Apostadores costumam gastar muito tempo tentando encontrar vantagens sobre o mercado. Alguns conseguem fazê-lo, mas muitos se esforçam para conseguir isso. Além de encontrar uma vantagem, os stakes também são uma parte incrivelmente importante das apostas. Quanto você deve apostar quando não conhece sua vantagem? Leia para saber mais.
Em maio de 2020, dois acionistas (Andrés Barge-Gil e Alfredo García-Hiernaux) da plataforma de dicas Pyckio publicaram um artigo no Journal of Sports Economics abordando como um apostador lucrativo deve apostar sob condições em que as estimativas das probabilidades reais de vitória não estão disponíveis.
Se um apostador, que deseja obter lucros consistentemente a longo prazo, deve participar ou não nessas condições é uma questão controversa, embora Barge-Gil e García-Hiernaux tenham sugerido que muitos apostadores esportivos admitem não conseguir fazer esses cálculos com precisão.
No entanto, suas pesquisas são interessantes, já que esclarecem como os diferentes planos de apostas podem ser reinterpretados como variantes do Critério de Kelly. Neste artigo, pretendo resumir seus esforços e verificar se os resultados que eles alcançaram podem realmente ser aprimorados.
Reinterpretação dos diferentes planos de apostas de acordo com o Critério de Kelly
Talvez não exista um tópico mais popular no mundo da gestão financeira de apostas esportivas do que usar o Critério de Kelly como método de staking. De fato, os recursos de apostas da Pinnacle oferecem vários artigos sobre o assunto. Eu mesmo escrevi alguns deles. Em especial, para o uso simples do critério de Kelly em stakes em que apenas uma aposta é feita de cada vez antes do pagamento, demonstrei que a estratégia é capaz de acomodar o risco de não conhecer exatamente sua vantagem a cada aposta, desde que você consiga se manter preciso em média.
Em seu artigo, Barge-Gil e García-Hiernaux sugeriram que, quando estimativas precisas das verdadeiras probabilidades das apostas são desconhecidas, os apostadores abandonam Kelly e recorrem a diferentes planos de gestão financeira.
Perda por unidade
O primeiro deles é o método de perda por unidade, ou nível de stake, em que o apostador arrisca o mesmo stake em todas as apostas, independentemente das probabilidades. Quanto mais longas as probabilidades, maior o impacto que a aposta terá sobre a banca do jogador se a aposta for vencedora, mas menor a probabilidade de a aposta vencer.
Podemos reformular o staking de perdas por unidade como um plano baseado em Kelly, onde o valor ou rendimento esperado é linearmente proporcional às probabilidades. Como o tamanho do stake em Kelly é dado por VE/probabilidades - 1 (em que VE é o valor esperado, qualquer número acima de 0 é considerado rentável), um plano de perda por unidade implica que essa relação permaneça constante.
Por exemplo, suponha que o VE fosse 10% (0,1) e, as probabilidades, 2,00. O stake seria de 0,1. Se as probabilidades aumentam para 4,00, isso implica que o VE deve aumentar para 30% (0,3) para garantir que o stake permaneça em 0,1. Probabilidades de 101,00 implicariam um VE de 10 ou 1.000%, o que parece um pouco utópico. Isso implicaria probabilidades reais de apenas 9,18. Certamente, nenhuma casa de apostas cometeria um erro tão grande.
De fato, no limite em que as probabilidades tendem ao infinito, as probabilidades verdadeiras tenderiam para um valor máximo dado por 1/stake. Neste caso, 10. Uma das principais críticas ao staking em perdas por unidade é que ele coloca muito risco em apostas difíceis, com baixas probabilidades de vitória. Para os defensores de Kelly, só faria sentido se o VE realmente aumentasse proporcionalmente com as probabilidades e, como podemos ver, isso dificilmente é credível.
Ganho por unidade
O segundo plano de gestão financeira normalmente usado pelos apostadores é o staking em ganho por unidade. Nesse caso, o stake é tal que o apostador pretende obter o mesmo lucro, independentemente das probabilidades. Se a meta de vitória ou lucro for de € 100, probabilidades de 2,00 exigirão uma aposta de € 100, enquanto probabilidades de 5,00 exigirão uma aposta de € 25. O tamanho da aposta é proporcional ao inverso das probabilidades - 1. Em termos de Kelly, a estratégia de ganho por unidade implica que o VE está totalmente não correlacionado com o Critério de Kelly. Todos os VEs são os mesmos, independentemente das probabilidades de apostas.
