nov 1, 2018
nov 1, 2018

Sorte e azar: a ténue linha da expectativa

O clássico exemplo de atirar a moeda ao ar

O desvio padrão binomial

A lei dos grandes números está a seu favor ou contra si?

Sorte e azar: a ténue linha da expectativa

As apostas são frequentemente influenciadas pela sorte. À vezes, podemos ser bafejados pela sorte e, outras vezes, podemos ser vítimas do azar. É importante compreender o papel que a sorte pode desempenhar nas apostas, mas até que ponto é ténue a linha entre a sorte e o azar? Continue a ler para saber a resposta.

As apostas desportivas têm quase tudo a ver com o acaso. Quem ganha, fá-lo quase inteiramente devido à sorte; a margem da casa de apostas e a lei dos grandes números derrotará quase todos no final. Quem está bem familiarizado com os meus artigos ao longo dos anos saberá que eu conto uma história bastante rigorosa no que diz respeito à possibilidade de os apostadores conseguirem ter lucro a longo prazo. Não espero necessariamente que concorde com isso, uma vez que assinala a batalha que todos os apostadores defrontam entre esperança e realismo.

Para contrariar esta narrativa, muitos dos artigos dos Recursos de apostas da Pinnacle são concebidos para educar os apostadores no sentido de se tornarem mais competentes em termos de previsão. No entanto, mesmo para aqueles poucos que conseguem, de facto, encontrar uma expectativa de lucro a longo prazo, as regras da possibilidade continuarão a aplicar-se. Neste artigo, vou analisar com mais atenção de que forma é que isso acontece. Em particular, irei ilustrar como é ténue a linha entre a sorte e o azar.

O clássico exemplo de atirar a moeda ao ar

Todos sabemos que atirar uma moeda ao ar é uma proposição de 50-50: caras ou coroa. Também sabemos que, se atirarmos a moeda ao ar 20 vezes, não conseguiremos sempre 10 caras e 10 coroas, embora esse seja o resultado mais provável. Às vezes, obteremos 12 caras e 8 coroas e, às vezes, o contrário. Muito ocasionalmente, poderemos ver 5 caras e 15 coroas. Para determinar as probabilidades exatas de cada resultado possível, podemos utilizar a distribuição binomial. Para 20 moedas ao ar, terá este aspeto.

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A maioria dos resultados prováveis varia entre 5 caras e 15 coroas e 15 caras e 5 coroas. O que acontece se atirarmos a moeda ao ar 100 vezes? A distribuição terá o aspeto seguinte.

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Desta vez, o intervalo de resultados prováveis é maior. Visualmente, para 20 moedas ao ar, o intervalo situa-se entre 5 e 15 caras, ou seja, há uma diferença de 10. Para 100 moedas ao ar, esse intervalo é de aproximadamente o dobro, ou seja, entre 40 e 60 caras. Isso quer dizer que à medida que a dimensão da amostra de moedas ao ar vai ficando maior, o intervalo de resultados possíveis também aumenta? Bem, sim e não.

Quando o matemático Jacob Bernoulli fez experiências com tal cenário, observou que, embora a diferença numérica absoluta entre o número de caras e coroas pudesse aumentar com o tamanho crescente da amostra, a percentagem de caras aproxima-se dos 50%. Cinco em 20 caras equivale a 25%; no entanto, 40 em 100 equivale a 40%. Esta segunda explicação, que forma a base da lei dos grandes números, é a parte importante para que os apostadores compreendam a probabilidade. 

O desvio padrão binomial

Podemos medir o intervalo ou a dispersão mostrada numa distribuição através do desvio padrão. Para uma distribuição binomial, o desvio padrão, σ, é obtido através da seguinte equação simples,

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em que n é o número de repetições binárias (por exemplo, número de moedas ao ar), p é a possibilidade de sucesso (caras) e q é a possibilidade de insucesso (coroa). Uma vez que p + q = 1:

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E para o simples caso em que p = q (ou seja, 0,5):

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Para 20 moedas ao ar, σ = 2,24, enquanto para 100 moedas ao ar, σ = 5.

