lis 1, 2018
lis 1, 2018

Szczęście i pech: cienka linia oczekiwań

Klasyczny przykład rzutu monetą

Odchylenie standardowe dla rozkładu dwumianowego

Prawo wielkich liczb — korzystne czy niekorzystne dla obstawiającego?

Szczęście i pech: cienka linia oczekiwań

Na zakłady często wpływa przypadek. Czasem może nam sprzyjać szczęście, a innym razem możemy być ofiarami pecha. Przypadkowość stanowi nieodłączny element zakładów, ale jak cienka linia dzieli szczęście od pecha? Czytaj dalej, jeśli chcesz dowiedzieć się więcej.

W zakładach sportowych istotną rolę odgrywa przypadek. Chociaż graczom, którzy odnoszą sukcesy, niemal zawsze pomaga szczęście, to ostatecznie większość z nich dopadną marże bukmacherów oraz prawo wielkich liczb. Czytelnicy, którym znane są moje artykuły, wiedzą, że w kwestii prawdopodobieństwa osiągania długoterminowego zysku moje teksty są dość krytyczne. Nie oczekuję, że się ze mną zgodzicie ― każdy gracz musi skonfrontować pokładane nadzieje z realizmem.

Aby przeciwdziałać tego typu podejściu, wiele artykułów o zakładach publikowanych w Pinnacle ma na celu edukowanie obstawiających w zakresie bardziej umiejętnego przewidywania. Niemniej jednak nawet tych nielicznych, którzy zdołają znaleźć oczekiwane zyski w długim terminie, nadal będą obowiązywać prawa prawdopodobieństwa. W tym artykule przyjrzę się temu zjawisku bliżej. W szczególności zaś zaprezentuję, jak cienka linia dzieli szczęście od pecha.

Klasyczny przykład rzutu monetą

Wszyscy wiemy, że rzut monetą oznacza sytuację 50-50: wyrzucenie orła lub reszki. Wiemy również, że jeśli rzucimy monetą 20 razy, nie zawsze otrzymamy 10 orłów i 10 reszek, choć jest to najbardziej prawdopodobny wynik. Czasami otrzymamy 12 orłów i 8 reszek, a za kolejnym razem proporcje będą jeszcze inne. Czasem może wypaść nawet 5 orłów i 15 reszek. Aby dokładnie określić prawdopodobieństwo dla każdego możliwego wyniku, możemy użyć rozkładu dwumianowego. Po wykonaniu 20 rzutów monetą rozkład będzie wyglądał następująco.

Content-In-article-luck-in-betting_1.jpg

Większość prawdopodobnych wyników mieści się w zakresie od 5 orłów i 15 reszek do 15 orłów i 5 reszek. A co w przypadku 100 rzutów monetą? Rozkład będzie wyglądać następująco.

Content-In-article-luck-in-betting_2.jpg

Tym razem zakres prawdopodobnych wyników jest większy. Po wykonaniu 20 rzutów monetą wynosi od 5 do 15 orłów, co daje różnicę 10. W przypadku 100 rzutów monetą zakres ten jest praktycznie podwojony i wynosi między 40 a 60 orłów. Czy to oznacza, że wraz ze wzrostem liczby wykonanych rzutów monetą wzrasta również zakres możliwych wyników? I tak, i nie.

Kiedy matematyk Jacob Bernoulli eksperymentował z takim scenariuszem, zauważył, że gdy bezwzględna różnica między liczbą orłów i reszek wzrasta wraz ze wzrostem wielkości próby, odsetek orłów zbliża się do 50%. Wyrzucenie 5 na 20 możliwych orłów stanowi 25%, z kolei wyrzucenie 40 na 100 orłów jest już równe 40%. Ten drugi przypadek tworzy podstawę prawa wielkich liczb i jest istotny dla zrozumienia prawdopodobieństwa w zakładach. 

