Jaką kwotę zaryzykować obstawiając zakład?

Jaką kwotę zaryzykować obstawiając zakład?
Aby móc wygrywać w zakładach sportowych potrzebna jest strategia obstawiania oparta na dodatniej wartości oczekiwanej, tzn. szacowanej średniej wygranej na zakład. Ile pieniędzy zaryzykować na jeden zakład, aby osiągnąć maksymalne zyski? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy zrozumieć koncepcję użyteczności. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej. Ile pieniędzy zaryzykować na jeden zakład, aby osiągnąć maksymalne zyski? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy zrozumieć koncepcję użyteczności. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej.

Wartość oczekiwana to pojęcie, które pojawiło się po raz pierwszy w XVII wieku, kiedy to dwaj francuscy matematycy Pascal i Fermat próbowali rozwiązać problem gry punktów. Koncepcja wartości oczekiwanej wskazuje, ile możemy średnio wygrać z obstawionego zakładu. Nie wyjaśnia ona jednak ile środków pieniężnych osoba obstawiająca zakład powinna zaryzykować. Tutaj zastosowanie znajduje użyteczność oczekiwana 

Wartość oczekiwana i użyteczność oczekiwana — wyjaśnienie

Wartość oczekiwaną w zakładach sportowych można obliczyć mnożąc prawdopodobieństwo wygranej (p) przez kwotę do wygrania na zakład, a następnie odejmując iloczyn prawdopodobieństwa przegranej i kwoty traconej w jednym zakładzie. Ponieważ prawdopodobieństwo przegranej jest równoważne wartości 1 (lub 100%) pomniejszonej o prawdopodobieństwo wygrania, otrzymujemy takie uproszczenie
expected-utility-betting.jpg

„o” odpowiada europejskim kursom dziesiętnym udostępnionym przez bukmachera. Wartość oczekiwana jest najważniejszą liczbą dla każdego obstawiającego, ponieważ informuje, czy w ujęciu długoterminowym można spodziewać się osiągnięcia zysków czy strat.

Po określeniu wartości oczekiwanej obstawiający musi zdecydować ile pieniędzy chce postawić. Żyjący w XVIII wieku matematyk Daniel Bernoulli uważał, że tylko osoby lekkomyślne decydują jaką kwotę są w stanie zaryzykować w oparciu o obiektywną wartość oczekiwaną, nie zwracając uwagi na subiektywne konsekwencje zakładu, czyli atrakcyjność przyszłej wygranej (lub przegranej). Ta subiektywna atrakcyjność znana jest jako użyteczność.

Użyteczność w warunkach niepewności

Mamy do wyboru dwie skrzynie. W pierwszej znajduje się 10.000 USD w gotówce. Druga skrzynia zawiera albo 20.000 USD w gotówce, albo jest pusta, obie możliwości są równie prawdopodobne. Musisz wybrać jedną ze skrzyń. Którą wybierzesz? 

Jest to przykład klasycznej zagadki użyteczności. Pod względem matematycznym obie te skrzynie mają taką samą wartość oczekiwaną, czyli 10.000 USD. Gdybyśmy powtarzali tę grę w nieskończoność, nie miałoby znaczenia, którą skrzynię wybierzesz. Jednak w tę grę możesz zagrać tylko jeden raz. Prawo wielkich liczb nie ma tutaj zastosowania.

Jeśli wybierzesz pierwszą skrzynię, masz pewność zyskania 10.000 USD. Jeśli zdecydujesz się na tę drugą, nie masz pewności co dostaniesz: jeśli będziesz mieć szczęście wzbogacisz się o 20.000 USD, jeśli nie, nie wygrasz nic. Zważywszy na oferowane sumy pieniędzy, większość ludzi wybierze pewność jaką daje pierwsza skrzynia.

Z perspektywy użyteczności gwarancja jaką daje 10.000 USD znajdujące się w pierwszej skrzyni jest z pewnością lepsza niż ryzyko pozostania z niczym. Osoby, które dostrzegają większą użyteczność w pewnej wygranej niż względem hazardu, mimo tych samych oczekiwań matematycznych jakie reprezentują oba warianty, wskazują na swoją niechęć do ryzyka.

Jak obliczyć optymalną kwotę zakładu?

Daniel Bernoulli uznał, że typowym racjonalnym zachowaniem ludzi podejmujących decyzje w warunkach niepewności jest niechęć do podejmowania ryzyka. Swoją hipotezę tłumaczył w ten sposób: „użyteczność wynikająca z niewielkiego zwiększenia bogactwa będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr wcześniej posiadanych.” Innymi słowy, im jesteś bogatszy tym mniejszą użyteczność będziesz dostrzegać w większych zyskach. Taka funkcja użyteczności jest logarytmiczna i powszechnie znana jako malejąca użyteczność krańcowa bogactwa.