O desvio padrão indica-nos o intervalo da maioria dos resultados possíveis. Por exemplo, para 100 moedas ao ar, um pouco mais de dois terços da amostra ficarão entre ±1σ, ou seja, entre 45 e 55 caras.

Já confirmámos a primeira conclusão de Bernoulli: quanto maior for a dimensão da amostra, maior será a amplitude dos resultados. Mas e se utilizarmos percentagens de caras em vez de números absolutos? Para calcular a percentagem de caras, dividimos o seu número pelo número total de vezes que atirámos a moeda ao ar, ou seja, n. Da mesma forma, para calcular o desvio padrão em percentagem, também temos de dividir por n. 

Assim, para proposições simples de 50:50:

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Agora, para 20 moedas ao ar, o desvio padrão na percentagem de caras é de 0,11 (ou 11%), mas para 100 moedas ao ar, é de apenas 0,05 (ou 5%).

A lei dos grandes números

De acordo com a lei dos grandes números, a média dos resultados obtidos a partir de um número de tentativas deverá ter uma tendência mais próxima em direção ao valor esperado, à medida que se realizam mais tentativas. No caso da moeda ao ar, quantas mais vezes atirarmos a moeda ao ar, mais próxima a percentagem de caras estará do valor esperado de 50%.

Uma vez que o desvio padrão em percentagens é proporcional à raiz quadrada do número de vezes que a moeda foi atirada ao ar, as duas variáveis formam o que é conhecido como uma relação com a lei das potências, variando o desvio padrão com a potência ou o logaritmo do número de vezes que a moeda é atirada ao ar. Num gráfico log-log, a relação revela-se como uma linha direita, sendo cada valor de n elevado ao quadrado o valor da metade de σ.

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Esta relação com a lei das potências significa que, falando em termos proporcionais, a maior parte da diminuição no desvio padrão ocorre nas primeiras tentativas. De σ=0,5 após uma moeda ao ar diminuiu para apenas 0,1 após apenas 25 lançamentos de moeda ao ar, quatro quintos do caminho em direção ao valor limite de zero (após um número infinito de lançamentos). Desta forma, podemos apreciar a rapidez com que a lei dos grandes números consegue realmente funcionar. Se redesenharmos o gráfico acima com escalas lineares, isso poderá ajudar-nos a visualizar tal rapidez. 

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Vitórias e derrotas nas apostas

As vitórias e as derrotas nas apostas são muito semelhantes a obter cara e coroa na moeda ao ar. No fundo, uma aposta é uma proposição binária: ou vence ou não. Assim sendo, no caso dos históricos de apostas mais simples em que a possibilidade esperada de cada vitória permanece a mesma, os resultados possíveis serão também binomialmente distribuídos.

Um exemplo óbvio desta proposição binária seriam as apostas no spread de pontos nos mercados desportivos norte-americanos, ou o Handicap asiático no futebol, onde a aplicação de um handicap a uma ou à outra das equipas transforma a aposta numa proposição de 50-50, com probabilidades justas de 2,00. 

No entanto, não é preciso restringir-nos apenas às proposições de 50-50. Recorde-se da equação acima para o desvio padrão em percentagens. A versão mais genérica que lhe permite considerar outras percentagens possíveis de vitória esperadas é a seguinte: 

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Mesmo para os apostadores competentes capazes de gerar um valor esperado de lucro a longo prazo, a maior parte do que acontece será ruído aleatório em torno de um sinal relativamente fraco, simplesmente devido à variabilidade aleatória inerente dos sistemas complexos, como os eventos desportivos.

É claro que, no mundo real das apostas, os apostadores inexperientes não superam as perdas com os ganhos ao cumprirem a expectativa. Assim que se levar em consideração a margem da casa de apostas, é fundamentalmente inevitável que venha a perder dinheiro depois de 1000 apostas.

Imagine um apostador que aposta em proposições de 50-50 e que ganha 55% delas a longo prazo. Mudou a sua percentagem esperada de vitória de 50% para 55% através da sua competência preditiva, mas as mesmas regras binomiais de variação continuarão a aplicar-se.

