dez 10, 2019
dez 10, 2019

Quantificar os retornos possíveis a partir das paradas percentuais

Quantificar os retornos possíveis a partir das paradas percentuais

Neste artigo, Joseph Buchdahl tenta quantificar o intervalo de retornos possíveis que um apostador pode esperar ter, se utilizar paradas percentuais como o seu plano de gestão de fundos. Como é que funcionam as paradas percentuais? Continue a ler para saber a resposta.

Em fevereiro de 2019, os Recursos de apostas da Pinnacle publicaram o meu artigo que modelava o intervalo de retornos de apostas possíveis de um apostador. Em torno de um desempenho esperado, há uma distribuição de resultados possíveis influenciados pela sorte e pelo azar, definidos pela matemática da distribuição normal. Para ajudar os apostadores a visualizar isto, disponibilizei uma calculadora simples da distribuição do desempenho.

Esta análise considerava apenas paradas da mesma dimensão (paradas constantes). Embora eu seja um grande defensor desta estratégia de gestão de fundos, outros apostadores preferem, com toda a razão, outra estratégia. A mais comum é apostar uma parada percentual com base na dimensão atual dos fundos de cada um.

Como é natural, o método acima mencionado é conhecido como paradas percentuais. É uma estratégia que já abordei antes na Pinnacle em comparação com as paradas constantes. A versão mais simples é apostar a mesma percentagem para cada aposta, independentemente das probabilidades. Versões mais sofisticadas, como as paradas de Kelly, defendem levar em consideração tanto as probabilidades como a dimensão do valor esperado de cada um ao definir o tamanho da percentagem.

Como é que funcionam as paradas percentuais?

Suponhamos que um apostador possui 100 unidades nos seus fundos. Decide então que quer apostar 1% dos fundos nas suas apostas. A primeira aposta será, portanto, de 1 unidade. Se a apostar tiver sucesso com probabilidades de 2,00, os fundos passarão então a ter 101 unidades. Assim, a aposta seguinte terá uma parada de 1,01 unidades, que corresponde a 1% de 101. Se tivesse perdido a primeira aposta, os fundos ficariam com 99 unidades e a aposta seguinte teria uma parada de 0,99 unidades.

As paradas de Kelly definem especificamente o valor da percentagem que deve ser aplicado, ao dividir o valor esperado pelas probabilidades decimais menos 1. Por exemplo, uma aposta com probabilidades de 3,00 com um valor esperado de 10% ou 0,1 receberia uma parada percentual de 0,1 / 3 – 1 = 5%. Há aquelas pessoas que afirmam que as paradas de Kelly envolvem demasiado risco para serem consideradas uma estratégia realista de gestão de fundos, já que pode por vezes aconselhar percentagens muito elevadas. Para moderar este risco, considera-se muitas vezes a estratégia fracional de Kelly.

A distribuição enviesada dos retornos possíveis a partir das paradas percentuais

O gráfico abaixo (reproduzido a partir do meu artigo anterior na Pinnacle) compara a distribuição dos retornos possíveis para paradas constantes versus paradas percentuais para um cenário de apostas produzido através de uma simulação de Monte Carlo. Comparativamente às paradas constantes, as paradas percentuais podem dar origem, com um pouco de sorte, a fundos muito avultados.

A distribuição tem aquilo que denominamos de viés positivo. Neste cenário, alguns lucros foram consideravelmente maiores do que 7000 unidades, mas para fins de transparência, omiti-os.

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Quantificar os retornos em termos matemáticos

Na verdade, para o mais simples dos cenários em que as probabilidades e a percentagem da parada de cada aposta são iguais, não precisamos de recorrer a uma simulação de Monte Carlo; é possível produzir a distribuição em termos matemáticos.

