Nowe spojrzenie na kryterium Kelly'ego: ocena ryzyka

Na czym polega kryterium Kelly'ego?

Z jakim ryzykiem wiąże się kryterium Kelly'ego?

Dlaczego świadomość przewagi jest ważna.

Nowe spojrzenie na kryterium Kelly'ego: ocena ryzyka

Wykorzystanie metody wyboru stawek (lub strategii zarządzania pieniędzmi) to kluczowy czynnik w regularnym zarabianiu na zakładach. Kryterium Kelly'ego jest przez wiele osób uznawane za najlepsze rozwiązanie, ale czy sprawdza się w praktyce? Z jakim ryzykiem wiąże się kryterium Kelly'ego? Czytaj dalej, jeśli chcesz dowiedzieć się więcej.

Wiele osób twierdzi, że kryterium Kelly'ego jest najskuteczniejszą strategią zarządzania pieniędzmi, która pozwala na maksymalizację środków gracza z wygranych zakładów. Wśród materiałów o zakładach w Pinnacle znajduje się wiele artykułów opisujących kryterium Kelly'ego, jego wady i zalety. W tym artykule przedstawiam prostą ocenę ryzyka związanego z metodą wyboru stawek.

Na czym polega kryterium Kelly'ego?

Według Dominica Cortisa (autora piszącego dla Pinnacle oraz matematyka z Uniwersytetu Maltańskiego) kryterium Kelly'ego sprowadza się do obliczania kwoty w ramach posiadanych środków, jaką należy postawić na wynik, którego kurs jest wyższy od spodziewanego prawdopodobieństwa. Celem jest osiągnięcie geometrycznego wzrostu posiadanych środków.

Metodę tę opracował w 1956 roku John Kelly, pracownik Bell Labs w firmie AT&T. Dostarcza ona ekonomicznie uzasadniony i matematycznie precyzyjny sposób obliczania optymalnych stawek w zakładach umożliwiających maksymalizację zysków z uwzględnieniem spodziewanej stopy zwrotu i przewidywanego ryzyka. Wszystko opiera się o niezwykle proste równianie:

Stawka procentowa Kelly'ego = Przewaga – 1 / Kurs – 1

Przewaga to po prostu coś, co subiektywnie lub obiektywnie pozwala na inną ocenę sytuacji niż ta odzwierciedlona w kursie bukmachera. Na przykład jeśli masz podstawy uważać, że kurs na wynik powinien wynosić 2,00 (50% prawdopodobieństwa sukcesu), ale bukmacher oferuje kurs 2,10, to Twoja przewaga wynosi: 2,10/2,00 = 1,05.

„Przewaga” to po prostu inny sposób opisywania wartości oczekiwanej. Kursy w powyższym równaniu powinny być podawane w formacie dziesiętnym. W tym przykładzie stawka procentowa Kelly'ego wynosi 0,05, czyli 5%.

Kryterium Kelly'ego to przykład metody obstawiania proporcjonalnego. W przeciwieństwie do metod równych stawek, w przypadku których wysokość stawek jest ustalana z góry, przy kryterium Kelly'ego ustala się stawki proporcjonalne do dostępnych środków. Dlatego rosną one lub maleją, gdy posiadana kwota powiększa się lub kurczy.

Metoda Kelly'ego jest wyjątkowa również z powodu uwzględniania domniemanej przewagi oraz wysokości kursów zakładów. Im większa przewaga lub krótsze (mniej ryzykowne) kursy zakładów tym większa stawka do postawienia.

Obliczanie stawek procentowych w metodzie Kelly'ego wiąże się z pewnymi problemami w razie równoczesnego obstawiania więcej niż jednego wyniku bądź meczu. W Pinnacle znajdziesz artykuł opisujący tę kwestię. W tym artykule skupię się jednak wyłącznie na uproszczonej formie metody Kelly'ego stosowanej w przypadku jednego zakładu na raz.

Z jakim ryzykiem wiąże się kryterium Kelly'ego?

Ze względu na to, że jest to strategia proporcjonalnego zarządzania pieniędzmi, wdrożenie tej metody nie powinno w praktyce nikogo doprowadzić do całkowitej utraty środków. Im więcej gracz traci tym mniej obstawia. Teoretycznie więc wyzerowanie konta w ten sposób jest niemożliwe. 

Gry kasynowe dają się wyrazić za pomocą znanych algorytmów matematycznych. Niestety przewidzenie tak złożonego systemu jak piłka nożna to zadanie niemożliwe.

Praktycznie jednak może dojść do sytuacji granicznej, gdy ponoszone straty będą nie do przyjęcia. Dlatego warto przemyśleć wdrożenie zasady zmienności środków przeznaczanych na obstawianie i zastanowić się nad swoją odpornością w kwestii ponoszenia strat.

