Analiza zakładów za pomocą metody Monte Carlo

Analiza wyników osiąganych w zakładach

Pomiar wpływu efektu szczęścia na zyski z zakładów

Wadliwy system obstawiania a pech

Analiza zakładów za pomocą metody Monte Carlo

Po omówieniu losowości w wynikach sportowych Joseph Buchdahl podejmuje się bardziej zaawansowanej analizy czynnika szczęścia. Dowiedz się, jak losowość może wpłynąć na wyniki osiągane w zakładach, a także jak ją mierzyć w Excelu.

Metoda Monte Carlo polega na powtarzaniu losowych prób w celu uzyskania numerycznych wyników tam, gdzie inne podejścia matematyczne byłyby zbyt złożone. Jest ona szczególnie użyteczna dla obstawiających o mniejszym doświadczeniu w dziedzinie tradycyjnych metod testów statystycznych, ponieważ nie wymaga znaczącej wiedzy matematycznej.

Dominic Cortis omówił już, jak zastosować tę metodę w przypadku przewidywania wyników sportowych na konkretnym przykładzie Formuły 1. Nadszedł czas na zbadanie, w jaki sposób wyniki osiągane w zakładach mogą zmieniać się w związku z czynnikiem losowości. 

Analiza wyników osiąganych w zakładach

W niniejszym artykule posłużę się historią zakładów z wykorzystaniem metodologii mądrości tłumu. Dane obejmują 1521 zakładów i wskazują na zysk 0,76% względem obrotu (przy stałych stawkach). Skąd wiadomo, że wyniki obrazują sytuację neutralną, szczęśliwą bądź pechową?

Pierwszy krok polegać będzie na porównaniu danych z oczekiwaniami. Metodologia zakłada, że w przypadku każdego zakładu należy określić kurs bez marży i w rezultacie uzyskać wartość oczekiwaną. Na przykład gdy kurs wynikający z prawdopodobieństwa wynosi 2,00, a opublikowany kurs u bukmachera to 2,10, pojawia się wartość oczekiwana na poziomie 5%, czyli 1,05 (2,10/2,00).

Wycena bez marży w wysokości 2,00 oznacza prawdopodobieństwo zwycięstwa 50%. Jeśli wygrasz 50 zakładów na 100, zarabiając średnio na każdym 1,10 EUR, a przegrasz pozostałą połowę, tracąc na każdym 1 EUR, ostatecznie osiągniesz 5% (5 EUR) zysku przy obrocie w wysokości 100 EUR. Analogicznie, gdyby kurs bukmachera został ustalony na 3,5, to przy kursie wynikającym z prawdopodobieństwa 3,00, wartość oczekiwana wyniosłaby 16,67%. Poniższa tabela zawiera wybory w moim systemie obstawiania.

Przykłady zakładów Monte Carlo

Spotkanie

Zakład

Najlepszy kurs rynkowy

Szacowany kurs wynikający z prawdopodobieństwa*

Wartość oczekiwana

Heerenveen vs Ajax

Ajax

1,75

1,61

8,58%

Heracles vs Feyenoord

Feyenoord

2,0

1,95

2,52%

Juventus vs Lazio

Lazio

7,5

7,29

2,86%

Sassuolo vs Sampdoria

Sampdoria

4,3

4,16

3,32%

Utrecht vs Graafschap

Graafschap

7,0

6,48

7,99%

West Ham vs Watford

West Ham

1,65

1,58

4,77%

*Kurs Pinnacle bez marży

W przypadku kompletnej historii obstawiania określenie ogólnej wartości oczekiwanej oraz spodziewanego zysku przychodzi bez trudu, ponieważ wystarczy obliczyć średnią. W przypadku mojej historii 1521 zakładów średnia wyniosła 4,04%, co oznaczało, że przy założeniu prawidłowości systemu, zysk z obstawionych 1521 EUR wyniósłby 61,45 EUR.

W rzeczywistości zwrot z zakładów wyniósł 11,61 EUR. Wyniki okazały się niezadowalające z powodu pecha, oczywiście przy założeniu, że model prognozowania był poprawny. Pytanie, w jakim stopniu zadziałała losowość. W takich sytuacjach pomocna jest metoda Monte Carlo.