Consideremos o exemplo a seguir. Um apostador faz a sua primeira aposta com um valor constante com uma parada de 10%. Se ganhar a aposta, os seus fundos serão então de 110% (ou 1,1) vezes o valor original dos fundos. Se perder a aposta, será apenas de 90% (ou 0,9) vezes os fundos originais. O mesmo acontece após cada aposta sequencial. Consequentemente, se o apostador apostar 10 vezes e tiver seis apostas vencedoras, podemos facilmente calcular o crescimento dos seus fundos da seguinte forma:

Crescimento dos fundos = 1,16 x 0,94 = 1,162 ou 116,2%

Não importa em que ordem se ganham ou se perdem as apostas. O apostador podia começar a ganhar seis apostas e acabar a perder quatro apostas; ou podia começar a ganhar quatro apostas e acabar a perder seis apostas; ou qualquer outra das 210 formas possíveis totais de organizar esta combinação de apostas ganhas e perdidas. Acabará mesmo assim com 116,2% daquilo com que começou.

Assim, para n apostas com paradas de S% e w vencedores:

Crescimento dos fundos = (1 + S)w(1 – S)n-w

O maior crescimento dos fundos na minha simulação de Monte Carlo foi de 948,8. Não guardei os números concretos de apostas ganhas/perdidas, mas sabendo que havia 1000 apostas com probabilidades de 2,0 e paradas de 5%, posso utilizar esta fórmula para determinar que o número concreto de vencedores foi de 581.

Além disso, se soubermos o valor esperado (VE) das nossas apostas, podemos calcular a taxa esperada de crescimento dos fundos da seguinte forma:

Crescimento esperado dos fundos = {(VE x S) +1}n

Por exemplo, se o VE deste apostador for 20% ou 0,2, o crescimento esperado (ou médio) dos seus fundos será obtido ao calcular {(0,2*0,1)+1}10 = 1,0210 = 1,219 ou 121,9%. Os leitores poderão observar que isto é superior ao crescimento associado a ganhar seis em dez apostas de parada constante, que é o que fica implícito com um VE de 20%.

Tal acontece porque o crescimento dos fundos para mais apostas ganhas contribui de forma desproporcional mais para a média do que para aqueles com menos apostas ganhas – lembre-se que a distribuição dos retornos possíveis é positivamente enviesada. Assim, embora o crescimento dos fundos mais típico (mediano) neste exemplo seja de 116,2%, o valor esperado (ou médio) será de 121,9%.

Evidentemente, parte-se aqui do princípio de que o VE é o mesmo para todas as apostas, uma enorme simplificação excessiva, mas necessária para definir os aspetos matemáticos.

Se reescrevermos (VE x S) + 1 como o fator de crescimento esperado dos fundos, F, então teremos:

Crescimento esperado dos fundos = Fn

e, assim:

n = LogF(Crescimento esperado dos fundos)

, em que F representa a base do logaritmo.

No caso das apostas com a mesma parada percentual e VE, o logaritmo do crescimento esperado dos fundos será proporcional ao número de apostas. Da mesma forma, o logaritmo do crescimento real dos fundos será também proporcional ao número de apostas ganhas. Tal é demonstrado visualmente aqui para o nosso apostador de exemplo. O segundo gráfico é igual ao primeiro, mas com um eixo y logarítmico.

Poderá ter reparado que cinco apostas ganhas e cinco apostas perdidas, o que para um apostador de paradas constantes resultaria num retorno equilibrado entre apostas ganhas e perdidas, resultam numa perda ligeira com as paradas percentuais (crescimento dos fundos = 0,951). É preciso um crescimento de maior percentagem para recuperar de uma perda anterior, mas se as percentagens para as paradas permanecerem as mesmas, uma aposta ganha a seguir a uma aposta perdida não deverá recuperar a parada inicial perdida. Da mesma forma, uma aposta perdida a seguir a uma aposta ganha deverá causar uma perda maior do que ganhou inicialmente na sua primeira aposta. O mesmo acontece ao longo de 10 apostas (ou para qualquer número de apostas). Se o crescimento dos fundos para uma aposta ganha e para uma aposta perdida for de 0,99 (1,1 x 0,9), então para cinco apostas ganhas e cinco apostas perdidas é de 0,995 = 0,951.

A distribuição enviesada dos retornos a partir das paradas percentuais é log-normal.