Quanto à aplicação de ganho por unidade, algo não parece muito certo. Poderia este realmente ser o caso de a vantagem de um apostador ser a mesma, com chances de 1,11 ou 111,00? As lições aprendidas com a variação sugerem que isso não parece muito realista. De fato, se o seu VE com probabilidades de 111,00 fosse 20% (0,2), o mesmo VE com probabilidades de 1,11 implicaria que as probabilidades verdadeiras são menores que 1, o que não faz sentido algum. Nada pode ter uma probabilidade de resultado superior a 100%.
Impacto por unidade
Barge-Gil e García-Hiernaux propuseram um plano de apostas alternativo: o impacto por unidade, sob a hipótese de que esse plano se encaixa melhor com o método de apostas de Kelly. O método de impacto por unidade mantém constante a diferença na banca entre ganhar e perder e é o mesmo, não importa se as probabilidades forem longas ou curtas.
O staking de impacto por unidade é proporcional ao valor recíproco das probabilidades, em contraste com o ganho por unidade, que é recíproco das probabilidades - 1. Portanto, se a aposta for de € 100 para probabilidades de 2,00, a aposta de impacto por unidade para probabilidades de 5,00 será de € 40. Para cada caso, a diferença entre ganhos e perdas é de € 200 (+ € 100/- € 100 no primeiro caso e + € 160/- € 40 no segundo caso).
No staking de impacto por unidade, o VE é proporcional às probabilidades - 1/probabilidades. Isso significa que o VE aumenta com probabilidades crescentes, mas a uma taxa decrescente em direção a um limite, uma vez que essa relação tende rapidamente a 1. Por exemplo, se VE = 0,1 para probabilidades de 2,00, o limite do VE será 0,2. Embora esse cenário não seja tão extremo quanto o valor do staking em ganho por unidade, no qual o VE permanece inalterado, ele parece novamente subestimar a possibilidade de VEs mais altos para probabilidades mais longas.
Normalmente, informantes de corrida bem-sucedidos têm rendimentos consideravelmente superiores ao dobro daqueles focados no mercado de Handicap asiático ou nos spreads de pontos, embora isso não implique necessariamente que sejam mais habilidosos (ou tenham mais sorte); eles apenas têm uma variação maior do lado deles.
Seguindo Barge-Gil e García-Hiernaux, o gráfico abaixo ilustra como o VE varia com as probabilidades para os três planos de staking diferentes, assumindo que VE = 3% para probabilidades = 2,00 para cada um deles.
Como discutido anteriormente, os planos de apostas em perda e ganho por unidade parecem implicar relações irrealistas entre probabilidades e VE.
Barge-Gil e García-Hiernaux analisaram o banco de dados de apostas da Pyckio e acreditam que confirmaram que a relação de probabilidades de VE implícita na aplicação de impacto por unidade reflete melhor os rendimentos observados e os esperados de informantes (os últimos, com base nos preços de fechamento). Mas, ainda não estou totalmente convencido. Para reiterar, o staking de impacto por unidade ainda produzirá um VE, no máximo, correspondente apenas ao dobro do VE para probabilidades = 2,00. Haveria uma alternativa melhor?
Revisitando a distribuição t
Há três anos, apresentei aos recursos de apostas da Pinnacle o uso da distribuição t para avaliar informantes das apostas e reconhecer a diferença entre sorte e habilidade. Semelhante à distribuição normal (e usada no lugar dela quando apenas a amostra, e não o desvio padrão da população, é conhecida), ela pode ajudar a determinar o quão improvável uma amostra é, assumindo que se saiba a média da população.
Utilizei a distribuição t extensivamente em meu trabalho para ajudar apostadores a mostrar a probabilidade de seus registros de apostas serem resultado do acaso, supondo que eles não tivessem nenhuma habilidade. Quanto menor a probabilidade, mais subjetivamente confiante você pode ficar de que não foi apenas a sorte que influenciou os lucros das suas apostas.
Na base desse teste está a estatística t ou o escore t, a partir do qual as probabilidades podem ser derivadas. Demonstrei que, em staking de perda por unidade, e onde as probabilidades de apostas do seu registro não variam muito, essa estatística pode ser aproximada com a seguinte fórmula.
em que n é o número de apostas, o é a probabilidade média e r é o retorno do investimento ou rendimento +1.