Com a equação acima, podíamos mostrar que o seu desvio padrão na percentagem de vitória das apostas deve ser de 3% após 275 apostas, deixando implícita uma possibilidade aproximada de dois terços de que a sua taxa de vitória estará entre 52% e 58% para aquela dimensão do histórico de apostas. 

Desde que as nossas apostas permaneçam simples com a mesma possibilidade esperada de vitória (probabilidades) para cada aposta, podemos utilizar a distribuição binomial para determinar razoavelmente bem a possibilidade de alguma coisa acontecer (no Excel, pode fazer-se isto com a função BINOMDIST).

Ilustrei este aspeto com uma série de históricos de apostas abaixo. O primeiro é um histórico de apenas 20 apostas. Os valores numéricos no gráfico mostram a possibilidade cumulativa de a percentagem de vitória real ser superior a um valor em particular. Por exemplo, tem cerca de 9% de hipóteses de ganhar mais de seis apostas (30%) se a sua expectativa a longo prazo for de 20%. Tem aproximadamente 1% de hipóteses de ganhar 20 em 20, se normalmente esperar ganhar 16. 

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Em termos amplos, as zonas vermelha e verde assinalam as zonas de obtenção de perdas e de lucros respetivamente, nos casos em que as probabilidades são justas. Como seria de esperar, se perder mais apostas do que esperava, terá uma perda financeira, mas pode ver que esse subdesempenho significativo não é muito comum.

Mesmo depois de apenas 20 apostas de valor constante, em 75% das vezes, poderá esperar ganhar nove ou mais. A lei dos grandes números está do seu lado, protegendo-o da possibilidade de perdas percentuais significativas.

No entanto, o corolário também é verdadeiro. Se ganhar mais apostas do que é esperado, terá lucro, mas não é assim tão provável que tenha um grande lucro. Mesmo que seja um apostador competente capaz de ganhar 55% das apostas de valor constante a longo prazo, terá ainda assim apenas 13% de hipóteses de ganhar 14 ou mais apostas em 20. Agora, a lei dos grandes números está contra si, impedindo-o de obter ganhos percentuais significativos. 

A região amarela é aproximadamente a região onde os apostadores não ganham nem perdem. O que é surpreendente é como é ténue a zona entre a sorte e o azar excessivos e onde se encontrarão a maior parte dos desempenhos de apostas.

Veja o que acontece à zona amarela após 100 apostas.

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As hipóteses de se encontrar muito afastado da expectativa de longo prazo diminuíram consideravelmente. E depois de 1000 apostas?

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É claro que, no mundo real das apostas, os apostadores inexperientes não superam as perdas com os ganhos ao cumprirem a expectativa. Assim que se levar em consideração a margem da casa de apostas, é fundamentalmente inevitável que venha a perder dinheiro depois de 1000 apostas. A lei dos grandes números conseguiu destruí-lo. No entanto, para os apostadores competentes, o quadro é muito diferente.

Se esperar ganhar 55% das 1000 apostas de valor constante, quase sempre ganhará, pelo menos, 50% delas. Desde que a margem da casa de apostas seja inferior à diferença entre aquela que espera que seja a sua percentagem de vitórias e a que a casa de apostas espera que seja, tem uma hipótese muito boa de obter lucro a longo prazo. O respeitado website ProfessionalGambler.com explicita bem esta questão:

“a diferença entre a percentagem de apostas ganhas por apostadores de sucesso e a percentagem de apostas ganhas por perdedores crónicos é relativamente muito pequena”.

Agora, poderá ver até que ponto é pequena. A lei dos grandes números tem a capacidade de ser, em simultâneo, uma benção e uma maldição para o apostador. 

Obviamente, as apostas feitas pela maioria das pessoas não são tão simples como este artigo sugere, já que os apostadores escolhem uma diversidade de probabilidades e de paradas apostadas. Para analisá-las, precisaríamos de utilizar matemática bem mais sofisticada ou voltarmos para a nossa amiga simulação de Monte Carlo, nos casos que se tornam demasiado complexos. 

