nov 11, 2019
nov 11, 2019

Quanto tempo dura uma série de perdas nas apostas?

Qual é a probabilidade de perder?

A expetativa das sequências de perda

Analisar as perdas com histórias de apostas reais

Quanto tempo dura uma série de perdas nas apostas?
Todos os apostadores têm de enfrentar as perdas, independentemente do grau de experiência. Alguns apostadores podem passar por séries de perdas que são mais longas do que outras, mas quanto tempo poderemos esperar que dure uma série de perdas nas apostas? Continue a ler para saber a resposta.

Ganhar uma aposta proporciona uma boa sensação. No entanto, considera-se que perder é duas vezes mais doloroso, em termos psicológicos, comparativamente à sensação de prazer quando se ganha. Frequentemente, a resposta de um apostador às perdas, em particular a uma série de perdas, pode dar origem a um comportamento irresponsável, quer ao apostar com maior frequência ou ao apostar mais dinheiro, numa tentativa de recuperar as suas perdas.

Mesmo para os apostadores potencialmente experientes com uma expetativa positiva do seu lado, as séries de perdas podem levá-los a questionar de forma irracional a eficácia do seu sistema de apostas. É muito mais fácil duvidar de si próprio depois de ter perdido 10 em 10 apostas do que é depois de ganhar 10 em 10 apostas, muito embora em termos estatísticos, essas apostas tenham probabilidades de resultados muitos semelhantes. Dificilmente alguém se daria ao trabalho de questionar um sistema com um desempenho excelente.

Já escrevi anteriormente sobre os declínios nas apostas e de que forma podem ser geridos. Neste artigo, quero complementar esse trabalho com a criação de um modelo simples das séries de perdas e, mais especificamente, de quanto tempo se deve esperar que uma série de perdas dure.

Impus limitações a mim próprio aqui para manter as coisas em termos simples. Irei utilizar uma série consecutiva de k apostas perdedoras numa amostra de n apostas com as mesmas probabilidades, embora não haja razão para não se alargar esta premissa para abranger períodos de perdas mais complexos e registos de apostas mais complexos com probabilidades de apostas variáveis utilizando uma simulação de Monte Carlo. No entanto, pelo menos com a série de perdas mais simples, podemos oferecer algumas fórmulas matemáticas básicas para descrevê-las, o que é difícil em cenários mais complexos.

A possibilidade de perder

Vamos considerar um apostador que é suficientemente competente para conseguir um ponto de equilíbrio a longo prazo. Por outras palavras, está a alcançar probabilidades justas. Como tal, as probabilidades irão então refletir a “verdadeira” possibilidade de um resultado. Na verdade, o que acontece a seguir não muda muito, quer para os apostadores pouco competentes que apostam na margem, quer para os apostadores competentes que conseguem encontrar uma expetativa de lucro marginal, e o motivo é que a grande maioria do que acontece nas apostas é uma consequência da aleatoriedade. As probabilidades de 2,0 deixam implícita uma possibilidade de 50%, as probabilidades de 4,0 uma possibilidade de 25% e por aí em diante. A possibilidade de ganhar k apostas consecutivas, cada uma com probabilidades o é então representada pela fórmula:

losing-runs-formula1.jpg

Por exemplo, a possibilidade de ganhar cinco apostas justas consecutivas de valor constante com probabilidades de 2,0 é de 1/32.

