Закон больших чисел был сформулирован в XVII веке Якобом Бернулли. Он гласит, что чем больше выборка исходов события (например, броска монеты), тем правдоподобнее она представляет истинную вероятность. Спустя 400 лет игроков по-прежнему сбивает с толку эта идея. Именно поэтому она получила название «ошибки игрока». Узнайте, почему эта ошибка может дорого вам обойтись.
Закон больших чисел
Используя в качестве примера бросок симметричной монеты (при котором орел и решка выпадают с вероятностью 50 %), Бернулли рассчитал, что по мере повторения бросков процентные доли случаев, когда выпадали орел и решка, приближались к 50 %, в то время как разность между фактическими количествами этих исходов увеличивалась.
«По мере повторения бросков распределение исходов с орлом и решкой стремится к 50 %»
Но многим людям непонятна вторая часть теоремы Бернулли, из-за чего этот феномен прозвали «ошибкой игрока». Если за девять бросков монеты каждый раз выпадала решка, многие предсказывают, что в следующий раз выпадет орел.
Однако это неправильно, ведь у монеты нет памяти, поэтому вероятность обоих исходов остается неизменной: 0,5 (или 50 %).
Открытие Бернулли показало, что в действительно большой выборке бросков симметричной монеты (например, после миллиона повторений), распределение исходов с орлом и решкой стабилизируется на уровне около 50 %. Однако из-за большой величины выборки ожидаемое отклонение от равного распределения (50 на 50) может достигать 500 повторений.
Получить представление о том, чего можно ожидать, нам поможет уравнение для расчета статистического стандартного отклонения:
0,5 × √ (1 000 000) = 500
Хотя при таком большом количестве повторений ожидаемое отклонение весьма заметно, в приведенном выше примере с девятью бросками выборка недостаточно крупная, чтобы это правило применялось.
Следовательно, девять бросков можно рассматривать как фрагмент последовательности из миллиона повторений. Размер выборки слишком мал, чтобы количество исходов уравнялось, как в эксперименте Бернулли, и полученная последовательность может быть совершенно произвольной.
Применение распределения в ставках
Ожидаемое отклонение находит практическое применение в ставках. Наиболее очевидный вариант — применение в казино, например при игре в рулетку, где заблуждение о том, что количество красных и черных либо четных и нечетных чисел уравняется в течение одной игры, может оставить вас без гроша в кармане. Именно поэтому ошибку игрока также называют ошибкой Монте-Карло.
В 1913 году за рулеточным столом в казино Монте-Карло шарик попал на черное 26 раз подряд. После того как это произошло в 15-й раз, игроки ринулись ставить на красное, предполагая, что шансы очередного попадания на черное становятся бесконечно малы. Это иллюстрирует заблуждение о том, что одно вращение рулетки неким образом влияет на следующее.
«В 1913 году за рулеточным столом в казино Монте-Карло шарик попал на черное 26 раз подряд. Именно поэтому ошибку игрока также называют ошибкой Монте-Карло»
Еще один пример — игровой автомат, который, по сути, представляет собой генератор случайных чисел с фиксированным процентом выплат игрокам (RTP). Часто можно увидеть, как игроки, которые уже потратили значительные суммы, не подпускают других игроков к своему автомату, поскольку уверены, что за чередой неудач непременно последует крупный выигрыш.
Конечно, чтобы эта тактика была эффективной, игроку пришлось бы сыграть практически невозможное количество раз, при котором будет иметь значение RTP.
Формулируя свой закон, Якоб Бернулли заявил, что даже дураку понятно, что чем больше выборка, тем правдоподобнее она представляет истинную вероятность наблюдаемого события. Возможно, он был грубоват в своей оценке, но как только вы поймете закон больших чисел, а закон средних чисел (заслуженно) отправится на свалку, вы не будете одним из этих «дураков».
Если вам понравилась эта статья, вас могут заинтересовать статьи Pinnacle о психологии ставок.