Uma comparação entre paradas constantes e paradas percentuais

Paradas constantes vs. paradas percentuais

Distribuição dos rendimentos de paradas constantes versus paradas percentuais

A assimetria das perdas e ganhos percentuais

Uma comparação entre paradas constantes e paradas percentuais

Neste artigo, comparamos as estratégias de paradas constantes e de paradas percentuais. Que método de paradas produz um rendimento esperado superior? De que forma é que as distribuições de rendimento são diferentes entre as duas? Continue a ler para saber a resposta.

Os Recursos de apostas da Pinnacle já compararam e opuseram anteriormente várias estratégias de paradas diferentes. Analisei a rentabilidade esperada e os riscos de bancarrota dessas estratégias. No meu artigo mais recente, quero comparar especificamente os dois planos habitualmente mais utilizados: as paradas constantes versus as paradas percentuais. 

Paradas constantes

Com uma estratégia de paradas constantes, todas as paradas têm a mesma dimensão, independentemente de quais são as probabilidades de aposta. Alguns apostadores consideram as paradas constantes demasiado inflexíveis no sentido em que não levam em consideração a possibilidade de a sua aposta ganhar – ou antes, o risco de perder a sua aposta. 

Por exemplo, por que motivo haveria de querer arriscar a mesma quantia de capital em algo que tem metade, ou um quarto, ou um oitavo de hipóteses de outra coisa acontecer? Será que não faz mais sentido alargar as paradas para que sejam proporcionais ao risco associado com a aposta? 

A curto prazo, tal argumento tem os seus méritos; a longo prazo, talvez não tanto. Apostar com probabilidades mais longas significa que está mais à mercê da variação estatística, ou da sorte e do azar. Mais sorte pode significar mais lucro. Infelizmente, o corolário é de que mais azar implica mais perdas. 

No entanto, quanto mais longo for o seu histórico de apostas, menor se torna essa variação. A sorte e o azar ficam equiparados. Os leitores do meu artigo do mês passado poderão lembrar-se da fórmula simples que utilizei para calcular o spread (ou desvio padrão, σ) de retornos possíveis (%) ao apostar n paradas constantes com probabilidades "justas" de σ. 

σ=√(o-1)/√n

Ter quatro vezes o número de apostas reduzirá a metade o spread estatístico das possibilidades. Apostar com probabilidades mais longas aumenta o leque de possibilidades, mas este ainda assim diminuirá com o número crescente de apostas. 400 apostas com probabilidades de 5, por exemplo, terá o mesmo leque de possibilidades que 100 apostas com probabilidades de 2.

Apostar a mesma parada com probabilidades mais longas implica, de facto, um risco maior de perda de capital numa base de aposta a aposta. Mas a mais longo prazo, o apostador não estará a desistir de ganhos potenciais ao reduzir essas paradas (desde que, é claro, seja um apostador que detém um valor esperado positivo). 

Apostar para ter o mesmo lucro independentemente das probabilidades significa que se terá menos lucro ao ganhar com probabilidades mais longas, simplesmente pelo facto de que ganha com menos frequência. Poderemos perguntar-nos se valerá sequer a pena aborrecermo-nos em apostar com probabilidades mais longas.

Paradas percentuais

As paradas percentuais ou proporcionais calculam as paradas como uma proporção dos seus fundos atuais disponíveis; assim, elas aumentarão à medida que os seus fundos aumentam depois de ganhar, e diminuirão à medida que os fundos diminuem depois de perder. Os defensores de um plano específico de paradas percentuais, o critério de Kelly, argumentam que esta é a forma mais eficiente de aumentar os fundos disponíveis, embora tal só se possa conseguir ao exigir uma atitude bastante agressiva em relação à gestão do risco

De modo mais geral, o seu encanto reside no facto de permitir a um apostador vencedor aumentar os seus fundos de forma mais rápida do que conseguiria ao fazer simplesmente apostas constantes. Também vale a pena recordar-nos de que, pelo menos em teoria, nunca ficaremos falidos a fazer apostas de paradas percentuais, já que mesmo que perdesse cada uma das apostas, nunca está a comprometer a totalidade dos seus fundos restantes e apenas uma proporção dos mesmos. 

Não obstante, é a interação de perder e ganhar consecutivamente que resulta nalgumas observações bastante interessantes, quando comparamos o desempenho desta estratégia de gestão de capital com paradas constantes, conforme veremos adiante. 

