abr 30, 2018
abr 30, 2018

Revisitar o Critério de Kelly: uma avaliação do risco

O que é o Critério de Kelly?

Até que ponto é que o Critério de Kelly é arriscado?

Por que motivo é importante conhecer a sua vantagem

Revisitar o Critério de Kelly: uma avaliação do risco

Utilizar um método de paradas (ou estratégia de gestão de dinheiro) é um componente fundamental para obter um lucro consistente com as apostas. O Critério de Kelly é, muitas vezes, referido como a melhor opção a utilizar por diversos motivos, mas como é que funciona na prática? Até que ponto é que o Critério de Kelly é arriscado? Continue a ler para ter a resposta.

Muito se tem dito sobre o Critério de Kelly como sendo a estratégia mais eficiente para fazer a gestão do dinheiro de forma a maximizar a taxa de crescimento dos fundos de um apostador vencedor. Os Recursos de apostas da Pinnacle produziram diversos artigos que analisam o que o Critério de Kelly faz, como funciona e as suas vantagens e desvantagens. Neste artigo, ofereço uma avaliação simples do risco do método de paradas.

O que é o Critério de Kelly?

Dominic Cortis, autor da Pinnacle e matemático da Universidade de Malta, descreve o Critério de Kelly como um meio para calcular a proporção dos seus próprios fundos a apostar num resultado, cujas probabilidades são mais elevadas do que é esperado, para que os seus fundos cresçam exponencialmente.

Desenvolvido por John Kelly enquanto trabalhava nos Bell Labs da AT&T em 1956, o Critério de Kelly proporciona uma forma economicamente justificada e matematicamente precisa de calcular os tamanhos ideais das apostas que maximizam o crescimento geral dos fundos ao levar em consideração a taxa esperada de retorno e o risco. Isto traduz-se pela simples equação a seguir:

Percentagem da parada de Kelly = Vantagem – 1 / Probabilidades – 1

A vantagem é, simplesmente, o "avanço" que detém (ou pensa que detém) sobre as probabilidades de aposta reais da casa de apostas. Por exemplo, se achar que as probabilidades justas de um resultado são 2,00 (uma hipótese de 50% de sucesso), mas a casa de apostas oferece-lhe 2,10, pode calcular a sua vantagem como 2,10/2,00 = 1,05.

Uma "vantagem" é apenas outra forma de descrever o valor esperado. As probabilidades na equação acima devem ser escritas em notação decimal. Assim, para este exemplo, a sua percentagem da parada de Kelly seria 0,05 ou 5%.

O Critério de Kelly é um exemplo de um método de paradas proporcionais, em que os tamanhos das paradas são proporcionais ao tamanho dos seus fundos existentes e irão, portanto, aumentar ou diminuir à medida que os seus fundos aumentam ou diminuem também, contrariamente aos montantes de parada nivelados, em que as paradas têm um tamanho fixo pré-determinado.

O aspeto especial no Critério de Kelly é que ele também leva em conta o tamanho da sua vantagem percebida e o comprimento das probabilidades de apostas. Quanto maior for a sua vantagem e/ou quanto mais curtas forem as probabilidades de apostas, maior será a parada que irá arriscar.

Evidentemente, há problemas associados com o cálculo das percentagens das paradas de Kelly quando aposta em mais de um resultado ou de um jogo em simultâneo; a Pinnacle publicou um artigo sobre esse assunto. No entanto, no resto deste artigo, irei considerar apenas a forma simplificada do Critério de Kelly aplicável a uma aposta de cada vez.

Até que ponto é que o Critério de Kelly é arriscado?

Como estratégia de gestão de dinheiro proporcional, deve ser bastante evidente que não poderá em falência técnica ao utilizar o Critério de Kelly. Quanto mais perder, mais pequenas serão as paradas seguintes, mas em termos teóricos nunca chegaria a zero. 

Ao contrário dos jogos de casino que se baseiam em algoritmos matemáticos, "conhecer" a verdadeira probabilidade de um sistema complexo, como é um jogo de futebol, é efetivamente impossível.

Contudo, em termos práticos, chegará obviamente a um limite em que as perdas alcançadas seriam consideradas inaceitáveis. Assim, talvez seja mais apropriado considerar as variações no tamanho dos seus fundos e se as suas preferências de risco serão robustas o suficiente para lidar com tais variações.