Assim como o escore padrão (z-score), com o qual os handicappers podem estar mais familiarizados, é essencialmente uma medida do número de desvios-padrão de acordo com os quais o retorno das suas apostas parte de uma média esperada de zero, caso as apostas não sejam qualificadas e com probabilidades justas. Um escore t de 2, por exemplo, implicaria que um rendimento melhor do que o alcançado pelo seu registro seria esperado apenas cerca de 2,5% das vezes, supondo que você não tivesse qualquer habilidade. O escore t é, portanto, um tipo de medida de probabilidade. Quanto maior o escore t, menor a probabilidade dessa observação. Vamos usá-lo para avaliar a probabilidade de diferentes VEs (supondo nenhuma habilidade), dependendo das probabilidades que estamos apostando.
A assimetria dos retornos
Imagine que você aposte em um time com 80% de chance de ganhar, com chances justas de 1,25. Suponha que agora a casa de apostas acredite erroneamente que a probabilidade de vitória é de 75%. Ela decide fazer uma promoção e não aplicar nenhuma margem. Suas chances são de 1,333. Consequentemente, seu VE é de 6,667% (1,333/1,25 - 1 ou 0,80/0,75 - 1).
Agora, considere um segundo cenário: a chance real é de 20% (chances justas de 5,00), mas a casa de apostas acredita que seja de 15% (chances publicadas de 6,667). Desta vez, o seu VE é de 33,33% (6,667/5,00 - 1 ou 0,20/0,15 - 1). A diferença na porcentagem esperada de ganhos entre sua estimativa e a casa de apostas é a mesma, mas o VE é 5 vezes maior. Parece que, em termos de VE, erros equivalentes são punidos mais severamente quanto mais longas as probabilidades. Mas qual a probabilidade desses erros?
A simetria da probabilidade
Vamos reescrever a fórmula do escore t exibida acima (supondo que todas as nossas apostas contêm as mesmas probabilidades, o). Como sabemos que r = q/p, onde p é a probabilidade implícita das chances da casa de apostas (ou seja, 1/o) e q é a sua probabilidade estimada (que será "verdadeira", caso seu modelo de previsão seja preciso), pode ser afirmado que:
Suponha que n, nosso número de apostas, seja 100. Para q = 0,8 e p = 0,75, t = 1,25. Da mesma forma, no entanto, para q = 0,2 e p = 0,15, t = 1,25 novamente. Supondo que a casa de apostas, e não o nosso modelo, estivesse realmente correta, esse escore t corresponderia a uma probabilidade de resultado de 10,7% (usando a função Excel = TDIST do Excel).
No decorrer de 100 apostas, esperamos ter um rendimento superior a 6,667% com probabilidades de 1,333, ou melhor que 33,33% com probabilidades de 6,667 em 10,7% das vezes. Rendimentos maiores com probabilidades mais longas são tão prováveis quanto rendimentos menores com probabilidades mais curtas; daí o porquê os informantes de corridas têm a ilusão de parecer melhores do que os handicappers; ou muito piores, se estiverem perdendo.
Tentei mostrar essa simetria de probabilidade por meio das tabelas a seguir. Utilizei valores extremos simplesmente para ilustrar o ponto. É óbvio que nenhum apostador será capaz de fazer isso, bem ou mal, na maioria dos cenários.
O primeiro mostra a assimetria em VE para diferentes pares p, q. O segundo mostra a simetria nos escores t. Demonstrei os escores t absolutos (removendo o sinal negativo dos VEs negativos quando q < p) para obter clareza visual. Não apenas um par p, q de 0,3/0,7 é tão provável quanto um par de 0,7/0,3, mas também o são pares como 0,7/0,5 e 0,3/0,1, 0,8/0,7 e 0,2/0,1, pelos motivos descritos acima.
Uma nova função de probabilidades para VE
Para probabilidades e VE específicos, há uma probabilidade t (que dobra à medida que o número de apostas aumenta 4 vezes). Podemos reorganizar a fórmula do escore t para expressá-la em termos de r. Isso leva a uma quadrática horrível, com uma solução ainda mais horrível.
Ela é muito mais desagradável que as probabilidades - 1/probabilidades, mas vamos trabalhar com ela no cenário em que VE = 0,03 e probabilidades = 2,00. Isso é mostrado abaixo, juntamente com as funções anteriores de probabilidades de VE para stakings de perda por unidade, ganho por unidade e impacto por unidade.