Distribuição dos lucros de paradas constantes versus paradas percentuais

Consideremos um histórico de 1000 apostas com probabilidades de 2,00, em que o apostador detém um valor esperado (VE) de 5%, ou seja, a expetativa de obter $105 por cada $100 apostados. O histograma abaixo mostra igualmente o spread de lucros para as apostas constantes (5 unidades) e para as paradas percentuais (5%) a partir de uma simulação de Monte Carlo com uma série de 10 000 apostas. 

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Para as paradas constantes, o spread de lucros possíveis segue a curva de distribuição normal habitual em forma de sino, como seria de esperar. O lucro médio (e mediano) é de 250 unidades, que é aquele que seria de esperar depois de efetuar apostas de 5000 unidades e detendo uma vantagem de 5%. 

Para as paradas percentuais, a forma da distribuição é marcadamente diferente e apresenta um desvio acentuado em direção à extremidade com a maior rentabilidade. Uma vez mais, não será provavelmente assim tão surpreendente, uma vez que um desempenho de sucesso poderia fazer com que os fundos e as paradas aumentassem exponencialmente. 

Interrompi o gráfico com um lucro de 7000 unidades apenas para fins de clareza, mas o maior lucro obtido na série de 10 000 apostas foi de quase 95 000 unidades. Este desvio tem uma influência significativa no lucro médio. Embora a mediana seja ainda de 250 (sugerindo que cerca de metade seja menos e metade seja mais lucrativo), a média é de 1120, ponderada por alguns lucros muito grandes que a simulação de Monte Carlo apresentou. 

Olhe com atenção para o lado esquerdo dos histogramas. Verá que existem mais resultados insuficientes com as paradas percentuais do que com as paradas constantes. Nesta simulação, cerca de 21% dos apostadores não tiveram lucro comparativamente com apenas cerca de 5% para as paradas constantes. 

Distribuição dos rendimentos de paradas constantes versus paradas percentuais

Em vez de comparar os lucros, vamos agora comparar a percentagem de rendimento dos dois planos de paradas. Sem dúvida, para um histórico de paradas percentuais muito lucrativo, o volume total das paradas será muito maior. 

Um lucro de paradas percentuais, por exemplo, observou um lucro de 2462 unidades (comparado com as 440 das paradas constantes), mas para alcançá-lo, foram apostadas 33 699 unidades (comparado a 5000 unidades das paradas constantes). Na verdade, neste exemplo, o lucro sobre o volume ou o rendimento foi menor para as paradas percentuais (6,85%) do que para as paradas constantes (8,80%). É uma situação normal? O gráfico seguinte mostra como todos os rendimentos foram distribuídos pela simulação completa de Monte Carlo. 

O rendimento médio das paradas constantes foi de 5,00%. Comparemos isto com a média das paradas percentuais, que foi apenas metade deste valor, ficando nos 2,51%. O gráfico ilustra ainda quantos mais resultados possíveis não obtêm lucro quando se aposta com paradas percentuais comparativamente a apostar com paradas constantes. 

Podemos modificar os parâmetros da simulação: por exemplo, probabilidades de aposta diferentes e valores esperados (VE) diferentes mantidos pelo apostador. 

Para este artigo, escolhi 40 pares diferentes de VE/probabilidades. Para limitar ainda mais o número de combinações possíveis de parâmetros, considerei apenas o tamanho das paradas percentuais equivalente àquele ditado pela estratégia completa de paradas de Kelly, calculada por VE/probabilidades -1, em que VE é expresso como uma percentagem. 

Por exemplo, para a situação hipotética já debatida (VE = 5%, Probabilidades = 2,00), a percentagem de Kelly é de 5% / (2,00 – 1) = 5%. Abaixo, apresentamos as paradas percentuais para todas as 40 combinações. Para as situações hipotéticas de paradas constantes, utilizou-se a magnitude da percentagem. Assim, para a combinação de VE = 3%, probabilidades = 3,00, a qual implica tamanhos de paradas de 1,5%, foram utilizadas paradas constantes de 1,5 unidades. 