Odchylenie standardowe dla rozkładu dwumianowego

Rozrzut wynikający z rozkładu można zmierzyć za pomocą odchylenia standardowego. W przypadku rozkładu dwumianowego odchylenie standardowe (σ) jest obliczane zgodnie z niezwykle prostym równaniem.

thin-line-formula1.png

Gdzie n jest liczbą powtórzeń binarnych (np. rzutów monetą), p jest prawdopodobieństwem sukcesu (wyrzucenia orła), a q jest prawdopodobieństwem niepowodzenia (wyrzucenia reszki). W związku z tym, że p + q = 1: 

thin-line-formula2.png

W przypadku, gdy p = q (tj. 0,5): 

thin-line-formula3.png

W razie wykonania 20 rzutów monetą σ = 2,24, podczas gdy przy 100 rzutach monetą σ = 5.

Odchylenie standardowe wskazuje na zakres dla większości możliwych wyników. Na przykład w przypadku 100 rzutów monetą, nieco ponad dwie trzecie próbek znajdzie się w zakresie ± 1σ, czyli osiągnie wynik między 45 a 55 wyrzuconych orłów.

Tym sposobem potwierdziliśmy pierwsze odkrycie Bernoulliego: im większy rozmiar próby, tym większy rozrzut bezwzględny. Co jednak, jeśli użyjemy wartości procentowych zamiast liczb bezwzględnych? Aby obliczyć odsetek orłów, należy podzielić ich liczbę przez całkowitą liczbę wykonanych rzutów monetą, czyli n. Podobnie rzecz ma się w przypadku obliczania odchylenia standardowego z wykorzystaniem wartości procentowych ― również należy podzielić je przez wartość n. 

Dlatego właśnie dla prostych sytuacji 50:50: 

thin-line-formula4.png

W przypadku 20 rzutów monetą odchylenie standardowe dla odsetka wyrzuconych orłów wynosi 0,11 (lub 11%), ale w przypadku 100 rzutów jedynie 0,05 (lub 5%).

Prawo wielkich liczb

Zgodnie z prawem wielkich liczb średnia wyników uzyskana z wielu prób powinna wraz z wzrastającą ich liczą zbliżać się do wartości oczekiwanej. W przypadku rzutów monetą, im więcej rzutów wykonamy, tym odsetek orłów będzie coraz bardziej zbliżał się do 50% wartości oczekiwanej.

W związku z tym, że odchylenie standardowe wyrażone w procentach jest proporcjonalne do pierwiastka kwadratowego liczby rzutów monetą, dwie zmienne tworzą coś, co jest znane jako relacja prawa potęgowego, przy czym odchylenie standardowe zmienia się wraz z potęgą lub logarytmem liczby wykonanych rzutów. Na wykresie podwójnie logarytmicznym relacja ta przedstawiona jest w postaci linii prostej, gdzie wraz z każdym kolejnym podnoszeniem wartości n do kwadratu wartość σ zmniejsza się o połowę.

Content-In-article-luck-in-betting_3.jpg

Ta relacja prawa potęgowego oznacza, że w ujęciu proporcjonalnym większość spadków odchylenia standardowego ma miejsce w pierwszych kilku próbach. Z σ = 0,5 po 1 rzucie monetą wartość odchylenia standardowego spadła do 0,1 po zaledwie 25 rzutach, co stanowi cztery piąte rzutów w kierunku wartości zerowej (po nieskończonej liczbie rzutów). Dzięki temu możemy zauważyć, jak szybko prawo wielkich liczb znajduje swoje zastosowanie. Ponowne wyrysowanie powyższego wykresu za pomocą podziałek liniowych powinno umożliwić wizualizację szybkości tych zmian. 

Content-In-article-luck-in-betting_4.jpg

Wygrane i przegrane w zakładach

Wygrane i przegrane w zakładach przypominają orły i reszki w rzutach monetą. Zakład jest zasadniczo propozycją binarną: wygrywa lub też nie. W związku z tym, w przypadku najprostszych historii zakładów, w których oczekiwane prawdopodobieństwo każdej wygranej pozostaje takie samo, możliwe do uzyskania wyniki również będą miały postać rozkładu dwumianowego.

