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out 18, 2017
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Avaliar a competência nas apostas: Método Bayesiano vs. Frequentista

Como podem os apostadores avaliar o seu nível de competência?

Qual é a diferença entre uma abordagem Bayesiana e frequentista?

E os níveis de incerteza e probabilidades de competência esperadas?

Avaliar a competência nas apostas: Método Bayesiano vs. Frequentista

Num nível mais básico, ganhar dinheiro com as apostas requer duas coisas: competência e sorte. Apesar de muitos apostadores não reconhecerem a influência da última, aferir o nível da primeira, a competência, também é muitas vezes descurado. Este artigo mostra por que motivo é importante compreender os diferentes métodos de avaliação da competência nas apostas e como os resultados podem variar, dependendo da abordagem.

O Teorema de Bayes pode ser utilizado pelos apostadores desportivos para conseguirem fazer melhores previsões. Também podemos utilizá-lo para nos ajudar a determinar a probabilidade de termos êxito no apuramento dessas probabilidades e encontrar o valor esperado positivo. Investiguei anteriormente como avaliar a qualidade de um histórico de apostas utilizando uma abordagem frequentista (teste T). Este artigo irá comparar e estabelecer um contraste entre os dois métodos.

Graus de crença

Na teoria da probabilidade, o Teorema de Bayes descreve as hipóteses de um evento ocorrer condicionalmente à ocorrência de outro evento. Por exemplo, vamos supor que eu acredito que tenho 50% de probabilidades de ser um apostador competente capaz de encontrar valor. Se ganhar a minha próxima aposta, como é que isto irá influenciar a minha crença nesta afirmação? Por outras palavras, como é que a evidência de ganhar uma aposta altera a probabilidade de eu ser um apostador competente? 

O Teorema de Bayes interpreta a probabilidade como um "grau de crença" numa afirmação ou hipótese e formaliza matematicamente a relação entre o nível de crença antes de ser conhecida a evidência (a probabilidade anterior) e o grau de crença após a contabilização da evidência (a probabilidade posterior). É redigido da seguinte forma:

{equação} - P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)

No nosso exemplo aqui:

P(A) = a probabilidade anterior de que eu sou um apostador competente

P(B) = a probabilidade anterior de ganhar a minha aposta

P(B|A) = a probabilidade de ganhar a minha aposta com a condição de eu ser um apostador competente.

P(A|B) = a probabilidade de eu ser um apostador competente com a condição de ganhar a minha aposta.

Vamos experimentar um exemplo. Vamos partir do princípio de que a definição de um apostador competente é de alguém que consegue alcançar consistentemente um retorno sobre o investimento de 110%. Para apostas que só cobrem o investimento, isso implicaria 55 vencedores em cada 100. Assim, P(B|A), a probabilidade de ganhar a minha aposta com a condição de eu ser um apostador competente é de 55%.

Para um apostador sem competência, a probabilidade de vencer uma aposta para cobrir o investimento, P(B), será de 50%. No entanto, vamos partir do princípio de que tenho uma crença anterior de que tenho 50% hipóteses de ser um apostador competente {P(A) = 50%} e a P(B) para tal apostador é de 52,5% (o meio-termo entre 50% e 55%).

Os melhores apostadores de handicap do mercado são aqueles que são normalmente capazes de conseguir 57% de taxas de vitórias. Deduzindo a margem da casa de apostas, isto converte-se em cerca de 110% de retorno sobre o investimento.

Caso eu ganhe a minha aposta, a introdução deste número no Teorema de Bayes produz uma probabilidade posterior – P(A|B) – de 52,38%. Ganhar a minha aposta faz-me acreditar que existe uma maior probabilidade do que antes de eu ser um apostador competente.

O Teorema de Bayes pode ser aplicado repetidamente. Depois de ganhar a minha primeira aposta e de atualizar as minhas probabilidades de ser um apostador competente, faço outra aposta. A probabilidade posterior calculada no primeiro passo transforma-se na nova probabilidade anterior.

A nova probabilidade posterior de ser um apostador competente está agora condicionada ao facto de ganhar (ou perder) a minha próxima aposta. Se ganhar, a probabilidade de ser um apostador competente aumenta novamente; se perder, essa probabilidade diminui. Neste exemplo, caso eu ganhe a minha segunda aposta, a probabilidade de eu ser um apostador competente aumenta para 54,75%. 

Este processo pode ser repetido indefinidamente a cada atualização da probabilidade condicional que se situe entre os 0% e os 100%. Executei esta aplicação 1000 vezes, ou seja, em 1000 apostas, e o gráfico abaixo mostra o histórico de apostas alcançado (linha azul) juntamente com as probabilidades Bayesianas de eu ser um apostador competente após cada aposta (linha vermelha).

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Um problema significativo com uma interpretação Bayesiana da probabilidade é que requer fortes conhecimentos prévios ou crença num evento ou situação. Mas temos realmente esse conhecimento ao avaliarmos se eu serei competente nas minhas apostas? A minha escolha de 50% neste exemplo foi puramente arbitrária e baseada em nada mais que um palpite. Vamos observar o que acontece se alterar a probabilidade inicial anterior para 1%. 