Embora essa função possa ser difícil de escrever, ela faz mais sentido intuitivo, pois interpreta os rendimentos esperados em termos de probabilidade estatística. Em stakings de impacto por unidade, o VE nunca pode ser superior a 6% quando é de 3% para probabilidades de 2,00. Mas, com a minha função, ele pode crescer indefinidamente, embora não tão irrealisticamente rápido quanto em stakings de perda por unidade, mas em consonância com o previsto pela variação estatística. Para probabilidades de 10 ele será correspondente a 9,4%; para probabilidades de 50, 23,3%; e, para probabilidades de 1.000, 150%.
Uma crítica óbvia é que essa função, baseada no escore t, assume que o apostador não tenha qualquer habilidade. Ela simplesmente expressa a probabilidade de que as coisas aconteçam, assumindo que nenhuma habilidade esteja presente. Mas, essa é uma leitura incorreta. Mesmo se houver habilidade, as mesmas leis estatísticas associadas à variação se aplicam.
A posição da curva laranja mudaria, mas a forma permaneceria a mesma. Abaixo estão algumas trajetórias possíveis para apostadores com vários graus de boa sorte ou habilidade, como você quiser chamar. A curva original para o apostador com VE de 3% com probabilidades de 2,00 ainda é mostrada em laranja.
Uma crítica adicional pode ser a de que também estamos supondo que qualquer habilidade seja independente das probabilidades, ou seja, que sejam iguais independentemente de onde se encontrem. Essa pode não ser uma suposição apropriada dadas certas ineficiências do mercado, como o viés de longo alcance favorito.
Testando a função
Podemos testar a validade dessa nova função de probabilidades de VE? O sistema de apostas "sabedoria das multidões", sobre o qual todos os que me seguem regularmente pelo Twitter e pela Football-Data já conhecem, usa as probabilidades mais eficientes da Pinnacle para estimar o VE disponível nas probabilidades de outras casas de apostas.
Utilizando uma amostra de dados de probabilidades de partidas de futebol de ligas europeias desde a temporada 2012/13, encontrei 55.237 ocasiões em que um VE lucrativo (> 0) estava disponível. A média foi de 2,20% (vale deixar registrado que o desempenho real de stakes em perda por unidade foi de 1,77%, ficando com espaço de sobra dentro das margens estatísticas de erro do modelo), com chances médias de 3,30. Com esses números, podemos usar minha fórmula de solução quadrática para construir uma curva de função para probabilidades de VE como as acima. Abaixo, ela está representada em laranja.
Compare-a primeiro com os VEs reais do modelo, com média de 1% de expectativa de ganho (mostrados como probabilidades no gráfico) e, em segundo lugar, com a curva da função de probabilidades de VE prevista pela aplicação do impacto por unidade. Embora não seja uma combinação perfeita, a função de escore t das probabilidades de VE faz um trabalho muito melhor na previsão de valores aproximados de VE com base nas probabilidades de apostas.
Uma justificativa
Agora, os observadores entre vocês podem perguntar: qual é o sentido de usar uma função de probabilidades de VE para prever o VE para probabilidades diferentes quando seu modelo de sabedoria das multidões faz isso explicitamente em todas as apostas? Isso realmente faz sentido, e grande parte deste artigo poderia ser considerada bastante teórica.
No entanto, mesmo modelos precisos (em média) exibem incerteza epistêmica em uma base aposta por aposta. Além disso, a incerteza aleatória (ou inerente) torna praticamente impossível a avaliação das verdadeiras probabilidades de vitória.
Por fim, o objetivo deste exercício, assim como o foi para Barge-Gil e García-Hiernaux, era ilustrar como alguém poderia tentar estimar seu VE enquanto ciente dessas incertezas quantitativas, quando seu modelo de previsão não estima explicitamente as probabilidades de vitória, ou onde seu método de previsão é mais qualitativo por palpites, em vez de processamento de dados. Conheça suas probabilidades e, com esse método, você poderá estimar seu VE. Conheça seu VE e você poderá determinar qual stake de Kelly você deve usar.
Essa metodologia de escore t pode ser bem complicada, mas seus resultados são derivados de um raciocínio mais intuitivo da relação entre probabilidade de vitória, valor esperado e probabilidade de resultado e, por extensão, como os rendimentos reais podem variar com as probabilidades de apostas. Para os defensores de Kelly, acho que ela funciona melhor do que o stake de impacto por unidade, e significativamente melhor do que os de perda ou ganho por unidade.