Joe Peta, autor convidado da Pinnacle e corretor na bolsa, defendeu anteriormente que o problema em utilizar o Critério de Kelly é que, "independentemente do retorno esperado que calcula ter, a sua variação será ridiculamente e, na minha opinião, desinvestidoramente elevada". Pede-nos que consideremos um apostador hipotético que ganha 52% das suas apostas com probabilidades de 2,00. O Critério de Kelly sugere uma percentagem de parada de 4%. 

Utilizando uma série de 250 apostas, Peta afirma que há mais de 10% de hipótese de os seus fundos ficarem com menos cerca de 40% no final. Estará certo? 

Parece que anda lá perto. Utilizando estes parâmetros numa simulação de Monte Carlo com 10 000 apostas, 14% dos fundos terminaram com menos de 60% dos fundos iniciais. Este valor compara-se a apenas 9% relativamente a uma estratégia de paradas niveladas, estando cada uma das 250 paradas fixada em quatro unidades (com um fundo inicial de 100 unidades).

A tabela abaixo ilustra a comparação mais ampla entre o Critério de Kelly versus as paradas fixas. Como defendi num artigo anterior, embora o método de apostas proporcionais seja mais adequado para otimizar a lucratividade (nesta simulação, a média de fecho dos fundos para as paradas do Critério de Kelly e fixas era de 149 e 140 unidades, respetivamente), demora mais tempo a recuperar de períodos de perdas.

A maior proporção de fundos que apresentam perdas no fecho é simplesmente uma consequência da maior variação nos fundos que o método de paradas proporcionais introduz. Quase quatro em cada dez destas simulações terminaram com perdas utilizando as paradas do Critério de Kelly, comparativamente a apenas uma em quatro no método de paradas fixas.

Comparação do Critério de Kelly

Fundos no fecho

Paradas de Kelly (4%)

Paradas fixas (4 unidades)

<100%

38%

24%

<80%

24%

17%

<60%

14%

9%

<40%

4%

6%

<20%

0%

2%

Como é que os riscos se alteram se detivermos uma vantagem maior? Voltei a realizar a simulação para uma probabilidade de vitória de 54% para qualquer aposta de valor monetário constante, com uma parada de Kelly de 8%. Muito poucos apostadores conseguirão alcançar esses números a longo prazo.

Nem é preciso dizer que, se acha que irá ganhar 52% das suas apostas de valor constante, mas acabar por ganhar apenas 49% delas, perderá dinheiro a longo prazo.

Compreensivelmente, com o dobro da vantagem ou do valor esperado para cada aposta, a lucratividade esperada é agora consideravelmente melhor para o Critério de Kelly face às paradas fixas (fundos médios de fecho de 494 e 260, respetivamente). Infelizmente, isto acontece às custas de uma variação consideravelmente maior no desempenho.

Os fundos de fecho médios ou esperados são mais elevados porque estão enviesados por um pequeno número de fundos muito grandes. Contudo, existem muitos mais fundos medíocres e com perdas comparativamente à estratégia de paradas fixas, com um fundo de fecho médio de apenas 223. A probabilidade de perder 40% da sua riqueza depois de 250 apostas de valor constante com uma vantagem de 8% ao seguir uma estratégia de Kelly continua a ser de 14%. Sem dúvida, Joe Peta defenderia que nenhum investidor financeiro com respeito próprio a mostrar um retorno de 8% sobre o investimento aceitaria tal risco.

Comparação do Critério de Kelly

Fundos no fecho

Paradas de Kelly (8%)

Paradas fixas (8 unidades)

<100%

29%

9%

<80%

21%

7%

<60%

14%

6%

<40%

9%

4%

<20%

3%

3%

Conhecemos realmente a nossa vantagem?

Estas simulações partem do princípio de que sabemos exatamente qual é a possibilidade de ganhar e, daí, que vantagem detemos sobre as probabilidades da casa de apostas. No entanto, como Joe Peta nos recorda, modelar os resultados das apostas desportivas não é como contar cartas no blackjack.

Ao contrário dos jogos de casino que se baseiam em algoritmos matemáticos, "conhecer" a verdadeira probabilidade de um sistema complexo, como num jogo de futebol, é efetivamente impossível. As implicações para o sucesso da estratégia de Kelly de não saber precisamente qual é a sua vantagem sobre as probabilidades da casa de apostas foram discutidas recentemente no meu feed do Twitter. Propus-me descobrir exatamente qual seria o impacto.