Mas aqui estamos interessados nas apostas perdedoras. Com probabilidades de 2,0, as probabilidades de perder seriam as mesmas, também 2,0, uma vez que a possibilidade de ganhar ou perder também é de 50%. Em termos mais gerais, as probabilidades de ganhar e perder não são as mesmas. Dado que a possibilidade de perder é de 1 menos a possibilidade de ganhar, verifica-se que as probabilidades de perder são representadas pela seguinte expressão:

losing-runs-formula2.jpg

Assim, a possibilidade de perder k apostas consecutivas, cada uma com probabilidades o é representada pela fórmula:

losing-runs-formula3.jpg

A expetativa das sequências de perda

Qual é a possibilidade de ter k (ou mais) perdas consecutivas numa amostra de n apostas com probabilidades de o? Acontece que a matemática necessária para isto não é trivial e está bastante para além da minha faixa salarial. Mas podemos fazer a pergunta de uma forma ligeiramente diferente e, para isso, a matemática é muito mais fácil. Em vez disso, perguntemos quantas vezes podemos esperar perder k vezes consecutivas numa amostra de n apostas com probabilidades de o?

Consideremos um exemplo simples. Quantas vezes poderemos esperar perder três apostas seguidas, cada uma com probabilidades de 2,0, numa série de 10 apostas? Já sabemos que a possibilidade de perdermos singularmente três apostas seguidas é de 1/8. No entanto, numa série de 10 apostas, existem inúmeras oportunidades de criar uma sequência perdedora de três apostas. Poderia acontecer nas apostas um, dois e três, ou nas apostas dois, três e quatro, e por aí em diante até às apostas oito, nove e dez.

Neste exemplo, haveria no total oito sequências possíveis e, por isso, o número esperado de vezes que poderíamos ter tal sequência em 10 apostas é de 8/8, ou seja, uma. Por outras palavras, em média, seria de esperar termos uma sequência de três apostas perdedoras em cada 10 apostas. Às vezes, haverá mais e, às vezes, não haverá nenhuma, mas a média será uma.

Em termos mais genéricos, o número de posições possíveis na sequência numa série de n apostas é n – (k – 1) ou n – k + 1.

Assim, o número esperado de perder k apostas consecutivas, chamemos-lhe ek, numa amostra de n apostas resultará da seguinte fórmula:

losing-runs-formula4.jpg

À medida que o número de apostas, n, aumenta, para valores mais pequenos de k (e k será sempre muito mais pequeno do que n para sequências perdedoras que são realisticamente possíveis e nas quais estamos interessados), ek tenderá para:

losing-runs-formula5.jpg

Para uma amostra de 1000 apostas com probabilidades de 2,0, por exemplo, o número esperado de sequências de cinco apostas perdedoras será de 31,25 (31,125 se utilizarmos a fórmula mais precisa), arredondado para 31 como o número inteiro mais próximo.

Uma vez que o número de apostas, n, é aproximadamente proporcional ao número esperado de sequências perdedoras de comprimento k, seriam de esperar cerca de 62 sequências perdedoras de cinco apostas em 2000 apostas e cerca de 93 em 3000 apostas.

Quando ek = 1, podemos descrever k como o comprimento da sequência perdedora mais longa que se poderia normalmente esperar ver numa amostra de n apostas. Porquê? Bem, se for menos de 1, não a veremos e, se for mais de um, haverá a oportunidade de que uma sequência mais longa de perdas ocorra menos vezes.

Assim, quando n >> k e ek = 1: 

losing-runs-formula6.jpg

E reescrevendo:

losing-runs-formula7.jpg

na qual losing-runs-formula2.jpg representa a base do logaritmo.

No caso de 1000 apostas com probabilidades de 2,0, a sequência de perdas mais longa esperada será log21000 = 9,97 ou 10 como o número inteiro mais próximo. Por outras palavras, numa amostra de 1000 apostas, podemos normalmente esperar que a sequência de perdas mais longa inclua 10 apostas.

No caso de probabilidades de 3,0, a sequência de perdas mais longa esperada seria de 17 e, para probabilidades de 5,0, de 31. Probabilidades de 5,0 são bastante habituais para quem aposta em corridas. Acha que conseguiria suportar uma sequência de 31 perdas consecutivas sem se arrepender do que estava a fazer?

Realizei uma simulação de Monte Carlo com 10 000 iterações para testar o raciocínio matemático de ek. A tabela abaixo compara os resultados dos diferentes valores de k. Há uma correspondência quase exata entre as ocorrências previstas de sequências perdedoras com base na fórmula matemática acima e a simulação de Monte Carlo.