Mimo że kryterium Kelly'ego może powodować znaczącą zmienność przychodów, umożliwia wygrywającym graczom długofalowe pomnażanie funduszy.

Jednym z praktycznych zastosowań teorii Daniela Bernoulliego jest plan w zakresie zarządzania środkami pieniężnymi znany wielu obstawiającym jako kryterium Kelly'ego. Zostało ono opracowane w 1956 roku przez Johna Kelly'ego, pracującego wówczas w AT&T Bell Labs nad rozwiązaniem problemu dotyczącego szumu podczas zamiejscowych rozmów telefonicznych. Możliwości kryterium Kelly'ego zostały szybko dostrzeżone przez graczy i inwestorów, którzy zastosowali je jako środek do optymalizacji wzrostu zysków i zarządzania pieniędzmi.

Podczas gdy motywacja Kelly'ego całkowicie różniła się od tej, która kierowała Bernoullim, stworzone przez niego kryterium było matematycznym odpowiednikiem logarytmicznej funkcji użyteczności. Można powiedzieć, że kryterium Kelly'ego zachęca obstawiającego, aby zaryzykował jakiś procent swojego bogactwa na zakład, który jest wprost proporcjonalny do wartości oczekiwanej i odwrotnie proporcjonalny do prawdopodobieństwa sukcesu.

Wiedząc, że EV = po – 1 (gdzie p oznacza „rzeczywiste” prawdopodobieństwo sukcesu, a o oznacza kurs dziesiętny zakładu) możemy obliczyć wartość procentową stawki Kelly'ego (K) w następujący sposób:

kelly-criterion-betting.jpg
W gruncie rzeczy kryterium Kelly'ego maksymalizuje logarytmiczną użyteczność oczekiwaną. Jednym ze skutków obstawiania z zastosowaniem kryterium Kelly'ego jest znaczna zmienność przychodów, która może nie najlepiej służyć użyteczności większości osób obstawiających. Ponadto użycie tego kryterium wymaga precyzyjnego oszacowania „rzeczywistego” prawdopodobieństwa uzyskiwanych rezultatów. 

Niemniej jednak podejście Kelly'ego daje wygrywającym graczom możliwość długofalowego pomnażania funduszy. Oczywiście obstawiający potrzebuje bukmachera, który nie będzie podejrzliwy w stosunku do konkretnych strategii zarządzania pieniędzmi, takich jak kryterium Kelly'ego, a co najważniejsze, nie będzie ograniczać swoich klientów w wyniku wygranej. W tym zakresie Pinnacle cieszy się najlepszą reputacją.

Nie wyjaśnia ona jednak ile środków pieniężnych osoba obstawiająca zakład powinna zaryzykować. Tutaj zastosowanie znajduje użyteczność oczekiwana 

Wartość oczekiwana i użyteczność oczekiwana — wyjaśnienie

Wartość oczekiwaną w zakładach sportowych można obliczyć mnożąc prawdopodobieństwo wygranej (p) przez kwotę do wygrania na zakład, a następnie odejmując iloczyn prawdopodobieństwa przegranej i kwoty traconej w jednym zakładzie. Ponieważ prawdopodobieństwo przegranej jest równoważne wartości 1 (lub 100%) pomniejszonej o prawdopodobieństwo wygrania, otrzymujemy takie uproszczenie
expected-utility-betting.jpg

„o” odpowiada europejskim kursom dziesiętnym udostępnionym przez bukmachera. Wartość oczekiwana jest najważniejszą liczbą dla każdego obstawiającego, ponieważ informuje, czy w ujęciu długoterminowym można spodziewać się osiągnięcia zysków czy strat.

Po określeniu wartości oczekiwanej obstawiający musi zdecydować ile pieniędzy chce postawić. Żyjący w XVIII wieku matematyk Daniel Bernoulli uważał, że tylko osoby lekkomyślne decydują jaką kwotę są w stanie zaryzykować w oparciu o obiektywną wartość oczekiwaną, nie zwracając uwagi na subiektywne konsekwencje zakładu, czyli atrakcyjność przyszłej wygranej (lub przegranej). Ta subiektywna atrakcyjność znana jest jako użyteczność.

Użyteczność w warunkach niepewności

Mamy do wyboru dwie skrzynie. W pierwszej znajduje się 10.000 USD w gotówce. Druga skrzynia zawiera albo 20.000 USD w gotówce, albo jest pusta, obie możliwości są równie prawdopodobne. Musisz wybrać jedną ze skrzyń. Którą wybierzesz? 