Joe Peta, makler giełdowy i gościnny autor w Pinnacle, niegdyś dowodził, że problemem kryterium Kelly'ego jest ogromna zmienność zniechęcająca do inwestycji, pomimo uprzednio obliczonych spodziewanych zwrotów. Autor zakłada, że przykładowy obstawiający wygrywa 52% zakładów po kursie 2,00. Korzystając z kryterium Kelly'ego, musimy przyjąć stawkę procentową na poziomie 4%. 

Peta twierdzi, że przy założeniu 250 kolejnych zakładów istnieje większa niż 10% szansa na utratę przynajmniej 40% środków. Czy ma rację? 

Wydawałoby się, że jest blisko prawdy. Przy jego założeniach seria 10 000 zakładów w symulacji Monte Carlo, w 14% przypadków kończyła się stanem posiadania w wysokości mniejszej niż 60% środków początkowych. W przypadku strategii równych stawek strata wyniosła 9% (przyjęto 250 stałych stawek po 4 jednostki, startując z pulą początkową 100 jednostek).

Poniższa tabela przestawia szersze zestawienie kryterium Kelly'ego z metodą równych stawek. W moim poprzednim artykule argumenty przemawiały na korzyść stawek proporcjonalnych w kontekście optymalizacji rentowności (w tej symulacji średnie pule zamknięcia w przypadku kryterium Kelly'ego i równych stawek wyniosły odpowiednio 149 i 140 jednostek), jednakże odbicie się po wielu przegranych wydaje się wtedy trudniejsze.

Większy udział pul zamknięcia ze stratami w przypadku obstawiania proporcjonalnego jest po prostu konsekwencją większej zmienności dostępnych środków. W przypadku kryterium Kelly'ego niemal cztery symulacje na dziesięć kończyły się stratami. W przypadku równych stawek tylko jedna czwarta pul była na minusie.

Kryterium Kelly'ego — porównanie

Pula zamknięcia

Stawki Kelly'ego (4%)

Równe stawki (4 jednostki)

<100%

38%

24%

<80%

24%

17%

<60%

14%

9%

<40%

4%

6%

<20%

0%

2%

Jak zmienia się ryzyko w przypadku posiadania większej przewagi? Wystarczy powtórzyć symulację dla 54% szans na zwycięstwo w przypadku zakładów ze stałą stawką i oraz stawką Kelly'ego na poziomie 8%. Takie wyniki jest w stanie osiągnąć zaledwie garstka obstawiających.

Oczywiste jest, że jeśli założymy 52% wygranych w przypadku równych stawek, ale faktycznie będziemy wygrywać tylko w 49% zakładów, na dłuższą metę poniesiemy straty.

Tym samym przy dwukrotnej wyższej przewadze lub wartości oczekiwanej dla zakładu spodziewana rentowność w kryterium Kelly'ego wygląda lepiej w porównaniu do metody równych stawek (średnie pule zamknięcia wynoszące odpowiednio 494 i 260). Niestety wiąże się to również ze znacznie większą zmiennością w wynikach.

Średnia lub oczekiwana pula zamknięcia jest wyższa, ponieważ zaburza ją niewielka liczba bardzo wysokich wyników. Oczywiście sald średnich i stratnych jest więcej niż w przypadku strategii równych stawek, gdzie mediana puli zamknięcia wynosi zaledwie 223. Prawdopodobieństwo utraty 40% środków po 250 zakładach z przewagą 8% po wdrożeniu strategii Kelly'ego wynosi nadal 14%. Joe Peta na pewno stwierdziłby, że w świecie finansów żaden szanujący się inwestor nie zgodziłby się na takie ryzyko przy zwrocie z inwestycji wynoszącym 8%.

Kryterium Kelly'ego — porównanie

Pula zamknięcia

Stawki Kelly'ego (8%)

Równe stawki (8 jednostek)

<100%

29%

9%

<80%

21%

7%

<60%

14%

6%

<40%

9%

4%

<20%

3%

3%

Czy przewaga to coś pewnego?

Symulacje zakładają, że dokładnie znamy prawdopodobieństwo wygranej, to znaczy wiemy, jaką mamy przewagę względem kursów bukmacherów. Joe Peta przypomina nam o tym, że modelowanie zakładów sportowych nie jest liczeniem kart w oczku.

Gry kasynowe dają się wyrazić za pomocą znanych algorytmów matematycznych. Niestety przewidzenie tak złożonego systemu jak piłka nożna to zadanie niemożliwe. Ostatnio na moim profilu na Twitterze toczyła się dyskusja dotycząca skutków wynikających z zastosowania strategii Kelly'ego w przypadku braku dokładnej znajomości przewagi nad bukmacherem. Wyniki okazały się naprawdę ciekawe.

