mai 15, 2020
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Quanto você deve arriscar por aposta?

Valor esperado e utilidade esperada: conceitos explicados

Utilidade sob incerteza

Como calcular o valor ideal da aposta?

Quanto você deve arriscar por aposta?

Para ganhar nas apostas esportivas, você precisa de uma estratégia de apostas com um valor esperado positivo, ou seja, uma estimativa dos seus ganhos médios por aposta. Mas quanto capital você deve arriscar por aposta para atingir o lucro máximo? Para isso, você precisa entender o conceito de utilidade. Continue lendo para descobrir.

O valor esperado, conceito explorado pela primeira vez pelos matemáticos franceses Pascal e Fermat no século XVII ao tentar resolver o problema de um jogo de pontos, nos mostra o quanto podemos esperar ganhar, em média, com uma aposta. No entanto, não ele tem muito a dizer sobre quanto capital um apostador deve arriscar em sua aposta. É aqui que entra em ação a utilidade esperada. 

Valor esperado e utilidade esperada: conceitos explicados

O valor esperado (EV) nas apostas pode ser calculado multiplicando sua probabilidade de ganhar (p) pelo valor que você poderia ganhar por aposta e subtraindo a probabilidade de perder multiplicada pelo valor perdido por aposta. Como a probabilidade de perder é equivalente a 1 (ou 100%) menos a probabilidade de ganhar, chegamos à seguinte simplificação:
expected-utility-betting.jpg

"o" representa as probabilidades decimais europeias disponibilizadas pela casa de apostas. O valor esperado é o número mais importante para qualquer apostador, pois informa se ele deve esperar ganhar ou perder dinheiro no longo prazo.

Depois que o apostador encontrar o valor esperado ele deve decidir quanto de seu capital apostar. No século XVIII, o matemático Daniel Bernoulli entendeu que apenas os temerários tomam decisões sobre quanto arriscar com base no valor esperado objetivo sem levar em conta as consequências subjetivas da aposta, ou seja, a conveniência do que se ganha (ou se perde). Essa conveniência subjetiva é conhecida como utilidade.

Utilidade sob incerteza

Somos apresentados a dois baús. O primeiro contém € 10 mil em dinheiro. O segundo baú pode € 20 mil em dinheiro ou nada. Não temos certeza de qual, mas cada opção é igualmente provável. Agora você deve pegar um dos baús. Qual deles você escolheria?

"A abordagem de Kelly permite tecnicamente que apostadores vencedores maximizem o tamanho de seu saldo no longo prazo"

Este é um questionamento utilitário clássico. Matematicamente, ambos os baús têm o mesmo valor esperado, ou seja, € 10 mil. Se você pudesse repetir este jogo indefinidamente, não faria diferença qual baú você escolheu. No entanto, neste jogo, você só pode jogar uma vez. A lei dos grandes números não se aplica.

Se escolher o primeiro baú, você certamente ganhará € 10 mil. Se escolher o segundo, seu prêmio será uma questão de sorte: tenha sorte e fique € 20 mil mais rico; tenha azar, e você não receberá nada. Sem surpresa, dadas essas somas de dinheiro, a maioria das pessoas escolhe a certeza do primeiro baú.

Do ponto de vista da utilidade, a certeza de € 10 mil é certamente muito melhor do que o risco de não receber nada. Pessoas que encontram maior utilidade em certezas do que em apostas com a mesma expectativa matemática estão demonstrando aversão ao risco.

Como calcular o valor ideal da aposta?

Daniel Bernoulli concluiu que o comportamento racional padrão das pessoas ao tomar decisões em situações de incerteza é a aversão ao risco. Ele quantificou sua hipótese desta maneira: "a utilidade resultante de qualquer pequeno aumento na riqueza será inversamente proporcional à quantidade de bens anteriormente possuídos". Em outras palavras, quanto mais riqueza você já possui, menos utilidade perceberá ao ganhar mais. Essa função de utilidade é logarítmica e mais comumente conhecida como a utilidade marginal decrescente da riqueza.

"Embora o uso do Critério de Kelly possa causar volatilidade significativa sobre os retornos. Ele permite que os apostadores vencedores maximizem seu saldo no longo prazo"

Uma das aplicações mais práticas da teoria de Daniel Bernoulli é um plano de gestão financeira conhecido por muitos apostadores como o Critério de Kelly.. Desenvolvido por John Kelly enquanto trabalhava na solução de um problema relacionado ao ruído em chamadas telefônicas de longa distância no Bell Labs da AT&T em 1956, o Critério de Kelly foi rapidamente adotado por jogadores e investidores como um meio de otimizar a gestão financeira e o crescimento dos lucros.

Embora a motivação de Kelly fosse totalmente diferente da de Bernoulli, seu critério era matematicamente equivalente à função de utilidade logarítmica. Na prática, ele direciona o apostador a arriscar uma porcentagem de sua riqueza total em uma aposta que é diretamente proporcional ao valor esperado (EV) e inversamente proporcional à probabilidade de sucesso.

Lembrando que EV = po - 1 (onde "p" é a probabilidade "real" de sucesso e, "o", as probabilidades decimais para a aposta), podemos calcular a porcentagem do stake a ser apostada segundo Kelly (K) da seguinte maneira:

kelly-criterion-betting.jpg
Basicamente, o Critério de Kelly maximiza a utilidade logarítmica esperada. Uma consequência de apostar com o Critério de Kelly é uma volatilidade significativa nos retornos, um recurso que pode não atender da melhor maneira a utilidade de todos os apostadores. Além disso, seu uso requer estimativas precisas das probabilidades "reais" dos resultados. 

No entanto, a abordagem de Kelly permite tecnicamente que os apostadores vencedores maximizem o tamanho de seu saldo no longo prazo. Obviamente, para isso, um apostador precisa de uma casa de apostas que não suspeite de estratégias específicas de gestão financeira como o Critério de Kelly e, mais importante, que não restrinja apostas como consequência de vitórias. Também por isso, a Pinnacle mantém uma reputação incomparável.

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