Tamanhos de paradas percentuais para diferentes pares de VE/probabilidades 

As próximas duas tabelas comparam os rendimentos médios alcançados a partir das simulações de Monte Carlo. Para as paradas constantes, os rendimentos estão em linha com a expetativa, mais ou menos um pouco do ruído aleatório, que teria esmagado os meus recursos informáticos limitados, caso o quisesse reduzir ainda mais.

Pelo contrário, os rendimentos das paradas percentuais são geralmente cerca de metade desses valores. Tal conclusão é verdadeiramente inesperada e talvez nada intuitiva, embora o debate que se segue irá revelar por que tal acontece. 

Rendimento médio após 1000 apostas com paradas constantes 

 

Rendimento médio após 1000 apostas com paradas percentuais 

Possibilidade de não se ter lucro

Até os apostadores perspicazes que detêm um valor esperado de lucro enfrentam uma possibilidade não nula de não conseguirem ter lucro ao longo de um histórico de apostas especificado. Naturalmente, a lei dos grandes números significa que a possibilidade diminui à medida que o seu histórico de apostas aumenta. Apesar disso, vale a pena considerar essas possibilidades para estes históricos simulados de 1000 apostas com o objetivo de comparar as paradas constantes e as paradas percentuais. 

As últimas duas tabelas mostram a possibilidade de cada combinação de VE/Probabilidade não conseguir resultar em lucro com base em séries simuladas de 10 000 apostas. 

Uma vez mais, tal como para o rendimento médio, haverá um pouco de ruído aleatório residual, mas o padrão mais amplo é claro: há sempre uma maior possibilidade de não conseguir ter lucro ao apostar com paradas percentuais em comparação a apostar com paradas constantes, independentemente das probabilidades com que aposta ou do VE que detém e, às vezes, a magnitude da diferença é considerável. 

Possibilidade de não ter lucro ao fim de 1000 apostas com paradas constantes

Possibilidade de não ter lucro ao fim de 1000 apostas com paradas percentuais

Em jeito de exemplo, um apostador no handicap razoavelmente perspicaz (probabilidades em torno de 2,00) que detenha uma vantagem de 3% sobre a casa de apostas poderia esperar apresentar perdas depois de 1000 apostas de 3 unidades cerca de 1 em cada 6 vezes. Se, pelo contrário, ele escolhesse apostar paradas de 3%, isso daria origem a quase 1 em cada 3.

Uma explicação: a assimetria das perdas e ganhos percentuais

Por que motivo é que as paradas percentuais parecem ser inferiores às paradas constantes, pelo menos em termos dos rendimentos esperados e da capacidade de apresentar lucro? A explicação simples é que é preciso uma maior percentagem de crescimento para recuperar de uma perda anterior. 

Vamos considerar o exemplo de uma aposta de valores constantes. Perder uma parada de 5% baixa um fundo com 100 unidades para 95 unidades. Para recuperar, é necessário um lucro de 5/95 ou 5,26%, mas a estratégia de paradas percentuais defenderia apenas que a aposta seguinte fosse de 4,75 unidades e ganhá-la com umas probabilidades de 2,00 colocaria novamente os fundos em 99,75. Pelo contrário, o fundo das paradas constantes estaria ainda com 100 unidades. 

O problema é idêntico, mas ao contrário. Perder uma aposta de valor constante após uma vitória anterior de valor constante perderia mais capital absoluto do que foi ganho anteriormente. Neste exemplo, independentemente se ganha ou perde primeiro, o seu fundo vai acabar com 99,75, ou seja, menos do que a quantia com que começou, apesar de teoricamente deter um valor esperado de 0% para este par de apostas. 

De um modo mais geral, e independentemente das probabilidades de apostas, quando se perde, demora-se mais para recuperar; quando se ganha, demora-se menos tempo até perder novamente. 

É claro que, em termos puramente monetários, um apostador que detenha um valor esperado de lucro comprovado terá mais lucro absoluto do que a sua contraparte de paradas constantes. Esse é, afinal, o objetivo das paradas percentuais. 

No entanto, este exercício foi um lembrete útil de que, como tudo o resto no jogo, há sempre uma compensação entre o risco e a recompensa.

Em troca de uma aceleração mais agressiva de lucros do que as paradas percentuais oferecem, é preciso aceitar uma maior possibilidade de obter resultados piores do que aqueles se esperam (e, potencialmente, de perder dinheiro) simplesmente devido à natureza assimétrica da distribuição de resultados possíveis.

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