Só é necessário conhecer a sua vantagem média com precisão ao determinar quanto apostar com o Critério de Kelly e ao gerir os seus riscos.

Nem é preciso dizer que, se acha que irá ganhar 52% das suas apostas de valor constante, mas acabar por ganhar apenas 49% delas, perderá dinheiro a longo prazo, independentemente do método de paradas que seguir. Aqui, temos mais interesse em saber se não conhecer com exatidão a vantagem que detemos para cada aposta aumentará as variações e os riscos associados com o Critério de Kelly.

Um historial de apostas de longo prazo dar-nos-á uma pista quanto ao que poderá ser a sua vantagem média. Se conseguir um retorno de 1050 € a partir de mil apostas de 1 €, poderá razoavelmente partir do princípio de que detém uma vantagem de 5% em média. Outra forma de estimar uma vantagem é comparar as avaliações com que aposta com as avaliações de fecho do mercado.

Se apostar com uma avaliação de 2,10 e a Pinnacle fechar a 2,00, a minha análise de dados sugere que teria uma vantagem de 5% (descontando a margem de apostas). Mas tal análise baseava-se na agregação de grandes números de jogos de futebol. Embora uma vantagem média possa estar implícita, não podemos utilizá-la para partir do princípio de que é a mesma para todas as apostas. Com tanta incerteza a influenciar o resultado dos eventos desportivos, é bastante razoável esperar que não seja.

Realizei outra simulação de Monte Carlo para 250 apostas de valor constante. No entanto, desta vez, em vez de fixar a probabilidade de vitória em 52% para cada uma, ela foi variada de acordo com uma distribuição normal das probabilidades de vitória. Embora a média seja de 52%, os valores específicos variaram em torno deste valor. Alguns eram mais elevados e alguns eram mais baixos.

Apliquei um desvio padrão de 5%, o que significa que cerca de dois terços dos valores caíram entre 47% e 57%, e 95% dos valores caíram entre 42% e 62%. Na verdade, cerca de um terço dos valores caiu abaixo de 50% e, assim, manteve o valor esperado negativo. 

Os resultados foram uma grande surpresa. Apesar de um terço das apostas deterem um valor esperado negativo, os riscos associados da estratégia de Kelly mantiveram-se efetivamente inalterados. No fundo, isto sugere que, desde que tenha uma ideia precisa de qual é a sua vantagem em termos gerais, não é importante conhecê-la com precisão aposta por aposta. 

Comparação do Critério de Kelly

Fundos no fecho

Kelly 1 (4%)

Kelly 2 (4%)

<100%

38%

37%

<80%

24%

24%

<60%

14%

14%

<40%

4%

4%

<20%

0%

0%

Kelly 1 - Vantagem conhecida com exatidão para cada aposta. Kelly 2 - Conhece-se a vantagem média, mas desconhece-se a vantagem específica para cada aposta.

Numa tentativa de testar a solidez desta conclusão, realizei outra simulação em que o número de apostas com valor esperado negativo era dramaticamente maior.

Foi atribuída a duzentas e trinta (ou 92%) das 250 apostas uma probabilidade de vitória de 49%, efetivamente equivalente à margem de apostas da Pinnacle para um mercado de apostas bilateral ou trilateral popular. Às restantes 20 apostas foi atribuída uma probabilidade de vitória de 86,5% para garantir que a média das 250 apostas permanecia nos 52%. Os resultados foram exatamente os mesmos.

É claro que, na realidade, é muito improvável que um apostador que não conseguiu encontrar qualquer valor em 92% das suas apostas descubra de alguma forma uma enorme expetativa de lucro nos restantes 8%, mas este exercício pretende ilustrar mais ainda a questão apresentada anteriormente: só é necessário conhecer a sua vantagem média com precisão ao determinar quanto apostar com o Critério de Kelly e ao gerir os seus riscos.

Para a maioria dos apostadores, encontrar qualquer tipo de vantagem é um problema muito mais duro de resolver. É demasiado fácil ser enganado pela sorte e por ilusões de causalidade que incentivam o apostador a acreditar que é melhor do que é na realidade. Ganhará apenas 49% das suas apostas de valor monetário constante e, como seria de esperar, uma estratégia de Kelly de 4% falha muito mais frequentemente (com uma probabilidade de perder três em quatro após 250 apostas de valor constante, comparativamente a três em cinco nas paradas fixas).

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