O Critério de Kelly é um tópico de debate frequente entre os apostadores. A Pinnacle publicou vários artigos sobre o assunto, de simples explicações a análises complexas. Como é que uma abordagem fracional ao Critério de Kelly funciona e será a melhor opção para os apostadores a sério? Continue a ler para ter a resposta.
No meu artigo do mês passado, revisitei o Critério de Kelly como um meio de gerir o dinheiro. Para relembrar, o critério de Kelly defende apostar na proporção da probabilidade dos ganhos e da vantagem que interpreta ter em relação às probabilidade da casa de apostas.
Curiosamente, descobri que o critério de Kelly conseguiu englobar os riscos de não conhecer com precisão a sua vantagem desde que seja preciso em termos médios. No entanto, continuava a ser evidente que Joe Peta tinha razão ao escrever: "seja qual for o cálculo do seu retorno, a variância será ridiculamente alta... e... proibitiva de investimento" na sua análise do Critério de Kelly.
Nesta continuação do tema, investigo o que podemos fazer para reduzir esses riscos de variação e que impacto terá na rentabilidade esperada.
O problema de um Kelly completo
Comenta-se frequentemente que um grande problema de Kelly é que o desenvolvimento dos fundos torna-se errático, com os lucros a serem interrompidos por perdas por vezes significativas. Por outras palavras, a evolução dos fundos é volátil.
Se relembrarmos como a dimensão de uma parada Kelly é calculada (margem – 1 / probabilidades – 1), surgem-nos grandes e repentinas desvantagens sempre que uma aposta de preço reduzido, que acreditamos encerrar uma expetativa positiva significativa, perde.
Um jogo da Ligue 1 deste mês fornece-nos um exemplo do que falamos acima. Uma casa de apostas rival avaliou o PSG com 1,35 para vencer o Caen, enquanto a Pinnacle optou por 1,20. Depois de contabilizar a margem, isto implicou uma vantagem prevista de 11,5% (pressupondo que o mercado da Pinnacle era o mais sensato) e uma percentagem de aposta Kelly de 32,8%.
O jogo do PSG contra o Caen terminou num empate e quase um terço dos fundos, de acordo com o critério de Kelly, teria sido perdido numa aposta simples. Consideravelmente, este não é o tipo de desvantagem que a maioria dos apostadores consegue tolerar, mesmo que existam outras oportunidades para aumentar os fundos numa magnitude semelhante.
As perdas causam mais impacto do que os ganhos
Para a maior parte das pessoas, mesmo para quem aprecia o risco, perdas desta magnitude causam um impacto significativamente maior do que os ganhos de magnitude semelhante. No seu livro Thinking, Fast and Slow, Daniel Kahneman explica como através de uma experiência simples.
A) Recebeu 1000 USD a adicionar à sua riqueza existente. É-lhe agora pedido que escolha uma de duas opções:
1) 50% de oportunidade de ganhar 1000 USD
2) Receber garantidamente 500 USD
B) Recebeu 2000 USD a adicionar à sua riqueza existente. É-lhe agora pedido que escolha uma de duas opções:
1) 50% de oportunidade de perder 1000 USD
2) Perder garantidamente 500 USD
Em termos de riqueza absoluta, os resultados para os problemas A e B são idênticos. Se escolher o valor garantido em A ou B, acaba com 1500 USD (a adicionar à sua riqueza existente). Se optar por apostar, acaba com 2000 USD ou 1000 USD, dependendo do resultado. Qual deles escolheria?
Quando Kahneman e o seu colega Amos Tversky experimentaram esta hipótese, descobriram que a maioria dos inquiridos preferiu a aversão ao risco (e optou pelo rendimento certo) ao deparar-se com o ganho em A, e preferiu o risco (e assumiram a aposta) ao deparar-se com uma perda em B.
Afirmações equivalentes do mesmo problema de tomada de decisões deverão surtir escolhas idênticas. Uma vez que não é o caso neste exemplo, obviamente os inquiridos não se comportaram de um modo racional. A explicação é que os problemas A e B têm diferentes pontos de partida ou de referência.
Em A, era riqueza existente mais 1000 USD e, em B, era riqueza existente mais 2000 USD. Kahneman propõe que, uma vez que poucos de nós prestamos grande atenção a estes pontos de referência, as nossas atitudes perante os ganhos e perdas não derivam da nossa avaliação dos estados absolutos de riqueza, mas sim de estados relativos. E, em termos de utilidade dos ganhos e perdas, gostamos menos de perder do que gostamos de ganhar.
Aceitaria uma aposta justa de valor constante que pudesse aumentar os seus fundos em um terço se fosse ganha, mas que reduzisse os seus fundos em um terço caso a perdesse? Se não aceitasse, como suspeito que a maioria de nós não o fizesse, demonstra uma aversão à perda. Até que ponto teria de ser elevada a probabilidade de ganhar para considerar mudar de ideias? 60%? 70%? 95%? Mais alta?
Uma explicação evolutiva da aversão à perda
A partir de uma perspetiva evolucionária, não nos surpreende que as perdas nos motivem mais que os ganhos. Tal como Kahneman explicou, os seres vivos que avaliam as ameaças com mais urgência que as oportunidades têm melhores hipóteses de sobreviver e de se reproduzirem.
Uma vez que representamos os vencedores na linha da evolução (afinal de contas, ainda andamos por cá), isso implica necessariamente que a aversão à perda seja a adaptação selecionada preferencial de acordo com a seleção natural.