Se o número de apostas ganhas numa série de apostas for proporcional ao logaritmo do crescimento dos fundos, devemos esperar ver uma distribuição log-normal do crescimento possível dos fundos.

Uma distribuição log-normal é aquela em que o logaritmo dos dados está normalmente distribuído (a familiar curva em forma de sino). Abaixo, representei graficamente a distribuição da frequência do logaritmo natural (Ln) dos 10 000 crescimentos observados dos fundos a partir da mesma simulação de Monte Carlo que mencionei anteriormente.

Em vez de transformar os valores do crescimento dos fundos em termos logarítmicos, posso antes apresentar os valores originais utilizando uma escala logarítmica. Os resultados são visualmente equivalentes.

O crescimento esperado ou médio dos fundos para esta amostra de Monte Carlo era de 12,2. Como é que este valor se compara ao valor calculado a partir dos primeiros princípios utilizando a equação acima? Com um VE de 5% (0,05) para as 1000 apostas e um tamanho de parada de 5% (ou 0,05), a resposta é 1,00251000 = 12,1, uma correspondência excelente. Como seria de esperar, o crescimento mediano dos fundos (o centro da distribuição) foi consideravelmente inferior com um valor de 3,49, sendo apenas 21,7% dos valores do crescimento dos fundos superiores ao valor esperado de 12,2. Lembre-se: alguns fundos de dimensões muito grandes enviesam positivamente a média.

Estimar a possibilidade do crescimento dos fundos

Haverá uma forma de calcular a possibilidade de alcançar um determinado crescimento dos fundos? Podemos olhar para o gráfico acima e fazer estimativas visuais, embora dada a escala logarítmica, não seja uma tarefa fácil. Em alternativa, podemos simplesmente contar o número de vezes que os fundos terminaram acima de um determinado limiar. Nesta amostra de Monte Carlo, por exemplo, um dos fundos terminou com mais do que tinha começado (crescimento dos fundos = 1) em 78,5% das vezes e, pelo menos, duplicou o seu valor em 63,5% das vezes.

Contudo, utilizando o Excel, há um método mais fácil. Tendo calculado o logaritmo natural (ao utilizar a função =Ln) para todos os valores simulados de crescimento dos fundos, então é possível utilizar a função a seguir:

1 – LOGNORM.DIST(x,média,desv_padrão,verdadeiro)

em que x é o valor limiar escolhido de crescimento dos seus fundos (por exemplo, 2 para duplicar), “média” e “desv_padrão” são a média e o desvio padrão, respetivamente, dos valores do seu logaritmo natural, e “verdadeiro” garante uma possibilidade cumulativa. Utilizando esta fórmula, estimou-se que a possibilidade de terminar com mais fundos do que se tinha ao começar (x = 1) era de 78,2%, a possibilidade de duplicar os seus fundos (x = 2) era de 63,6% e a possibilidade de exceder as expetativas (x = 12,2) era de 21,7%, quase os mesmos valores que na contagem.

Calculadora de fundos com paradas percentuais

Desde que todas as nossas apostas tenham as mesmas probabilidades e paradas percentuais, podemos criar uma calculadora para colocar a nossa equação de crescimento dos fundos a funcionar, ao representarmos graficamente a distribuição dos valores possíveis do crescimento dos fundos para diferentes taxas de apostas ganhas/perdidas. Utilizando uma calculadora no Excel que criei para o meu próprio site, os gráficos abaixo mostram resultados para diversos cenários de apostas.

O primeiro compara o desempenho de três probabilidades de apostas diferentes que utilizam um plano de paradas completas de Kelly ao longo de 1000 apostas. Com apostas que possuem um VE de 5%, as paradas percentuais para probabilidades de 1,5, 2,0 e 5,0, respetivamente, são de 10%, 5% e 1,25%. O crescimento esperado dos fundos para estes três cenários de probabilidades é de 147, 12,1 e 1,87, enquanto os valores medianos de crescimento dos fundos são de 12,7, 3,49 e 1,36. A distribuição a verde é, efetivamente, uma correspondência para a distribuição de Monte Carlo acima, dado que os valores introduzidos para o modelo eram os mesmos.