Oczywistym przykładem tej binarnej sytuacji mogą być handicapy na punkty na amerykańskich rynkach sportowych lub zakłady z handicapem azjatyckim na piłkę nożną, w których zastosowanie handicapu w odniesieniu do jednej ze stron zamienia zakład w propozycję 50-50, gdzie kursy bez marży wynoszą 2,00. 

Nie musimy jednak ograniczać się do sytuacji 50-50. Przypomnijmy sobie powyższe równanie dla odchylenia standardowego ujętego w wartościach procentowych. Jego bardziej ogólna wersja, pozwalająca uwzględnić inne możliwe wartości procentowe wygranych, wygląda następująco. 

thin-line-formula5.png

Nawet dla wprawionych graczy, którzy są w stanie wygenerować wartość oczekiwaną zapewniającą zyski w perspektywie długoterminowej, większość obserwowanych zdarzeń będzie stanowiło szum informacyjny wokół stosunkowo niepewnych faktów. Wszystko to ze względu na nieodłączną losową zmienność złożonych systemów, takich jak wydarzenia sportowe.

Oczywiście w prawdziwym świecie zakładów niedoświadczeni gracze nie wychodzą na zero mimo realizacji założonych oczekiwań. Po uwzględnieniu marży bukmachera po 1000 zakładów straty są zasadniczo nieuniknione.

Wyobraźmy sobie gracza, który obstawia rezultaty 50-50 i w perspektywie długoterminowej wygrywa w 55% przypadków. Mimo że umiejętność przewidywania pozwoliła mu zwiększyć oczekiwany udział wygranych z 50% do 55%, nadal będą miały zastosowanie te same dwumianowe reguły wariancji.

Za pomocą powyższego równania moglibyśmy wykazać, że standardowe odchylenie w procentach wygranych zakładów powinno wynosić 3% po 275 zakładach, co sugerowałoby dwie trzecie prawdopodobieństwa, że dla tej wielkości próby współczynnik wygranych będzie wynosił od 52% do 58%. 

Przy założeniu, że zastosujemy prostą strategię obstawiania z takim samym oczekiwanym prawdopodobieństwem wygranej (kursami) dla każdego zakładu, za pomocą rozkładu dwumianowego możemy zasadniczo określić prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegokolwiek zdarzenia (w Excelu służy do tego funkcja ROZKŁAD.DWUM).

Zostało to zaprezentowane poniżej z uwzględnieniem serii historii zakładów. Pierwsza dotyczy zaledwie 20 zakładów. Wartości liczbowe na wykresie pokazują łączne prawdopodobieństwo wystąpienia wyższego faktycznego odsetka zwycięstw niż określona wartość oczekiwana. Jeśli na przykład oczekiwania długoterminowe wynoszą 20%, szansa na wygranie więcej niż sześciu zakładów (30%) stanowi około 9%. Przy założeniu, że na 20 zakładów oczekujemy 16 wygranych szansa na wygranie wszystkich 20 zakładów wynosi 1%. 

Content-In-article-luck-in-betting_5.jpg

Ogólnie można stwierdzić, że strefa czerwona i zielona wyznaczają odpowiednio obszary generowania strat i zysków dla kursów bez marży. Co zrozumiałe, większa od spodziewanej liczba przegranych zakładów wiąże się ze stratą finansową. Widać jednak, że wynik znacznie poniżej oczekiwań nie jest zbyt powszechny.

Nawet po obstawieniu zaledwie 20 zakładów z wygraną równą stawce ― w trzech czwartych przypadków można spodziewać się dziewięciu lub więcej zwycięskich zakładów. Prawo wielkich liczb jest po stronie graczy, chroniąc ich przed prawdopodobieństwem poniesienia znacznych strat.