Przeprowadzanie symulacji Monte Carlo w Excelu

Wykonanie symulacji Monte Carlo w arkuszu kalkulacyjnym, np. w programie Excel, jest stosunkowo proste:

  1. Obliczamy spodziewane prawdopodobieństwo wygranej każdego zakładu (wyrażone jako liczba dziesiętna od 0 do 1). Jest to po prostu odwrócenie kursu wynikającego z prawdopodobieństwa.
  2. Używamy funkcji RAND programu Excel, aby wygenerować losową liczbę od 0 do 1 dla każdego zakładu. Aby w symulacji określić zwycięstwa lub przegrane w zakładach, po prostu pozwalamy programowi Excel wylosować liczbę dla każdego zakładu, a następnie sprawdzamy, czy była niższa niż spodziewane prawdopodobieństwo wygranej. Jeśli tak jest, dopisujemy do wygranych zysk równy postawionej stawce, czyli 1 EUR. W przeciwnym dopisujemy 1 EUR do strat.
  3. Następnie wystarczy podliczyć zyski i straty z zakładów w symulacji, aby uzyskać zwrot. Jeśli stawki były równe, wystarczy podzielić łączny zysk przez liczbę zakładów.
  4. Aby odświeżyć losowe liczby dla konkretnej liczby symulacji użyj w Excelu funkcji tabeli danych.

Poniżej przedstawiam pierwsze dwa kroki dla moich zakładów.

Przykład zakładów w metodzie Monte Carlo

Spotkanie

Zakład

Szacowany kurs wynikający z prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo wygranej

Losowa liczba

Zysk

Heerenveen vs Ajax

Ajax

1,61

0,621

0,462

0,61 EUR

Heracles vs Feyenoord

Feyenoord

1,95

0,513

0,15

0,95 EUR

Juventus vs Lazio

Lazio

7,29

0,137

0,8

-1 EUR

Sassuolo vs Sampdoria

Sampdoria

4,16

0,24

0,702

-1 EUR

Utrecht vs Graafschap

Graafschap

6,48

0,154

0,525

-1 EUR

West Ham vs Watford

West Ham

1,58

0,633

0,533

0,58 EUR

Naciśnij klawisz F9, aby ponownie uzyskać losowe liczby dla zupełnie nowej symulacji oraz nowego teoretycznego zwrotu dla danej próbki. Można oczywiście ręcznie zanotować zwrot po każdym przeprowadzeniu nowej symulacji, ale jeśli planujemy przeprowadzenie setek lub tysięcy takich procesów, okazałoby się to pracochłonne i zajęłoby bardzo dużo czasu.

Całe szczęście Excel oferuje szybką i prostą metodę przeprowadzenia wielu symulacji na raz: funkcję tabeli danych. Znajdziesz ją, wybierając kolejno opcje Dane > Analiza warunkowa > Tabela danych:

    1. Oblicz zwrot na podstawie próbki w dowolnej komórce programu Excel zgodnie z opisem podanym w kroku trzecim powyżej.
    2. Następnie zaznacz komórki, które chcesz wypełnić wartościami zwrotów nowych symulacji oraz jedną kolumnę po lewej.

monte-carlo-image-1.png

    1. Teraz wywołaj tabelę danych w Excelu. Wyświetlone zostanie okno podobne do tego poniżej. W komórce wprowadzania Kolumna wprowadź odwołanie do pojedynczej komórki. Może to być dowolna komórka, która nie jest komórką zaznaczoną w poprzednim kroku.

      monte-carlo-image-2.png

    2. Kliknij OK i obserwuj, jak program Excel wykonuje całą pracę. Zaznaczone komórki pod pierwszą komórką zostaną wypełnione nowo obliczonymi zwrotami, a każda wartość będzie odzwierciedlała jeden przebieg symulacji. W tym przykładzie wygenerowałem sześć symulacji (patrz poniżej).

monte-carlo-image-3.png

Pomiar wpływu efektu szczęścia na zyski z zakładów

Dr Gerard Verschuuren stworzył bardzo pomocny materiał opisujący szczegółowo cały proces (patrz YouTube). Oczywiście możesz przeprowadzić tyle symulacji, ile chcesz, przy czym większa liczba symulacji w Excelu zajmie trochę więcej czasu. Do celów tego artykułu wystarczyło 100 tys. symulacji (obliczenia zajęły około pięciu minut).

Kolejnym kluczowym wnioskiem z ćwiczenia jest wpływ pecha na obstawiających z dodatnią wartością oczekiwaną w ramach różnych historii zakładów.