O gráfico seguinte mostra como a distribuição do crescimento dos fundos varia com o VE. Apresentamos três cenários: 1%, 3% e 5%, todos com probabilidades de 2,0 e 1000 apostas e novamente com uma parada total de Kelly (1%, 3% e 5%, respetivamente). O crescimento esperado e mediano dos fundos para estes eram de 1,11, 2,46 e 12,1, e de 1,05, 1,57 e 3,49.

O terceiro gráfico ilustra como a distribuição do crescimento dos fundos se altera quando reduzimos o tamanho da fração de Kelly. Com probabilidades de 2,0 e um VE de 5%, as paradas na totalidade, a meio e a um quarto de Kelly são de 5%, 2,5% e 1,25% respetivamente. O crescimento esperado e mediano dos fundos para estes eram de 12,1, 3,49 e 1,87, e de 3,49, 2,55 e 1,73.

Como se mencionou anteriormente, o critério fracional de Kelly é muitas vezes defendido para riscos moderados. A distribuição acima ilustra porquê. Embora a possibilidade de um mau desempenho seja significativamente reduzida (compare a área à esquerda do crescimento dos fundos = 1 para as distribuições a verde e a azul), os fundos medianos são apenas marginalmente mais pequenos (2,55 comparativamente a 3,49).

É certo, o crescimento esperado (médio) dos seus fundos é muito maior com a parada total de Kelly, mas na maior parte do tempo, o apostador não conseguirá ver isso. A mediana é, sem dúvida, uma medida melhor do que deverá esperar que aconteça neste contexto. Com a parada total de Kelly, ainda tem 21,5% de hipóteses de perder. Para metade da parada de Kelly, esse valor diminui para 11,8%.

Crescimento esperado e mediano dos fundos

Podemos utilizar a calculadora para ver como o crescimento esperado dos fundos irá variar em função do número de apostas. A partir das nossas equações indicadas acima, já sabemos que será uma questão logarítmica. O crescimento mediano dos fundos também varia em termos logarítmicos.

Finalmente, veja como o crescimento mediano dos fundos varia com o seu VE. Uma vez mais, este cenário diz respeito a probabilidades de 2,0, mas pode criar gráficos semelhantes para outras probabilidades de apostas.

Probabilidades variáveis, paradas variáveis

As equações e a calculadora descreveram contar com que todas as apostas tivessem as mesmas probabilidades e a mesma parada percentual. Até que ponto serão sólidos esses resultados em cenários reais em que ambas podem variar? Fazer testes com as simulações de Monte Carlo revela que as probabilidades podem variar consideravelmente sem afetarem demasiado a fiabilidade dos resultados da calculadora, mas apenas desde que as paradas percentuais se mantenham as mesmas. Obviamente, isso não acontecerá com as paradas de Kelly.

A calculadora também é fiável quanto às paradas percentuais variáveis, por exemplo, aquelas aconselhadas pela estratégia de Kelly, desde que as probabilidades não variem muito. Um exemplo típico seria o handicap asiático ou os spreads de pontos, em que a maioria das probabilidades ronda os 1,95, com um desvio mínimo.

A fiabilidade é menor quando o VE para estes tipos de apostas também varia, mas uma vez mais desde que nem as probabilidades nem o VE para essas apostas variem demasiado, a calculadora oferece um método razoável para fornecer estimativas rápidas quanto à expetativa de desempenho.

Sabemos que definir as expetativas a partir de paradas constantes é relativamente simples. No entanto, este artigo mostrou que podemos fazer o mesmo para as paradas percentuais. Embora os desempenhos com paradas constantes tenham uma distribuição normal, aqueles com paradas percentuais têm uma distribuição log-normal. Utilizando esta informação, consegui desenvolver uma calculadora simples para ajudar os apostadores a definirem o seu intervalo de expetativas, caso escolham seguir esta estratégia de gestão de fundos.

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