Jest to przykład klasycznej zagadki użyteczności. Pod względem matematycznym obie te skrzynie mają taką samą wartość oczekiwaną, czyli 10.000 USD. Gdybyśmy powtarzali tę grę w nieskończoność, nie miałoby znaczenia, którą skrzynię wybierzesz. Jednak w tę grę możesz zagrać tylko jeden raz. Prawo wielkich liczb nie ma tutaj zastosowania.

Jeśli wybierzesz pierwszą skrzynię, masz pewność zyskania 10.000 USD. Jeśli zdecydujesz się na tę drugą, nie masz pewności co dostaniesz: jeśli będziesz mieć szczęście wzbogacisz się o 20.000 USD, jeśli nie, nie wygrasz nic. Zważywszy na oferowane sumy pieniędzy, większość ludzi wybierze pewność jaką daje pierwsza skrzynia.

Z perspektywy użyteczności gwarancja jaką daje 10.000 USD znajdujące się w pierwszej skrzyni jest z pewnością lepsza niż ryzyko pozostania z niczym. Osoby, które dostrzegają większą użyteczność w pewnej wygranej niż względem hazardu, mimo tych samych oczekiwań matematycznych jakie reprezentują oba warianty, wskazują na swoją niechęć do ryzyka.

Jak obliczyć optymalną kwotę zakładu?

Daniel Bernoulli uznał, że typowym racjonalnym zachowaniem ludzi podejmujących decyzje w warunkach niepewności jest niechęć do podejmowania ryzyka. Swoją hipotezę tłumaczył w ten sposób: „użyteczność wynikająca z niewielkiego zwiększenia bogactwa będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości dóbr wcześniej posiadanych.” Innymi słowy, im jesteś bogatszy tym mniejszą użyteczność będziesz dostrzegać w większych zyskach. Taka funkcja użyteczności jest logarytmiczna i powszechnie znana jako malejąca użyteczność krańcowa bogactwa.

Mimo że kryterium Kelly'ego może powodować znaczącą zmienność przychodów, umożliwia wygrywającym graczom długofalowe pomnażanie funduszy.

Jednym z praktycznych zastosowań teorii Daniela Bernoulliego jest plan w zakresie zarządzania środkami pieniężnymi znany wielu obstawiającym jako kryterium Kelly'ego. Zostało ono opracowane w 1956 roku przez Johna Kelly'ego, pracującego wówczas w AT&T Bell Labs nad rozwiązaniem problemu dotyczącego szumu podczas zamiejscowych rozmów telefonicznych. Możliwości kryterium Kelly'ego zostały szybko dostrzeżone przez graczy i inwestorów, którzy zastosowali je jako środek do optymalizacji wzrostu zysków i zarządzania pieniędzmi.

Podczas gdy motywacja Kelly'ego całkowicie różniła się od tej, która kierowała Bernoullim, stworzone przez niego kryterium było matematycznym odpowiednikiem logarytmicznej funkcji użyteczności. Można powiedzieć, że kryterium Kelly'ego zachęca obstawiającego, aby zaryzykował jakiś procent swojego bogactwa na zakład, który jest wprost proporcjonalny do wartości oczekiwanej i odwrotnie proporcjonalny do prawdopodobieństwa sukcesu.

Wiedząc, że EV = po – 1 (gdzie p oznacza „rzeczywiste” prawdopodobieństwo sukcesu, a o oznacza kurs dziesiętny zakładu) możemy obliczyć wartość procentową stawki Kelly'ego (K) w następujący sposób:

kelly-criterion-betting.jpg
W gruncie rzeczy kryterium Kelly'ego maksymalizuje logarytmiczną użyteczność oczekiwaną. Jednym ze skutków obstawiania z zastosowaniem kryterium Kelly'ego jest znaczna zmienność przychodów, która może nie najlepiej służyć użyteczności większości osób obstawiających. Ponadto użycie tego kryterium wymaga precyzyjnego oszacowania „rzeczywistego” prawdopodobieństwa uzyskiwanych rezultatów. 

Niemniej jednak podejście Kelly'ego daje wygrywającym graczom możliwość długofalowego pomnażania funduszy. Oczywiście obstawiający potrzebuje bukmachera, który nie będzie podejrzliwy w stosunku do konkretnych strategii zarządzania pieniędzmi, takich jak kryterium Kelly'ego, a co najważniejsze, nie będzie ograniczać swoich klientów w wyniku wygranej. W tym zakresie Pinnacle cieszy się najlepszą reputacją.

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.