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Além disso, o significado de competente neste contexto é totalmente arbitrário. Na verdade, um apostador capaz de obter 105% de retorno sobre o investimento é altamente competente, se conseguir esse retorno em mais de 10 000 apostas – pode ler sobre a Lei dos pequenos números para descobrir por que motivo o tamanho da amostra importa. Também não é claro como definir P(B) para cada passo individual, dado um valor de P(A) atualizado. 

No meu modelo Bayesiano, simplesmente assumi uma relação linear, em que se P(A) = 0%/20%/40%/60%/80%/100%, então P(B) = 50%/51%/52%/53%/54%/55%, mas a sua validade está, como é obvio, aberta ao debate. Talvez mais importante, uma vez que um indivíduo com uma probabilidade de ganhos de apostas de base de 52,5% é claramente um apostador competente por mérito próprio (só não tão competente como alguém com 55%), o que realmente estamos a medir aqui é o grau, não da probabilidade, mas da competência. 

Não obstante, esta representação gráfica da evolução da probabilidade Bayesiana fornece um nível de medida intuitivo da probabilidade (ou força) da capacidade de um apostador em conseguir lucros consistentes e como essa situação pode mudar ao longo do tempo.

Graus de incerteza

Embora a abordagem Bayesiana se concentre na probabilidade de uma hipótese (de que eu seja um apostador competente) dado um conjunto de dados fixo (os lucros e as perdas), a abordagem frequentista foca-se na probabilidade (ou frequência) dos dados determinados na hipótese. Desta feita, a hipótese é fixa – é verdadeira (100% de probabilidade) ou falsa (0% de probabilidade) de que eu seja um apostador competente – apesar de se assumir que os dados são aleatórios. 

Começando com uma crença anterior de 1% de probabilidade que de um apostador é competente, este valor sobe para 20% após 1000 apostas.

Normalmente, a abordagem frequentista começa com a hipótese nula, neste caso, não sou um apostador competente e os meus resultados de apostas são todos consequência da sorte. Em seguida, tenta calcular a probabilidade (normalmente, designada por valor p) através de um tipo de estatística na qual os dados que observámos, neste caso, o meu histórico de lucros e perdas, poderiam ter ocorrido assumindo que a hipótese nula era verdadeira.

Por fim, essa probabilidade é comparada com um valor de significância aceitável (por vezes, designado por valor α) em que se p < α (normalmente, 5% ou 1%), a hipótese nula é rejeitada em detrimento de uma hipótese válida.

As estatísticas que revi anteriormente nos Recursos de apostas da Pinnacle remetem para a pontuação T, assim designada por derivar de um teste T de Student para significância estatística. Partindo do princípio que as probabilidades de apostas são justas, a pontuação t pode ser obtida por aproximação: 

em que n = o número de apostas, r = o retorno sobre o investimento (expresso como um valor decimal) e o = as probabilidades de apostas decimais médias. A pontuação T é convertida num valor p através de tabelas estatísticas ou de uma calculadora online. No Excel, é possível utilizar a função TDIST. Observemos como isto funciona com o nosso histórico de apostas de exemplo.

O gráfico abaixo compara a série de tempo original da evolução da probabilidade Bayesiana – de que sou um apostador competente com uma crença anterior original de 50% de probabilidade (linha vermelha) – com a evolução do valor p frequentista – a probabilidade do que o que alcancei aconteceu por pura sorte, assumindo que não possuo qualquer competência (linha verde), utilizando um teste T de uma amostra e duas secções.

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Numa forma geralmente qualitativa, as duas linhas são absolutamente opostas, embora o mais provável seja que se trate de um resultado de pura sorte acima de tudo. Contudo, não devemos retirar a mensagem de que o valor p mede a probabilidade de não termos competência e que, por conseguinte, 1-p é igual à probabilidade de termos competência.

Na melhor das hipóteses, as análises Bayesiana e frequentista devem servir para relembrar o apostador de que apostar para conseguir lucros consistentes é um jogo que demora tempo.

Uma probabilidade de 5% de que o nosso histórico de lucros e perdas tenha ocorrido por sorte não é o mesmo que uma probabilidade de 95% de que tenha ocorrido em virtude da competência. Tal significa simplesmente que ao assumirmos que a hipótese nula – de que os ganhos e as perdas nas apostas são puramente aleatórios – é verdadeira, poderemos esperar que venha a ocorrer o que observámos em 5% das vezes.

A fraqueza da abordagem frequentista reside no facto de tratar a verdade como um valor absoluto. Pelo contrário, a abordagem Bayesiana considera implicitamente que a verdade é probabilística, provisória e sempre passível de falsificação. Apesar desta desvantagem, os testes da hipótese frequentista oferecem-nos uma ferramenta igualmente útil com a qual podemos analisar um histórico de apostas e determinar se é provável ter surgido de algo além da boa sorte.

