Prawo małych liczb w zakładach sportowych

Prawo małych liczb w zakładach sportowych
Prawo małych liczb opisuje błąd poznawczy, który polega na skłonności ludzi do wiary, że stosunkowo niewielka liczba obserwacji danego zjawiska będzie dokładnie odzwierciedlała całe zjawisko. Czytaj dalej, aby sprawdzić swoje umiejętności logicznego myślenia w zagadce o dwóch szpitalach. Przekonaj się, że wykresy mogą być mylące. Ponadto dowiedz się, co należy zrobić, aby uniknąć przegranych w przypadku korzystania ze statystyk podczas obstawiania zakładów.

Zagadka o dwóch szpitalach

W 1974 roku dwóch psychologów, Daniel Kahneman i Amos Tversky, przedstawiło badanej grupie osób poniższy scenariusz. Następnie zadali jedno pytanie. W pewnym mieście działają dwa szpitale. W większym szpitalu na świat przychodzi około 45 dzieci dziennie, natomiast w mniejszym około 15.

Wiemy, że w przybliżeniu 50% urodzonych dzieci to chłopcy. Jednak dokładne wartości procentowe różnią się w poszczególnych dniach. Czasami mogą wynieść więcej niż 50%, innym razem mniej. W ciągu jednego roku każdy szpital odnotowuje dni, w których chłopcy stanowią ponad 60% narodzonych dzieci. Który szpital Twoim zdaniem odnotował większą liczbę takich dni?

  •        Większy szpital
  •        Mniejszy szpital
  •        Mniej więcej tyle samo (różnica w granicach 5%)

Zgodnie z dwumianem Newtona liczba dni, w których liczba urodzonych chłopców przewyższa liczbę narodzonych dziewczynek w stosunku sześć do czterech, będzie prawie trzy razy większa w mniejszym szpitalu, z uwagi na bardziej czuły wskaźnik urodzeń. W przypadku większej próbki mamy mniejsze prawdopodobieństwo odbiegania od 50-procentowej równowagi. Jednak zaledwie 22% osób udzieliło prawidłowej odpowiedzi.

Czym jest heurystyka?

Kahneman i Tversky opisali ten błąd jako wiarę w prawo małych liczb. Ogólniej rzecz biorąc, oceny dokonywane na podstawie małych próbek są często niewłaściwie przekładane na ogólną tendencję. Na przykład mała próbka, która wydaje się mieć rozkład losowy, wzmocniłaby przeświadczenie, że ogół zjawiska ma również taki sam rozkład losowy. 

Zagadka o dwóch szpitalach: W przypadku większej próbki mamy mniejsze prawdopodobieństwo odbiegania od 50-procentowej równowagi. Jednak zaledwie 22% osób udzieliło prawidłowej odpowiedzi.

Analogicznie, mała próbka wskazująca na pewien istotny wzorzec – np. dziewięć orłów w 10 rzutach monetą, może przyczynić się do powstania opinii, że ogólne wyniki będą także odzwierciedlały taki wzorzec. W tym przypadku można by jednak podejrzewać, że moneta jest źle wyważona. Dostrzeganie związków w przypadkowych oraz nic nieznaczących danych nosi nazwę apofenii.

Wiara płynąca z prawa małych liczb należy do szerszej grupy skrótów myślowych stosowanych przez ludzi do dokonywania ocen w stanie niepewności. Kahneman i Tversky nazwali takie skróty myślowe heurystyką. Stosowanie uogólnień na podstawie małych próbek jest przykładem heurystyki reprezentatywności. Oznacza ona, że ludzie oceniają prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego zdarzenia wyłącznie na podstawie wcześniejszych podobnych sytuacji, które są im już znane.

Kolejnym przykładem heurystyki reprezentatywności jest paradoks hazardzisty. Taka tendencja w rzeczywostości wynika z wiary w prawo małych liczb. Według Kahnemana i Tverskiego:

Nieodłącznym elementem paradoksu hazardzisty jest błędne poczucie losowości. Hazardzista uważa, że losowość związana z rzutem monetą pozwala mu oczekiwać, że jakiekolwiek odchylenie w jedną stronę zostanie wkrótce zastąpione odchyleniem w przeciwnym kierunku. Z zachowania badanych osób można zauważyć założenie, że każdy fragment sekwencji losowej rzutów dąży do zachowania równych proporcji. Co według nich oznacza, że jeśli sekwencja rzutów odbiega od ogólnej proporcji, to można spodziewać się równoważenia wyniku.