Além disso, não considerei as variações dos lucros e das perdas reais, que é um tema de interesse por si só, o qual já abordei em artigos anteriores (quanto mais longas forem as probabilidades, maior é a variação dos lucros e das perdas).

Não obstante, a finalidade deste artigo era ilustrar a rapidez e o poder da lei dos grandes números, como é ténue a linha entre os resultados esperados e os resultados reais, e os domínios da sorte e do azar.

Testar a credibilidade dos históricos de apostas

Antes de terminar, também quero mostrar-lhe de que forma pode utilizar as informações sobre o desvio padrão nas percentagens de vitória reais para testar a credibilidade dos históricos de apostas defendidos por serviços especializados de dicas de apostas que esperam vender-lhe as respetivas escolhas. 

Podemos utilizar um exemplo de uma empresa de handicap que fornece uma “abordagem honesta e franca” em relação aos respetivos “princípios de handicap”. A empresa está evidentemente consciente da aleatoriedade nas apostas desportivas, explicando aos clientes que não existe um vencedor garantido e que “há sempre um elemento de sorte em todas as competições”. Apesar disso, com uma taxa de sucesso publicada de 76% a partir de mais de 11 000 escolhas, a empresa conseguiu evidentemente subjugar a sua inconstância.

De acordo com a lei dos grandes números, a média dos resultados obtidos a partir de um número de tentativas deverá ter uma tendência mais próxima em direção ao valor esperado, à medida que se realizam mais tentativas.

Uma análise mais atenta aos resultados publicados até à data revela, de facto, uma taxa de sucesso de 75% a partir de 10 312 escolhas (claramente, faltam algumas dicas). Embora haja algumas proposições com avaliações curtas e outras longas, 94% delas tinham probabilidades entre 1,67 e 2,50 (ou 60% e 40% de possibilidades implícitas de vitória). A possibilidade implícita média de vitória para toda a amostra é de 52,2% e, depois de ser retirada a margem da casa de apostas, é quase idêntica à de uma proposição de 50-50.

Ao decompor os resultados em 56 amostras mensais (de março de 2014 a outubro de 2018), revela-se um total médio mensal de 184 escolhas, sendo mais de metade delas entre 140 e 224 escolhas. Se partirmos do princípio de que a taxa de sucesso a longo prazo é de 75%, em quanto deverão variar as suas percentagens de vitória mensais? Utilizando a nossa equação acima para calcular o desvio padrão esperado nas percentagens de vitória para uma amostra de 184 escolhas, descobrimos que a resposta se situa ligeiramente acima dos 3%. Pouco mais de dois terços das amostras deveriam estar entre cerca de 72% e 78%, enquanto 95% estaria entre 69% e 81%.

Na verdade, o desvio padrão nas percentagens mensais de vitória é de 8,6%, bem mais alto do que deveria ser. Menos de 40% dos valores situam-se a menos de ±1σ de 75% e pouco mais de metade a menos de ±2σ. Existe simplesmente demasiada variação. Mesmo que partíssemos do princípio de que cada mês tinha apenas 32 escolhas, o mês com o número menor de escolhas, o desvio padrão esperado continuaria a ser apenas de 7,7%. 

Um desvio padrão nas percentagens mensais de vitória de 8,6% seria normalmente esperado para amostras de cerca de 25 escolhas, e não 184. O mês de dezembro de 2014 teve 151 escolhas com uma expectativa implícita média de vitória de 51,4%. Uma percentagem de vitória de 46,4% seria esperada uma vez em cada trilião de anos. O mês de outubro de 2015 teve 168 escolhas (expectativa média implícita de vitória de 48,5%) e ganhou 154 ou 91,7% delas. Tal desempenho para um especialista em dicas aconteceria normalmente cerca de uma vez a cada milhão de anos.

Deixarei à sua imaginação determinar o que estas conclusões podem sugerir. Talvez se possa argumentar que os níveis de competência podem flutuar drasticamente em curtos períodos de tempo. Talvez se possa argumentar outra coisa. No entanto, dado o que já disse anteriormente sobre os limites da expectativa de lucro, estou certo de que já sabia que uma taxa de vitória de handicap de 76% é algo para dar umas gargalhadas e seguir em frente.

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