Wynika z tego też inna prawda. Wygrywając więcej zakładów niż oczekiwaliśmy, osiągniemy zysk, ale nie będzie on znaczący. Nawet jeśli jesteś uzdolnionym graczem, który w dłuższej perspektywie jest w stanie wygrywać 55% zakładów z wygraną równą stawce, nadal masz tylko 13% szans na wygranie 14 lub więcej zakładów na 20 obstawionych. Teraz prawo wielkich liczb działa na Twoją niekorzyść, uniemożliwiając Ci osiągnięcie znacznych zysków. 

Żółty obszar oznacza sytuację równowagi (bez zysków i strat). Uderzające jest to, jak niewiele dzieli obszar oznaczający trafność wyborów od obszaru oznaczającego pechowe działania, oraz w której części znajduje się najwięcej zakładów.

Oto, co dzieje się ze strefą żółtą po 100 zakładach.

Content-In-article-luck-in-betting_6.jpg

Szanse na osiągnięcie przeciętnego wyniku w długim terminie znacznie się zwiększyły. A jak wygląda to w przypadku 1000 zakładów?

Content-In-article-luck-in-betting_7.jpg

Oczywiście w prawdziwym świecie zakładów niedoświadczeni gracze nie wychodzą na zero mimo realizacji założonych oczekiwań. Po uwzględnieniu marży bukmachera po 1000 zakładów straty są zasadniczo nieuniknione. Prawo wielkich liczb okazało się działać na Twoją niekorzyść. Jednak dla wprawionych graczy sytuacja wygląda zupełnie inaczej.

Jeśli spodziewamy się wygrać 55% z 1000 zakładów (wygrana równa postawionej stawce), prawie zawsze co najmniej 50% z nich będzie zakładami zwycięskimi. Zakładając, że marża bukmachera jest mniejsza niż różnica między oczekiwanym przez gracza, a szacowanym przez bukmachera odsetkiem wygranych, szanse na osiąganie długoterminowego zysku są bardzo duże. Znana witryna internetowa ProfessionalGambler.com prezentuje następujące stwierdzenie:

„różnica między odsetkiem zakładów wygranych przez graczy odnoszących sukcesy a odsetkiem zakładów wygranych przez notorycznie przegrywających graczy jest stosunkowo niewielka”.

Teraz możemy zobaczyć, jak nieznaczna jest ta różnica. Prawo wielkich liczb może okazać się zarówno błogosławieństwem, jak i przekleństwem dla graczy. 

Oczywiście w większości przypadków stosowane strategie obstawiania są bardziej skomplikowane niż sugeruje to ten artykuł, w końcu gracze decydują się na różne kursy i stawki. W celu przeprowadzenia analizy musielibyśmy użyć znacznie bardziej wyrafinowanej matematyki lub skorzystać ze znanej już symulacji Monte Carlo, co czyni to bardziej skomplikowanym procesem. 

Ponadto, nie uwzględniliśmy tutaj odchyleń w faktycznych zyskach i stratach, co stanowi zupełnie odrębny przedmiot zainteresowania, który został omówiony w poprzednich artykułach (im wyższe kursy, tym większa zmienność w zyskach i stratach).

Celem tego artykułu było jednak zaprezentowanie tempa, z jakim prawo wielkich liczb oddziałuje na zakłady. A także ukazanie, jak cienka jest granica między oczekiwanymi i rzeczywistymi wynikami oraz szczęściem i pechem.

Testowanie wiarygodności historii zakładów

Na koniec pokażemy, w jaki sposób można wykorzystać informacje o odchyleniu standardowym dotyczącym rzeczywistego odsetku wygranych, aby sprawdzić wiarygodność historii zakładów prezentowanych przez firmy zatrudniające typerów, których celem jest sprzedaż swoich ofert. 