Odczytywanie wykresów dotyczących próbek o różnych rozmiarach

Gracze w zakładach sportowych mogą mieć szczególną tendencję do rozpoznawania błędnych wzorców, co wynika z niesłusznej wiary w prawo małych liczb. Błędne uznawanie zysków z małej próbki zakładów za oznakę odstępstwa od przypadkowości oraz przypisywanie sobie umiejętności przewidywania, może przyczynić się do niemiłych konsekwencji finansowych w dłuższej perspektywie. Przyjrzyj się poniższemu hipotetycznemu zestawieniu zysków ze 100 zakładów na handicapy punktowe w NFL. Każdy zakład rozstał rozliczony po kursie 1,95. Imponujące, nieprawdaż?

 gr-small-numbers-1.jpg

A jeżeli powiedziałbym, że dane te pochodzą od z znanego w Stanach Zjednoczonych handicappera sportowego? Biorąc pod uwagę dużą tendencję wzrostową oraz zysk w granicach 15%, mogę wybaczyć to, jak łatwo uwierzyć w moje słowa. To oczywiście wszystko nieprawda. Kolejne zestawienie uwzględniające 1000 zakładów ukazuje szerszy obraz.

gr-small-numbers-2.jpg


W rzeczywistości nie mamy do czynienia z żadnymi długoterminowymi zyskami. Powód: zestawienie zostało utworzone przez generator liczb losowych, który przyjął 50% szansę wygranej oraz
spodziewany zysk wynoszący -2,5%. Pierwsza tabela obejmuje jedynie pierwsze 100 zakładów zawierających się w drugiej tabeli.

Jednak nawet w przypadku serii zakładów w dużej próbie, odpowiedni poziom rentowności utrzymywał się dla rzędu kilkuset zakładów. Co więcej, pomimo ogólnej straty, wzorzec zakładów serii długoterminowej nie wygląda wcale na losowy. Można zaobserwować jego stosunkowo uporządkowany, periodyczny charakter.

Kahneman i Tversky zauważyli jednak, że sekwencje o podobnych rezultatach są przez nas częściej traktowane jako nielosowe, nawet jeśli nie są one związane z żadnym konkretnym mechanizmem. Która z poniższych sekwencji binarnych wydaje Ci się przypadkowa, a która nie?

0, 0, 0, 0 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
 
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1

 

Większość wybrałaby drugą sekwencję. Tak naprawdę pierwsza została wygenerowana losowo w programie Excel, a drugą utworzyłem sam z krótszych sekwencji liczb 0 i 1. Gdybyśmy mieli przygotować podobną losową sekwencję, zmienialibyśmy liczby 0 i 1, jeśli wydawałoby nam się, że któraś liczba występuje zbyt często.

Przyjrzyj się teraz poniższym zestawieniom 1000 zakładów. Wszystkie zostały wygenerowane losowo. Szeroki zakres możliwych wyników powinien uświadomić nam, jak łatwo można dać się zwieźć pozornym wzorcom.


gr-small-numbers-3.jpg
Pamiętaj, że są to serie 1000 zakładów, a nie 100. Przyjrzyjmy się środkowej serii. Posiada wszystkie cechy charakterystyczne dla dobrego typera lub obstawiającego, czyli 5% zysk i stały wzrost dochodów w całej sekwencji zakładów. Co daje wynik osiągany przez najlepszych handicapperów w dłuższym terminie. A jednak, jest to wyłącznie dziełem przypadku.

Korzystając z rozkładu dwumianowego, możemy spreparować prawdopodobieństwo utrzymania zysku pomimo oczekiwań na poziomie -2,5%.

Liczba zakładów (kursy o wartości 1,95 i 50% prawdopodobieństwo wygranej)

Minimalna liczba potrzebnych wygranych

Prawdopodobieństwo zysku

100

52

38,22%

250

129

32,90%

500

257

28,05%

1000

513

21,46%

2500

1283

9,68%

5000

2565

3,40%

10 000

5 129

0,51%


Nawet w przypadku 1000 zakładów nadal mamy szansę 1 do 5 na utrzymanie zysku, mimo że nasze zakłady były wyłącznie przypadkowe. Gdybyśmy obstawili po jednym zakładzie handicapowym na każdy mecz NFL, osiągnięcie takiego wyniku zajęłoby nam prawie cztery sezony. Obstawianie przez tak długi czas nie może wiązać się z niczym więcej, jak tylko szczęściem.

Jak bardzo małe musi być małe?

Prawo małych liczb opisuje błąd poznawczy, który polega na skłonności ludzi do wiary, że stosunkowo niewielka liczba obserwacji danego zjawiska będzie dokładnie odzwierciedlała całe zjawisko. Przeprowadzone doświadczenie wykazało, że czasem małe zdarzenia mogą być traktowane jako całkiem duże. Dzieje się tak, ponieważ ludzie wolą pewność od wątpliwości, wiedzę od niewiedzy, poznanie przyczyny od skojarzeń, przewidywalność od przypadkowości oraz wiarę w umiejętności (szczególnie te służące własnym celom) od wiary w szczęście. Jeśli gracze w zakładach sportowych dadzą się zwieść, mogą wiele stracić. 

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.