Aby skutecznie obstawiać zgodnie z metodą Kelly'ego i właściwie zarządzać ryzykiem, wystarczy znać swoją średnią przewagę.

Oczywiste jest, że jeśli założymy 52% wygranych w przypadku równych stawek, ale faktycznie będziemy wygrywać tylko w 49% zakładów, na dłuższą metę poniesiemy straty bez względu na wybraną metodę wyboru stawek. Jeszcze ciekawszą kwestią jest to, jak nieprecyzyjne określenie przewagi w przypadku każdego zakładu wpływa na zwiększenie zmienności i ryzyka powiązanego z metodą Kelly'ego.

Długoterminowa historia zakładów na pewno wyjaśni, jak precyzyjnie należy określić przewagę. Zwrot w wysokości 1050 EUR z tysiąca zakładów po 1 EUR może oznaczać, że udało się osiągnąć przewagę na poziomie 5%. Kolejnym sposobem szacowania przewagi jest porównywanie kursów obstawianych przez siebie zakładów względem rynkowych kursów zamknięcia.

Jeśli obstawisz zakład po kursie 2,10, a kurs zamknięcia Pinnacle wynosi 2,00, to zgodnie z moją analizą masz przewagę na poziomie 5% (po odliczeniu marży). Oczywiście w analizie uwzględnia się zbiorcze dane dla wielu meczów piłki nożnej. Choć możliwe jest przyjęcie średniej przewagi, to nie można założyć, że będzie ona taka sama dla każdego zakładu. Wyniki wydarzeń sportowych to wielka niewiadoma, dlatego w symulacji należy założyć, że przewaga jest również niepewna.

Nadszedł czas na przeprowadzenie symulacji Monte Carlo dla 250 zakładów na równe stawki. Tym razem jednak zamiast stałego prawdopodobieństwa wygranej na poziomie 52%, zmieniało się ono zgodnie z rozkładem normalnym. Średnia wyniosła 52%, a poszczególne wartości charakteryzowały się zmiennością. Oczywiście niektóre były wyższe, niektóre niższe.

Podczas symulacji zastosowano standardowe odchylenie wynoszące 5%, to znaczy, że około dwie trzecie wartości uplasowało się pomiędzy 47% a 57%, a 95% wartości było z przedziału 42%–62%. Jedna trzecia uplasowała się poniżej 50%, co oznaczało ujemną wartość oczekiwaną. 

Wyniki były nie lada zaskoczeniem. Pomimo tego, że jedna trzecia zakładów miała ujemną wartość oczekiwaną, to ryzyko powiązane ze strategią Kelly'ego praktycznie nie uległo zmianie. Z tego wniosek, że dopóki gracz dokładnie przewiduje przewagę ogólną, nie musi znać przewagi faktycznej w każdym zakładzie. 

Kryterium Kelly'ego — porównanie

Pula zamknięcia

Kelly 1(4%)

Kelly 2(4%)

<100%

38%

37%

<80%

24%

24%

<60%

14%

14%

<40%

4%

4%

<20%

0%

0%

Kelly 1 — znana dokładna przewaga dla każdego zakładu. Kelly 2 — znana wyłącznie średnia przewaga. 

Sprawdzanie słuszności tej konkluzji wiązało się z kolejnymi symulacjami, w których liczba zakładów z ujemną wartością oczekiwaną drastycznie wzrosła.

Dwustu trzydziestu (czyli 92%) z 250 zakładów przypisano prawdopodobieństwo wygranej na poziomie 49%. To ekwiwalent marży Pinnacle w przypadku rynku dwu- lub trzydrogowego. Pozostałym 20 zakładom przypisano prawdopodobieństwo wygranej w na poziomie 86,5%, co spowodowało zachowanie średniej dla 250 zakładów na poziomie 52%. Wyniki były identyczne.

W rzeczywistości gracz, który nie potrafi wykazać się trafnymi przewidywaniami w 92% przypadków, nie ma co liczyć na ogromne zyski z pozostałych 8%. Jednakże nasze symulacje to doskonała ilustracja wcześniejszych rozważań. Wystarczy znać dokładnie średnią przewagę, aby wiedzieć ile obstawiać w strategii Kelly'ego mieć ryzyko pod kontrolą.

Jednak większość obstawiających ma problem ze znalezieniem nawet minimalnej przewagi. Łatwo jest wpaść w sidła przekonania o własnym szczęściu oraz dać się omamić iluzją przyczynowości, które sprawiają, że obstawiający zaczynają przeceniać swoje możliwości. Gdy wygrywa się w 49% zakładów na równe stawki, to strategia Kelly'ego ze stawką 4% okazuje się bardziej zawodna (prawdopodobieństwo straty trzy na cztery przypadki przy 250 zakładów w porównaniu do trzech przypadków na pięć).

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.