Como é que os modelos frequentista e Bayesiano são comparáveis, se o último tem uma crença anterior original de apenas 1% de probabilidade (em vez de 50%) de que eu tenha competência?

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Desta vez, torna-se evidente que o nosso teste t nos encoraje a acreditar muito prontamente nas nossas capacidades de apostador competente em relação à abordagem Bayesiana, que, pelo contrário, é muito mais conservadora.

Esta situação realça ainda mais a sensibilidade da probabilidade Bayesiana a uma crença anterior inicial. Neste caso, depois de quase 700 apostas, apesar de o nosso teste t nos indicar que o nosso histórico de apostas tem apenas 3% de probabilidades de ocorrer por sorte, o Teorema de Bayes implicaria que existiriam menos de 10% de hipóteses de termos competência suficiente para conseguirmos um retorno sobre o investimento de 110% a longo prazo.

Como um apostador avesso ao risco como sou, a minha preferência iria para uma crença anterior mais conservadora em termos de competência: a menos que tivesse bons motivos para duvidar, começaria sempre por assumir que tenho poucas ou nenhuma competência.

Probabilidades de competência esperadas

A análise acima apresenta apenas um exemplo aleatório de uma série de apostas com um hipotético retorno sobre o investimento de 110%. Para proporcionar clareza visual, escolhi deliberadamente um histórico de apostas que me permitiu ilustrar as ideias debatidas.

No entanto, para ter uma imagem mais clara das expetativas, ou seja, o que devemos ver em média, temos de executar o modelo muitas vezes. Quem conhece os Recursos de apostas da Pinnacle, sabe que podemos fazê-lo através de uma simulação Monte Carlo.

O primeiro gráfico abaixo mostra os resultados de uma simulação Monte Carlo com 1000 apostas para demonstrar a evolução da probabilidade Bayesiana de que sou um apostador competente para dez taxas de vitória hipotéticas: 51% a 60% com intervalos de 1% (o equivalente a 102% a 120% de valor esperado em intervalos de 2% assumindo probabilidades justas).

As curvas foram construídas através do cálculo do valor mediano da probabilidade Bayesiana após cada aposta sequencial durante um histórico de 1000 apostas que, para esta finalidade, oferece uma melhor representação que a mediana (em que os valores baixo e alto podem afetar a interpretação). 

Assume-se que a crença anterior inicial na minha competência {p(A)} é de 1%. Sem surpresas, quanto mais elevada for a minha taxa de ganhos hipotética (e valor esperado), mais rapidamente a crença na minha competência se aproxima de 100% de probabilidades. (Quanto mais escura for a curva, mais elevada é a taxa de ganhos hipotética.) 

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Os melhores apostadores de handicap do mercado são aqueles que são normalmente capazes de conseguir 57% de taxas de vitórias. Deduzindo a margem da casa de apostas, isto converte-se em cerca de 110% de retorno sobre o investimento. Este gráfico ilustra que, se tiver pretensões de ser um apostador competente, é necessária grande parte das 1000 apostas para adquirir uma crença forte e significativa nas suas capacidades, assumindo, como é óbvio, que acreditava inicialmente que tinha poucas capacidades quando começou. 

Por outro lado, se estiver a ganhar 54% abaixo dos seus spreads, mas mesmo assim tiver lucros, pode demorar mais tempo a ter uma fé real naquilo que está a fazer. Começando com uma crença anterior de 1% de probabilidade que de um apostador é competente, este valor sobe para 20% após 1000 apostas. 

O último gráfico mostra um conjunto semelhante de valores p esperados e idealizados a partir do mesmo histórico de 1000 apostas e das mesmas dez taxas de ganhos hipotéticas. Uma vez que temos uma equação para aproximar a pontuação t para qualquer combinação de número de apostas, retorno sobre o investimento e probabilidades de apostas, não é necessária uma simulação Monte Carlo. Mais uma vez, quanto mais escuras forem as curvas, maior é a taxa de ganhos hipotética (de 51% a 60%).

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Com uma taxa de vitórias de 57%, a significância estatística (valor p < 5%) é alcançada depois de apenas 200 apostas, com uma significância estatística mais forte (valor p < 1%) a surgir depois de cerca de 335 apostas. No entanto, reiteramos que esta informação nada nos diz acerca dos nossos níveis de competência como apostadores: indica-nos simplesmente que a probabilidade deste histórico resulta da sorte, pressupondo que não existe qualquer competência. 

Além disso, estes níveis de significância estatística, tal como as probabilidades anteriores Bayesianas iniciais, baseiam-se em pouco mais que uma avaliação subjetiva. Mas, tal como o modelo Bayesiano, os testes estatísticos do valor p deverão, se tiver isto em mente, oferecer um método útil para ajudar o apostador a avaliar as suas capacidades para encontrar uma expetativa de rentabilidade consistente.

Na melhor das hipóteses, as análises Bayesiana e frequentista devem servir para relembrar o apostador de que apostar para conseguir lucros consistentes é um jogo que demora tempo. Nunca assuma que um par de vitórias são indicativas de que sabe o que está a fazer.

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