Duração da sequência de perdas, k

Número esperado de ocorrências em 1000 apostas com probabilidades de 2,0

Número médio de ocorrências numa simulação de Monte Carlo

3

124,750

124,729

4

62,313

62,277

5

31,125

31,054

6

15,547

15,532

7

7,766

7,793

8

3,879

3,908

9

1,938

1,946

10

0,968

0,977

11

0,483

0,488

12

0,241

0,246

13

0,121

0,124

14

0,060

0,062

15

0,030

0,031

No gráfico abaixo, representei a relação entre k e ek em relação às diferentes probabilidades de vitória. O eixo de y, ek, é logarítmico. A linha reta confirma que k é inversamente proporcional ao logaritmo de ek, o que é exatamente o que seria de esperar, em função do raciocínio matemático. O ponto no qual cada linha cruza o eixo de x (em ek = 1) é a sequência de perdas mais longa esperada.

losing-runs-in-article1.jpg

Dada a aproximação de k acima, a sequência de perdas mais longa esperada numa amostra de n apostas é, assim, também proporcional ao logaritmo de n, conforme representado no próximo gráfico. Assim, k duplica com cada elevação ao quadrado de n.

losing-runs-in-article2.jpg

A possibilidade de uma sequência perdedora

Conhecer os números esperados de sequências perdedoras é uma coisa, mas ainda não conhecemos a possibilidade de eles ocorrerem. Como mencionámos anteriormente, o raciocínio matemático para isto não é trivial, porque a distribuição (possibilidade) da frequência para o número de sequências perdedoras de comprimento k em n apostas não é de todo óbvia e será diferente para cada valor de k.

Além de encontrar o valor esperado, a tarefa de qualquer apostador bem-sucedido é fazer a gestão das suas expetativas de uma forma sensata e aprender a lidar com as inevitáveis más séries.

Por exemplo, podemos saber que, em média, veremos aproximadamente uma sequência perdedora de 10 apostas numa amostra de 1000 apostas de valor constante, mas isso é só a média. Com frequência, não veremos nenhuma, às vezes duas, ocasionalmente cinco ou mais. Pelo contrário, é muito mais fácil recorrer à nossa fiável simulação de Monte Carlo.>

Com uma simulação de Monte Carlo com 10 000 iterações, contei o número de vezes em que cada série perdedora de comprimento k não se verificava. Por exemplo, numa amostra de 1000 apostas de valor constante, em 6086 ocasiões, a sequência perdedora máxima teve menos de 10 apostas, e teve 10 ou mais apostas nas restantes iterações do modelo.

Recorrendo à lei dos grandes números, tal sugere que ver uma sequência perdedora de 10 ou mais apostas tem uma probabilidade de cerca de 39%. Tal parece estar intuitivamente correto quando nos lembramos de que a expetativa é ver uma série perdedora de 10 apostas cerca de uma vez numa tal amostra. O gráfico abaixo mostra como a possibilidade de ver uma série perdedora de comprimento k ou mais varia em função de k.

losing-runs-in-article3.jpg

Evidentemente, quanto maior for a amostra das apostas, mais provável será que algo mau aconteça em determinado momento. Sabemos que a possibilidade de 10 perdas consecutivas em 1000 apostas de valor constante é de 39%. Qual seria o valor para amostras mais reduzidas ou de maiores dimensões? Realizei outra simulação de Monte Carlo para descobrir. O gráfico abaixo é para k = 10.

losing-runs-in-article4.jpg

Podemos voltar a executar o nosso modelo para qualquer valor de k ou qualquer conjunto de probabilidades. Mostramos outro exemplo de resultados abaixo relativo a probabilidades de 3,0 e a uma sequência perdedora de 17 ou mais.

