Ile należy zaryzykować w zakładzie?

Wyjaśnienie wartości oczekiwanej oraz oczekiwanej użyteczności

Użyteczność w warunkach niepewności

Jak obliczyć optymalną kwotę stawki?

Ile należy zaryzykować w zakładzie?

Aby wygrać w zakładach sportowych, potrzebna jest strategia obstawiania o dodatniej wartości oczekiwanej, tj. szacowanej średniej wygranej na zakład. Ale jaką kwotę należy zaryzykować obstawiając zakład, aby osiągnąć maksymalne zyski? Najpierw należy zrozumieć pojęcie użyteczności. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej na ten temat.

Koncepcja wartości oczekiwanej została zbadana po raz pierwszy przez francuskich matematyków Pascala i Fermata w XVII wieku, kiedy to próbowali rozwiązać problem gry na punkty. Wartość ta informuje o tym, jakiej wygranej możemy się (średnio) spodziewać za każdy postawiony zakład. Nie tłumaczy jednak, jaką kwotę należy zaryzykować obstawiając zakład. Wtedy właśnie pojawia się kwestia oczekiwanej użyteczności. 

Wyjaśnienie wartości oczekiwanej oraz oczekiwanej użyteczności

Aby obliczyć wartość oczekiwaną (EV) należy pomnożyć prawdopodobieństwo wygranej (p) przez kwotę do wygrania w zakładzie, a następnie odjąć iloczyn prawdopodobieństwa przegranej i kwoty przegranej na zakład. Ponieważ prawdopodobieństwo przegranej jest równe 1 (lub 100%) minus prawdopodobieństwo wygranej, dochodzimy do następującego uproszczenia:
expected-utility-betting.jpg

„o” oznacza europejskie kursy dziesiętne oferowane przez bukmachera. Wartość oczekiwana jest najważniejszą liczbą dla każdego gracza, ponieważ informuje o tym, czy należy spodziewać się zysków lub strat w dłuższej perspektywie.

Gdy obstawiający znajdzie wartość oczekiwaną, musi zdecydować, jaką część swojego kapitału chce postawić. XVIII-wieczny matematyk Daniel Bernoulli uważał, że tylko nierozsądni podejmują decyzje o wysokości ryzykowanej kwoty w oparciu o obiektywną wartość oczekiwaną bez uwzględniania subiektywnych konsekwencji obstawianego zakładu, czyli odczuć po wygranej (lub przegranej). To subiektywne odczucie nazywane jest użytecznością.

Użyteczność w warunkach niepewności

Wyobraźmy sobie dwie skrzynie. Pierwsza z nich zawiera 10 000 EUR w gotówce. W drugiej skrzyni znajduje się 20 000 EUR w gotówce albo nie ma nic. Obie opcje są równie prawdopodobne. Poproszono Cię o wybranie jednej ze skrzyń. Którą z nich wybierzesz?

„Teoretycznie podejście Kelly'ego pozwala wygrywającym graczom zmaksymalizować wysokość posiadanych środków w perspektywie długoterminowej”

Jest to klasyczna łamigłówka dotycząca użyteczności. Z matematycznego punktu widzenia obie te skrzynie oferują tę samą wartość oczekiwaną, czyli 10 000 EUR. Gdyby można było powtarzać tę grę w nieskończoność, wybór skrzyni nie miałby znaczenia. Jednak w tej grze można wziąć udział tylko jeden raz. Prawo wielkich liczb nie ma tu zastosowania.

Jeśli wybierzesz pierwszą skrzynię, masz pewność, że zyskasz 10 000 EUR. Wybór drugiej skrzyni oznacza, że wolisz zdać się na los: jeśli dopisze Ci szczęście, zyskasz 20 000 EUR, a jeśli będziesz mieć pecha, zostaniesz z niczym. Nic dziwnego, że przy takich sumach pieniędzy większość osób wybiera gwarancję wygranej, jaką daje pierwsza skrzynia.

Z punktu widzenia użyteczności pewność otrzymania 10 000 EUR jest o wiele lepsza niż ryzyko pozostania bez niczego. Ci, którzy znajdują większą użyteczność w poczuciu pewności niż w grze w ciemno, przy zachowaniu tego samego oczekiwania matematycznego, wykazują awersję do ryzyka.

Jak obliczyć optymalną kwotę stawki?

Daniel Bernoulli argumentował, że standardowym racjonalnym zachowaniem ludzi przy podejmowaniu decyzji w warunkach niepewności jest niechęć do ryzyka. Swoją hipotezę przedstawił w następujący sposób: „Użyteczność wynikająca z każdego niewielkiego wzrostu bogactwa będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr posiadanych wcześniej”. Innymi słowy, im więcej środków pieniężnych już posiadasz, tym mniejszą użyteczność dostrzegasz w kolejnych wygranych. Taka funkcja użyteczności jest logarytmiczna i znana powszechnie jako malejąca użyteczność krańcowa bogactwa.

„Mimo że stosowanie kryterium Kelly'ego może powodować znaczną zmienność zwrotów, umożliwia wygrywającym graczom maksymalizację ich kapitału w dłuższej perspektywie”

Jednym z bardziej praktycznych zastosowań teorii Daniela Bernoulliego jest plan zarządzania pieniędzmi, znany wielu graczom jako kryterium Kelly'ego. Metodę tę opracował w 1956 roku John Kelly, pracownik Bell Labs w firmie AT&T, kiedy to pracował nad rozwiązaniem problemu związanego z zakłóceniami linii telefonicznych na dużych odległościach. Szybko została przyjęta przez graczy i inwestorów jako sposób na optymalizację zarządzania pieniędzmi i wzrost zysków.

Chociaż motywacja Kelly'ego była zupełnie inna niż motywacja Bernoulliego, jego kryterium jest matematycznie równoważne z logarytmiczną funkcją użyteczności. W praktyce nakazuje graczowi zaryzykować pewien procent posiadanych środków na zakład, który jest zarówno bezpośrednio proporcjonalny do wartości oczekiwanej, jak i odwrotnie proporcjonalny do prawdopodobieństwa sukcesu.

Pamiętając, że EV = po - 1 (gdzie (p) jest „prawdziwym” prawdopodobieństwem sukcesu, a (o) kursem dziesiętnym zakładu), możemy obliczyć stawkę procentową Kelly'ego (K) w następujący sposób:

kelly-criterion-betting.jpg
Zasadniczo kryterium Kelly'ego maksymalizuje oczekiwaną użyteczność logarytmiczną. Jedną z konsekwencji obstawiania zgodnie z kryterium Kelly'ego jest znaczna zmienność zwrotów, co może nie odpowiadać niektórym osobom. Ponadto jego użycie wymaga dokładnych oszacowań „prawdziwych” prawdopodobieństw wyników. 

W teorii podejście Kelly'ego pozwala jednak wygrywającym graczom zmaksymalizować wysokość posiadanych środków w perspektywie długoterminowej. Oczywiście, aby to osiągnąć gracz potrzebuje bukmachera, który nie będzie podejrzliwy wobec określonych strategii zarządzania pieniędzmi, takich jak kryterium Kelly'ego. A co ważniejsze, nie będzie ograniczał opcji zakładów w konsekwencji wygranej. Pod tym względem Pinnacle cieszy się reputacją, jaką nie może poszczycić się żaden inny bukmacher.

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.