Posłużymy się przykładem firmy specjalizującej się w handicapach, która prezentuje „uczciwe i bezpośrednie podejście” do przyjętych zasad handicapu. Firma jest świadoma przypadkowości w zakładach sportowych, dlatego wyjaśnia klientom, że nie ma czegoś takiego, jak pewny zwycięzca a „w każdym wydarzeniu zawsze występuje element przypadku”. Niemniej jednak, jak dowodzi opublikowany przez firmę odsetek zwycięstw wynoszący 76% dla ponad 11 000 zakładów, najwyraźniej udało jej się pokonać występującą niestałość.

Zgodnie z prawem wielkich liczb średnia wyników uzyskana z wielu prób powinna wraz z wzrastającą ich liczą zbliżać się do wartości oczekiwanej.

Jeśli przyjrzymy się bliżej wynikom opublikowanym do tej pory przez wskazaną firmę, zauważymy 75% odsetek wygranych na 10 312 zakładów (jak widać części z nich brakuje). Mimo że występuje kilka niskich i wysokich kursów, 94% z nich wynosi od 1,67 do 2,50 (czyli 60% i 40% domniemanych prawdopodobieństw wygranych). Średnie domniemane prawdopodobieństwo wygranej dla całej próby wynosi 52,2%, co po usunięciu marży bukmachera daje wartość zbliżoną do neutralnej sytuacji 50-50.

Podział wyników na 56 próbek obejmujących kolejne miesiące (od marca 2014 r. do października 2018 r.) ukazuje, że średnia liczba zakładów w miesiącu wynosi 184, przy czym w ponad połowie przypadków liczba zakładów waha się od 140 do 224. Jeśli założymy, że oczekiwany odsetek wygranych w długim okresie wynosi 75%, to jaka może być różnica w miesięcznych odsetkach wygranych? Skorzystamy ze wcześniej omawianego równania w celu obliczenia oczekiwanego odchylenia standardowego w odsetkach wygranych dla próbki 184 zakładów. Możemy zauważyć, że daje to wynik nieco ponad 3%. Jedynie dla ponad dwóch trzecich próbek wynik powinien wynosić od około 72% do 78%, a dla 95% powinien on wynieść od około 69% do 81%.

W rzeczywistości odchylenie standardowe dotyczące miesięcznych odsetek zwycięstw wynosi 8,6%, czyli znacznie więcej niż powinno. Mniej niż 40% wartości mieści się w zakresie ± 1σ dla 75% i niewiele ponad połowa w granicach ± 2σ. Zróżnicowanie jest po prostu zbyt duże. Nawet przy założeniu, że w miesiącu wystąpiły zaledwie 32 zakłady (dotyczy miesiąca z najmniejszą ich liczbą), spodziewane odchylenie standardowe wyniesie zaledwie 7,7%. 

Odchylenie standardowe w przypadku miesięcznych procentów wygranych na poziomie 8,6% byłoby spodziewanym wynikiem w przypadku próbek o wielkości około 25, a nie 184 zakładów. W grudniu 2014 r. liczba zakładów wyniosła 151, a średnie oczekiwane prawdopodobieństwo wygranej 51,4%. Odsetek wygranych na poziomie 46,4% byłby oczekiwany raz na milion miliardów lat. W październiku 2015 r. odnotowano 168 zakładów (średni oczekiwany odsetek wygranych równy 48,5%), z których 154 było zwycięskimi, czyli 91,7%. W przypadku tak utalentowanego typera rezultat na takim poziomie byłby możliwy do osiągnięcia tylko raz na milion lat.

Sami zastanówcie się, czego dowodzą powyższe ustalenia. Być może stanowi to argument przemawiający za tym, że poziom umiejętności może ulegać gwałtownym zmianom w krótkim okresie czasu. A może dowodzi to czegoś zupełnie innego. Biorąc pod uwagę wspomniane wcześniej ograniczenia dotyczące oczekiwanych zysków, z pewnością macie świadomość tego, że odsetek wygranych w handicapach wynoszący 76% jest czymś nierealnym i niewartym uwagi.

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.