losing-runs-in-article5.jpg

Analisar as séries perdedoras com histórias de apostas reais

Até agora, esta análise tem sido bastante teórica pelo facto de apenas considerar amostras de apostas em que as probabilidades são todas iguais. Tal poderá ser um princípio razoável para os apostadores que apostam no spread de pontos e no handicap asiático, mas é menos provável para os apostadores que fazem apostas lineares e apostas com probabilidades fixas, os quais poderão estar a apostar com probabilidades muito mais variáveis. Por exemplo, o meu sistema de apostas da Sabedoria da Multidão tem correspondências para probabilidades tão curtas quanto 1,11 e tão longas quanto 67,0, com uma média de 3,9 e um desvio padrão de mais de 4.

Sem dúvida, poderíamos utilizar uma simulação de Monte Carlo para determinar as nossas sequências de perdas esperadas, mas haverá uma forma de utilizar a matemática? Sim, simplesmente temos de ser cuidadosos e utilizar o valor apropriado de o, as probabilidades. Não podemos utilizar as probabilidades médias da nossa amostra, pois essas serão desproporcionalmente ponderadas para as probabilidades mais longas.

Pelo contrário, devemos utilizar o inverso da média das possibilidades implícitas para todas as probabilidades. Por exemplo, se a nossa amostra tiver cinco apostas com probabilidades de 2,0, 3,0, 5,0, 10,0 e 20,0, calcule as possibilidades implícitas (0,5, 0,333, 0,2, 0,1 e 0,05), obtenha a média das mesmas (0,237) e inverta (o = 4,23).

Fiz isto para a história da amostra da Sabedoria da Multidão, com uma amostra de 9436 apostas. Com um valor calculado de o = 2,66 utilizando o método acima, ocorreu uma correspondência excelente entre os valores esperados de k e as sequências perdedoras reais.

A matemática previu 898 sequências perdedoras de, pelo menos, cinco apostas, mas na realidade, ocorreram 889. Da mesma forma, no caso de k = 10, a matemática previa um valor de 85; e ocorreram exatamente 85. No caso de k = 9, a previsão era de oito e o valor real foi nove. A sequência perdedora mais longa esperada (ek = 1) foi prevista como sendo de 19. A sequência perdedora mais longa esperada foi de facto 19, e só ocorreu uma.

Então e as sequências vencedoras?

Podemos utilizar o mesmo raciocínio matemático para analisar a expetativa de sequências vencedoras. Na verdade, é ainda mais simples, já que podemos utilizar as probabilidades da aposta vencedora diretamente nas fórmulas em vez de as adaptar para refletir as probabilidades de uma perda. Assim:

losing-runs-formula8.jpg

E para ek = 1:

losing-runs-formula9.jpg

losing-runs-formula10.jpg

Contudo, para amostras de probabilidades variáveis, não se esqueça de utilizar o valor apropriado para o, e não as probabilidades médias, mas o inverso da média das possibilidades implícitas.

O que aprendemos então sobre as séries perdedoras nas apostas?

Com tempo suficiente, ocorrem coisas más nas apostas. Se não for mais, esperamos que esta análise um tanto teórica das sequências de apostas lhe sirva de lembrete de que quanto mais tempo apostar, mais provável será que veja sequências perdedoras cada vez mais longas.

Além de encontrar o valor esperado, a tarefa de qualquer apostador bem-sucedido é fazer a gestão das suas expetativas de uma forma sensata e aprender a lidar com as inevitáveis más séries que têm a capacidade de influenciar de forma significativa a psicologia do apostador. Saber o que esperar e, pelo menos, como calculá-lo dá-lhe alguma preparação a esse respeito.

Recursos de apostas - Capacitar as suas apostas

Os Recursos de apostas da Pinnacle são um dos conjuntos mais abrangentes de conselhos de especialistas sobre apostas que se podem encontrar online. Dar resposta a todos os níveis de experiência - o nosso objetivo é simplesmente capacitar os apostadores a obterem mais conhecimentos.