Для того чтобы выигрывать при размещении ставок на спорт, вам необходимо разработать стратегию размещения ставок с положительным математическим ожиданием, т. е. верно оценить среднюю сумму выигрыша за ставку. Однако какой суммой стоит рисковать для достижения максимальной прибыльности при каждой ставке? Осознание концепции «полезности» поможет вам найти ответ на этот вопрос. Прочтите эту статью для получения дополнительной информации.
Математическое ожидание – концепция, впервые разработанная французскими математиками Паскалем и Ферма в 17-м веке при попытке разрешить «задачу об очках» – показывает нам, какую среднюю сумму выигрыша мы можем ожидать от ставки. Впрочем, это значение не лучшим образом объясняет игроку, какой суммой ему стоит рисковать. В этом случае нам куда больше пригодится концепция полезности.
Математическое ожидание и ожидаемая полезность
Математическое ожидание (EV) в контексте размещения ставок может быть рассчитано путем умножения вероятности выигрыша (p) на сумму возможного выигрыша для одной ставки; из полученного результата следует вычесть вероятность проигрыша, умноженную на сумму возможного проигрыша для одной ставки. Так как вероятность проигрыша равна единице (или 100 %), из которой необходимо вычесть вероятность выигрыша, мы можем сократить формулу следующим образом:
Символ «o» представляет собой предложенные букмекером десятичные коэффициенты в европейском формате. Математическое ожидание является одним из наиболее важных чисел для любого игрока на ставках, ведь именно оно информирует их о том, проигрыш или выигрыш ожидает игроков в долгосрочной перспективе.
После нахождения математического ожидания игроку следует решить, какой суммой своего капитала он готов рискнуть при размещении ставки. Даниил Бернулли, выдающийся математик 18-го века, понимал, что только безрассудные игроки принимают решения о сумме риска, основываясь на математическом ожидании цели и не учитывая при этом субъективные последствия от размещаемой ставки, другими словами – оставляя за кадром целесообразность выигрыша (или проигрыша). Подобную субъективную целесообразность и можно назвать полезностью.
Полезность в условиях неопределенности
Предположим, что нам предлагают два сундука. В первом содержится 10 000 €. Второй сундук либо содержит 20 000 €, либо абсолютно пуст: мы не знаем наверняка о его содержимом, но оба варианта являются равновероятными. Вам предлагается выбрать один из сундуков. Какой из них вы бы выбрали?
«Подход Келли технически позволяет выигрывающим игрокам максимизировать размер своего банкролла в долгосрочной перспективе»
Перед нами классическая задача о полезности. С точки зрения математики, обоим сундукам соответствует одинаковое математическое ожидание, равное выигрышу в 10 000 €. Если у вас была бы возможность участвовать в этой игре на регулярной основе, было бы абсолютно неважно, какой из сундуков вы выберете. Однако мы предлагаем подумать о том случае, когда вы можете сыграть только один раз. Здесь не удастся применить закон больших чисел.
Если вы выберете первый сундук, то наверняка сможете получить 10 000 €. Если вы выберете второй сундук, то все будет зависеть от вашей удачливости: в случае везения вы станете на 20 000 богаче, а если Фортуна окажется не на вашей стороне, вы не получите ничего. Вполне очевидно, что когда речь заходит о суммах такого калибра, большинство людей с уверенностью выбирает первый сундук.
Если рассматривать ситуацию с точки зрения полезности, то гарантированное получение 10 000 € оказывается куда выгоднее, чем риск не получить ничего. Люди, которые склонны находить большую полезность в гарантированном выигрыше при выборе из ставок с одинаковым математическим ожиданием, демонстрируют неприятие рисков.
Как же рассчитать оптимальную сумму ставки?
Даниил Бернулли считал, что стандартное рациональное поведение людей, принимающих решение в условиях неопределенности, должно опираться на неприятие рисков. Свою гипотезу он сформулировал следующим образом: «полезность любого незначительного увеличения состояния будет обратно пропорциональна количеству ранее имеющихся средств». Другими словами, чем более богат игрок, тем меньшую полезность для него будет представлять получение большей суммы. Подобная функция полезности является логарифмической, и куда шире она известна как «предельная полезность богатств».
«Пусть использование критерия Келли и может привести к значительной волатильности прибыли, однако такая тактика позволяет игрокам максимизировать свой банкролл в долгосрочной перспективе».
Одним из более практически применимых вариантов теории Даниила Бернулли является алгоритм планирования и управления денежными суммами, известный многим игрокам под названием критерий Келли. Данный алгоритм был придуман Джоном Келли в то время, когда в 1956 г. он работал в AT&T's Bell Labs над решением проблемы зашумленности телефонных разговоров на долгих дистанциях. Алгоритм достаточно быстро был адаптирован игроками и инвесторами в качестве средства оптимизации управления деньгами и метода увеличения дохода.
Мотивация Келли полностью отличалась от мотивации Бернулли, однако его критерий являлся математическим эквивалентом логарифмической функции полезности. На практике игроку предлагается рискнуть определенным процентом от своего общего состояния, который прямо пропорционален математическому ожиданию (EV) и обратно пропорционален вероятности успеха.
Вспомним, что EV = po – 1 (где p – это «истинная вероятность успеха», а «o» – десятичные коэффициенты для ставки), и рассчитаем процентную величину ставки по Келли (K) следующим образом:
В сущности, критерий Келли максимизирует ожидаемую логарифмическую полезность. Одним из отрицательных аспектов критерия Келли является значительная волатильность прибыли – это свойство критерия может оказать полезным далеко не для каждого. Кроме того, использование критерия Келли требует точной оценки «истинных» вероятностей исходов.
Тем не менее подход Келли технически позволяет выигрывающим игрокам максимизировать размер своего банкролла в долгосрочной перспективе. Конечно же, для достижения этой цели игроку необходимо, чтобы букмекер не относился с подозрением к особым стратегиям управления средствами (вроде критерия Келли) и, что еще более важно, не ограничивал возможности по размещению ставок в случае побед. Ни один из букмекеров не сравнится с Pinnacle в своей толерантности к игрокам.