Foi através da evolução que apurámos os nossos circuitos nervosos para detetarmos alterações relativas nos estímulos e não nos valores absolutos. Pode confirmar isto por si, utilizando três copos de água: um com água quente, um com água fria e o outro com uma temperatura intermédia.
Durante cerca de um minuto, deixe a mão esquerda no copo com água quente e a mão direita no copo com água fria, antes de colocar ambas as mãos no copo com água de temperatura intermédia. Apesar de ambas as mãos sentirem a mesma temperatura absoluta, a sua mão esquerda sente-se mais fria e a sua mão direita mais quente em virtude dos pontos de referência diferentes com que cada mão começou.
Refinar o Critério de Kelly com frações
Se a nossa predisposição para a aversão à perda associar necessariamente os riscos de volatilidade a paradas Kelly altas ao ponto de impedir o investimento, a solução óbvia será reduzir a dimensão das paradas Kelly. Mas como irá exatamente influenciar a rentabilidade prevista desta estratégia de gestão de dinheiro?
Várias fontes sugerem que ao reduzir para metade a dimensão das paradas Kelly, o apostador pode reduzir significativamente a volatilidade na evolução dos fundos, mantendo porém a maioria dos retornos previstos. Façamos algumas simulações para descobrirmos se está correto.
Seguindo a mesma série de 250 apostas de valor constante em que o apostador detém uma vantagem de 4% (percentagem de ganhos esperada de 52%), o primeiro gráfico abaixo mostra um exemplo de uma simulação.
São comparados quatro planos de paradas: Kelly total, meio Kelly, quarto de Kelly e oitavo de Kelly. Se uma parada de Kelly total fosse de 8%, então as paradas de meio, quarto e oitavo de Kelly seriam de 4%, 2% e 1%, respetivamente. Sem surpresas, a volatilidade ou variância na evolução dos fundos é maior para o Kelly total e menor para o oitavo de Kelly.
O gráfico seguinte também ilustra que quando o nosso desempenho for mais bafejado pela sorte que o habitual, o Kelly total terá um desempenho muito melhor em termos relativos do que as paradas fracionais correspondentes.
Mas, da mesma forma, se a sorte não estiver do nosso lado, o Kelly total enfrentará perdas muito maiores. O terceiro gráfico abaixo mostra uma série de 10 perdas sequenciais que reduziram os fundos em 30%. Para a parada de oitavo de Kelly, este valor desce para apenas 3,75%. Tal como já expliquei, estes tipos de perdas são particularmente difíceis para a maioria dos apostadores, apesar das maiores recompensas que o Kelly total tem para oferecer.
Mas estas são apenas três histórias possíveis para um apostador de valor constante com uma margem de 4%. Temos de realizar outra simulação Monte Carlo para determinarmos o que podemos esperar em média.
Fiz uma simulação Monte Carlo de 10 000 paradas a comparar os quatro planos fracionais de Kelly para a probabilidade de acabarmos com menos dinheiro do que começámos. De notar que apurámos que cerca de 14% das histórias terminaram com menos de 60% dos fundos iniciais, confirmando a crítica inicial à estratégia de Joe Peta.
Nesta nova simulação, este resultado foi replicado dentro dos limites da sorte. O conjunto completo de probabilidades é apresentado na tabela abaixo.
Embora reduzir a dimensão das paradas de Kelly não influencie significativamente a probabilidade de falhar para mostrar algum tipo de lucro após 250 apostas de valor constante, tem a vantagem de proteger de perdas significativamente maiores além de 20%.
Cortar as paradas Kelly para metade reduz em metade a probabilidade de perder 20% dos seus fundos. Reduzir novamente as paradas para metade reduz praticamente a zero. Para perdas de 40%, a redução do risco é ainda mais significativa. Mas que custo tem isso sobre a rentabilidade prevista?
O próximo quadro mostra os fundos médios e medianos após 250 apostas para cada uma das quatro estratégias.
Fundos após 250 apostas
Embora o lucro médio previsto para o meio Kelly seja significativamente inferior ao Kelly total, a expetativa mediana conta com uma redução de apenas um quarto. De lembrar que uma vez que os planos de paradas proporcionais enviesam a rentabilidade média prevista por conta de alguns fundos no fecho de dimensão muito grande, a mediana oferece, sem dúvida, uma melhor ideia do que se pode esperar que aconteça em geral. Uma mediana de 116, por exemplo, sugere que cerca de 50% dos fundos no fecho serão inferiores ou iguais a 116 e cerca de 50% serão superiores a 116. Parece-nos, então, que a redução dos riscos ao cortar as paradas Kelly ao meio (ou mais) é um preço que vale a pena pagar.
O último quadro mostra os resultados de uma segunda simulação Monte Carlo, em que o apostador detém uma margem de 8% (54% de probabilidade de ganhar). As conclusões são amplamente similares: é possível reduzir os riscos de falha significativamente ao ceder apenas uma pequena parte da rentabilidade esperada (mediana).
Kelly fracional
A versão fracional do Critério de Kelly é o melhor método de parada?
O Critério de Kelly fracional parece oferecer aos apostadores uma solução para os riscos de volatilidade associados ao Kelly total, sem ceder demasiada da vantagem que a estratégia de Kelly oferece em relação às paradas fixas. Para quem abomina grandes perdas, estas poderão ser boas notícias.
Como é óbvio, e como sempre, a batalha mais dura é saber que tem vantagem em relação às probabilidades publicadas; acreditar e saber que tem não são exatamente a mesma coisa. Não se deixe enganar pelo excesso de confiança.