Średni zwrot wyniósł 4,05%, czyli niemal dokładnie tyle samo co wartość oczekiwana w przypadku mojej historii obstawiania. Z drugiej strony zaistniała poważna zmienność od najgorszego wyniku -12,23% do najlepszego 23,26%.

W przypadku niemal 17% symulacji pojawiła się strata pomimo tego, że wartość oczekiwana dla mojej historii obstawiania wynosiła ponad 4%. Równocześnie mój rzeczywisty zwrot 0,76% był przekroczony w 78% sytuacji.

W gruncie rzeczy na podstawie tych danych w programie Excel można obliczyć prawdopodobieństwo osiągnięcia konkretnego progu zwrotu bez potrzeby uciekania się do testowania statystycznego. A to wszystko dzięki metodzie Monte Carlo. Pełny rozkład 100 tys. symulowanych zwrotów przedstawiono poniżej (w odstępach 0,1% wzdłuż osi X). Jeśli znasz przebieg rozkładu normalnego, to na pewno zauważysz, że dopasowanie jest niemal idealne.

monte-carlo-image-4.png

Jeśli jednak mój zwrot wynosiłby -5% lub gorzej (spodziewana sytuacja w zaledwie 1% przypadków), należałoby zastanowić się, czy to nie aby mój system obstawiania jest wadliwy. Jedno jest pewne: metoda Monte Carlo jest w oczywisty sposób przydatna w razie konfrontacji z ocenami subiektywnymi.

Wadliwy system obstawiania a pech

Kolejnym kluczowym wnioskiem z ćwiczenia jest wpływ pecha na obstawiających z dodatnią wartością oczekiwaną w ramach różnych historii zakładów. Moja historia powstała w oparciu o 1,5 tys. zakładów, a wartość oczekiwana wynosiła ponad 4%. Pomimo tej przewagi symulacje Monte Carlo dowiodły, że nadal mogę zanotować stratę w jednej na pięć sytuacji.

Jeśli Twoja strategia obstawiania dawałaby podobną przewagę, jakie uczucia towarzyszyłyby Ci, gdyby wyniki po 1500 zakładach zawiodły Twoje oczekiwania? Czy wiara w metodologię zostałaby podważona, czy pojawiłoby się poczucie pecha czy może zwątpienie ogólne?

Dylemat w takich sytuacjach pomoże rozstrzygnąć zwiększenie rozmiaru próbki. Oczywiście możemy ponownie zastosować metodę Monte Carlo, aby sprawdzić, jak wyniki zmienią się po wydłużeniu historii obstawiania. W ramach eksperymentu teoretycznego postanowiłem zwiększyć 1521 zakładów dziesięciokrotnie (wystarczyło powtórzyć historię zakładów jeszcze dziewięć razy). Po przeprowadzeniu kolejnych 100 tys. symulacji uzyskałem następujące wyniki:

  • Średni zwrot = 4,04%
  • Najniższy zwrot = -1,21%
  • Najwyższy zwrot = 10,17%
  • Prawdopodobny zwrot < 0% = 0,1%
  • Prawdopodobny zwrot > 0,76% = 99,3%

Nowy rozkład dla 100 tys. symulacji został pokazany poniżej. Wynik został nałożony na rozkład pierwszej próbki z 1521 zakładami.

monte-carlo-image-5.png

Oczywista różnica pomiędzy dwiema próbkami to rozmiar wahań możliwych zwrotów. Rozrzut jest znacznie mniejszy w przypadku dłuższej historii obstawiania. Taki wynik jest całkowicie przewidywalny i jest wynikiem działania w praktyce prawa wielkich liczb.

Ocena wyników symulacji Monte Carlo

Im więcej danych zawiera moja historia zakładów, tym wyższe prawdopodobieństwo tego, że oczekiwania będą zgodne z założeniami, o ile metodologia przewidywania działa prawidłowo. Mając na uwadze powyższe, jeśli po 15 tys. zakładów zwrot wyniesie 0,76% lub mniej, należałoby ją poważnie zakwestionować.

Ostatecznie metoda Monte Carlo nie da gwarancji, że Twój system obstawiania czerpie z czegokolwiek poza wpływem losowości. Metoda ta jednak doskonałym narzędziem, które pomoże Ci podejmować decyzje w oparciu o fakty, jednocześnie ilustrując zakres możliwych wyników, które mogą pojawić się z udziałem szczęścia i pecha.

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.