает после попадания мяча в корзину, а не после промаха. После применения корректировки результаты 32 игроков оказались положительными, а 14 – отрицательными. В среднем процентный показатель эффективности бросков баскетболистов увеличивался на 14 процентных пунктов после попадания в кольцо. Это является убедительным доказательством существования явления «горячей руки».
Если мы применим соответствующие корректировки к значениям в столбце 12 (процентный показатель эффективности бросков после двух попаданий минус процентный показатель эффективности бросков после двух промахов), то увидим, что влиянию феномена «горячей руки» оказались подвержены 30 игроков (положительные результаты). Без учета погрешности их количество составило бы 19. Средняя величина прироста процентного показателя эффективности бросков после двух попаданий составляет 29 %, что еще раз свидетельствует о влиянии феномена «горячей руки» на результаты последних конкурсов трехочковых бросков НБА.
Интуиция или анализ
Хотя вера в существование ошибки «горячей руки» уже более 30 лет выдерживает испытание временем, как и уверенность спортивных болельщиков и комментаторов, что она действительно является ошибкой, явление динамического преимущества существует на самом деле. Такие слова и выражения, как «изменчивость», «на одной волне» и «в ударе», никогда не исчезали из лексикона тех, кто имеет отношение к спорту, и это является подтверждением тому, что для объяснения причин тех или иных спортивных результатов интуиция и инстинкты могут быть столь же важны, как и статистический анализ, особенно если учитывать тот факт, что влиянию когнитивных искажений подвержены оба механизма мыслительной деятельности.
Хотя факт существования динамического преимущества получил академическое подтверждение только недавно, букмекеры знали о нем уже в течение длительного времени. В зависимости от вида спорта, команды и игроков элемент динамического преимущества, как правило, всегда будет учитываться в моделях формирования коэффициентов во время игры.
Моя предыдущая статья была посвящена влиянию динамического преимущества в сетах профессиональных теннисных матчей. Если делающие ставки игроки могут с большей точностью определять, какая команда или игрок, вероятно, выступит лучше или хуже ожиданий, отраженных в коэффициентах, они смогут получать прибыль независимо от того, основаны ли их прогнозы на результатах статистических анализов или инстинктивных чувствах.